527有些復(fù)雜問(wèn)題,往往給人以變幻莫測(cè)的感覺(jué),難以掌握其中的奧妙當(dāng)我

1、有些復(fù)雜問(wèn)題，往往給人以變幻莫測(cè)的感覺(jué)，難以掌握其中的奧妙。當(dāng)我們把思維擴(kuò)展到線性空間，利用線性代數(shù)的基本知識(shí)建立模型，就可以掌握事物的內(nèi)在規(guī)律，預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)。線性代數(shù)模型durer 魔方 德國(guó)著名的藝術(shù)家 albrecht durer (1471-1521)于1514年曾鑄造了一枚名為“melen cotia i”的銅幣。令人奇怪的是在這枚銅幣的畫面上充滿了數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)數(shù)字和幾何圖形。這里我們僅研究銅幣右上角的數(shù)字問(wèn)題。1 durer 魔方16321351011 89671241514 1特點(diǎn)每行之和、每列之和、對(duì)角線之和、四個(gè)小方塊之和、中心方塊之和都相等，為確定的數(shù)34。所出現(xiàn)的數(shù)是

2、1至16的自然數(shù)。四角之和、中間對(duì)邊之和均為34。最下邊一行中心數(shù)為1514，正是制幣的時(shí)間。問(wèn)題 是否還存在具有這些（或部分）性質(zhì)的魔方？06118910 6015 091199607118910 7016 09119971080100 150140 110 50407020160 90120 130 3060定義如果44數(shù)字方，它的每一行、每一列、每一對(duì)角線及每個(gè)小方塊上的數(shù)字之和都為一確定的數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)字方為 durer 魔方魔方。r=c=d=s你想構(gòu)造你想構(gòu)造durerdurer魔方嗎？魔方嗎？如何構(gòu)成所有的如何構(gòu)成所有的durerdurer魔方？魔方？durerdurer魔方有多少

3、？魔方有多少？2 durer魔方的生成集所有的durer魔方的集合為 d0000000000000000o=1111111111111111e=r=c=d=s=0r=c=d=s=4a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a=b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44b=類似于矩陣的加法和數(shù)乘，定義魔方的加法和數(shù)乘。易驗(yàn)證，d 加法和數(shù)乘封閉，且構(gòu)成一線性空間。記 m =所有的44數(shù)字方 ，則其維數(shù)為16。而d是m的子集，則d是有限維的線性空間。根據(jù)線性空間的性質(zhì)，如果能得到d的一組基，

4、則任一個(gè)durer方均可由這組基線性表示。由 0,1 數(shù)字組合，構(gòu)造所有的r=c=d=s=1的魔方。共有8 個(gè)，記為qi, i=1,2,8。q1=1000001000010100q2=1000000101000010q3=q4=00011000001001000001010010000010q5=0010100001000001q6=0100001010000001q7=0010010000011000q8=0100000100101000易知076328541qqqqqqqq則821qqq,線性相關(guān)。而由077665544332211qrqrqrqrqrqrqr000000000000000

5、021rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =07654321rrrrrrr721qqq,線性無(wú)關(guān)。任一durer方可由它們線性表示。結(jié)論： 1 durer方有無(wú)窮多個(gè)。2 durer方可由721qqq,線性組合得到。albrecht durer的數(shù)字方的構(gòu)成：77665544332211qrqrqrqrqrqrqrd21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16321351011 89671241514

6、143367887654321rrrrrrr,7655432214336788qqqqqqqd3 durer方的應(yīng)用推廣（1）要求數(shù)字方的所有數(shù)字都相等。rrreg,基為 e1維空間（2）要求行和、列和、每條主對(duì)角線及付對(duì) 角線數(shù)字和都相等。b基為5維空間10101010010101011p01101001011010011001011010010110010110101010010111000011110000112p3p4p5p例17 211 1616 11 22 -312 7621126 712pr=c=h=n=46h 主對(duì)角線，n付對(duì)角線數(shù)字和。（3）要求行和、列和及兩條對(duì)角線數(shù)字和相

7、等。8維空間q?；鶠?721nqqq,d是q的7維子空間。01-10000000000-1100n例679812 657510 967779pr=c=d=30（4）要求行和、列和數(shù)字相等。10維空間w?；鶠?21721nnnqqq,010-110-1 0-1 0010000100-1-1 00100001n2n01001000000100103n（5）對(duì)數(shù)字沒(méi)有任何要求的數(shù)字方16維空間m空間維數(shù) mwqdbg00 1 5 7 8 10 16思考思考能否構(gòu)造出其他維數(shù)的數(shù)字方？能否構(gòu)造出其他維數(shù)的數(shù)字方？練習(xí)練習(xí)完成下面的durer方61494887116798597r=c=d=s=30r=c

8、=d=s=100作業(yè)作業(yè)構(gòu)造你自己認(rèn)為有意義的durer方。679812 558611 9467710植物基因的分布植物基因的分布設(shè)一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的的基因型為aa、aa 和 aa 。研究所計(jì)劃采用aa型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。問(wèn)經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？1 建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備植物遺傳規(guī)律？動(dòng)植物都會(huì)將本身的特征遺傳給后代，這主要是因?yàn)楹蟠^承了雙親的基因基因，形成了自己的基因?qū)?，基因?qū)Γ驅(qū)痛_定了后代所表現(xiàn)的特征。常染色體遺傳的規(guī)律：后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ袀€(gè)繼承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)Γ椿蛐突蛐?。如果考慮的遺傳特征

9、是由兩個(gè)基因 a、a控制的，那末就有三種基因?qū)?，記為aa、aa 和 aa 。金魚草花的顏色金魚草花的顏色是由兩個(gè)遺傳因 子決定的，基因型為aa的金魚草開紅花，aa 型的開粉紅花，而 aa型的開白花。人類眼睛的顏色人類眼睛的顏色也是通過(guò)常染色體來(lái)控制的。基因型為aa ，或aa 型的人眼睛顏色為棕色，而 aa型的人眼睛顏色為藍(lán)色。這里aa ，aa表示同一外部特征，我們認(rèn)為基因a支配基因a，即基因a對(duì)a來(lái)說(shuō)是隱性的。如11/201/40001/211/21/200001/41/21雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率矩陣雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率矩陣2 假設(shè)假設(shè)nnncba,分別表示第n代植物中基因型

10、為aa,aa,aa的植物占植物總數(shù)的百分率。1nnncba第n代植物的基因型分布為,)(nnnncbax,)(0000cbax表示植物基因型初始分布。假設(shè)1假設(shè)2植物中第n-1代基因型分布與第n代分布的關(guān)系由上表確定。11/2001/210001121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba3 建模建模11100012100211nnnnnncbacba/1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba00012100211/m)()(1nnmxx)()()(221nnnxmmxx)(33nxm0 xmn4 求解模型求解模型關(guān)鍵計(jì)算0 xmxnn)(nm00012100211/m特征值為1，1/2，0，m可對(duì)角化，即可求出可逆對(duì)角矩陣p，使pmp-1為對(duì)角型矩陣。121010001,特征值為1，1/2，0的特征向量分別為則100210101p0000210001/d0 xmxnn)(01xppdn011002101110000210001100210111xn/011002101110000210001100210111xn/011000212102112111xnnnn/)/()/(0