錯(cuò)位相減法求和附答案

1、.錯(cuò)位相減法求和專項(xiàng)錯(cuò)位相減法求和適用于anbn 型數(shù)列，其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，在應(yīng)用過程中要注意：項(xiàng)的對(duì)應(yīng)需正確；相減后應(yīng)用等比數(shù)列求和部分的項(xiàng)數(shù)為（n-1）項(xiàng)；若等比數(shù)列部分的公比為常數(shù)，要討論是否為11. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求解析考察專題：2.1，2.2，3.1，6.1；難度：一般答案 （）由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則設(shè)，又點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，又，適合上式，（7分）（）由（）知，上面兩式相減得：整理得（14分）2.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，

2、且  （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；  （2）的值.答案查看解析解析 （1）當(dāng)n = 1時(shí)，解出a1 = 3,又4Sn = an2 + 2an3    當(dāng)時(shí)    4sn1 = + 2an-13            , 即， ,（），是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，   6分   （2）又     =     

3、  12分3.（2013年四川成都市高新區(qū)高三4月月考，19,12分）設(shè)函數(shù)，數(shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列，滿足.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明： .答案 () 由，得是以為公比的等比數(shù)列，故.（）由，得，記+，用錯(cuò)位相減法可求得：. （注：此題用到了不等式：進(jìn)行放大. ）4.已知等差數(shù)列中，；是與的等比中項(xiàng)（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（）若求數(shù)列的前項(xiàng)和解析（）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，是與的等比中項(xiàng)所以，又因?yàn)椋O(shè)公差為，則，所以，解得或，當(dāng)時(shí), ，；當(dāng)時(shí)，.所以或.     （6分)（）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以兩式相減得，所

4、以.     （13分）5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，等差數(shù)列中，且公差.（）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（）是否存在正整數(shù)，使得 若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由.解析（）時(shí)，相減得：，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，.又，. （6分）（）令得：，即，當(dāng)，當(dāng)。的最小正整數(shù)為4.  （12分）6. 數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析 （）由，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，所以，由，所以，所以，即，所以.     （6分)   （）因?yàn)?，所以，則，所

5、以，兩式相減的，所以. (12分）7. 已知數(shù)列滿足，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和() 求的通項(xiàng)公式；() 若數(shù)列滿足： () ，求的前項(xiàng)和公式.解析) ，       得，又時(shí)，.      （5分）() ，兩式相減得，.         （13分）8.設(shè)d為非零實(shí)數(shù), an=d+2d2+(n-1) dn-1+ndn(nN*) . () 寫出a1, a2, a3并判斷an是否為等比數(shù)列. 若是, 給出證明;若不是,

6、 說明理由;() 設(shè)bn=ndan(nN*) , 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 答案 () 由已知可得a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2. 當(dāng)n2, k1時(shí), =, 因此an=. 由此可見, 當(dāng)d-1時(shí), an是以d為首項(xiàng), d+1為公比的等比數(shù)列;當(dāng)d=-1時(shí), a1=-1, an=0(n2) , 此時(shí)an不是等比數(shù)列. (7分) () 由() 可知, an=d(d+1) n-1, 從而bn=nd2(d+1) n-1, Sn=d21+2(d+1) +3(d+1) 2+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1. 當(dāng)d=-1時(shí), Sn=d2=1. 當(dāng)d-1時(shí),

7、式兩邊同乘d+1得(d+1) Sn=d2(d+1) +2(d+1) 2+(n-1) (d+1) n-1+n(d+1) n. , 式相減可得-dSn=d21+(d+1) +(d+1) 2+(d+1) n-1-n(d+1) n=d2. 化簡(jiǎn)即得Sn=(d+1) n(nd-1) +1. 綜上, Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12分) 9. 已知數(shù)列an滿足a1=0, a2=2, 且對(duì)任意m, nN*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2. () 求a3, a5;() 設(shè)bn=a2n+1-a2n-1(nN*) , 證明:bn是等差數(shù)列;() 設(shè)cn=(an+1-an

8、) qn-1(q0, nN*) , 求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn. 答案 () 由題意, 令m=2, n=1可得a3=2a2-a1+2=6. 再令m=3, n=1可得a5=2a3-a1+8=20. (2分) () 證明:當(dāng)nN*時(shí), 由已知(以n+2代替m) 可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8. 于是a2(n+1) +1-a2(n+1) -1-(a2n+1-a2n-1) =8, 即bn+1-bn=8. 所以, 數(shù)列bn是公差為8的等差數(shù)列. (5分) () 由() 、() 的解答可知bn是首項(xiàng)b1=a3-a1=6, 公差為8的等差數(shù)列. 則bn=8n-2, 即a2n+1-a2n-1=8n

9、-2. 另由已知(令m=1) 可得, an=-(n-1) 2. 那么, an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n. 于是, cn=2nqn-1. 當(dāng)q=1時(shí), Sn=2+4+6+2n=n(n+1) . 當(dāng)q1時(shí), Sn=2·q0+4·q1+6·q2+2n·qn-1. 兩邊同乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+2(n-1) ·qn-1+2n·qn. 上述兩式相減即得(1-q) Sn=2(1+q1+q2+qn-1) -2nqn=2·-2nqn=2·, 所以Sn=2·

10、. 綜上所述, Sn=(12分) 10.已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列,a1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列an·的前n項(xiàng)和.答案 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0),由條件可知:(2+3d)2=(2+d)·(2+7d),解得d=2.(4分)故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n(nN*).(6分)(2)由(1)知an·=2n×32n,設(shè)數(shù)列an·的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=2×32+4×34+6×36+2n×32n,32Sn=2×34+4×36

11、+(2n-2) ×32n+2n×32n+2,故-8Sn=2(32+34+36+32n)-2n×32n+2,(8分)所以數(shù)列an·的前n項(xiàng)和Sn=.(12分)11.已知等差數(shù)列滿足又?jǐn)?shù)列中,且.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列,的前項(xiàng)和分別是,且求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案( 1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則有解得，數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列. 4分(2)由(1)可得，得， 10分(3)，當(dāng)時(shí), 取最小值,，即，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由，解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是. 14分12.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的，都有為常

12、數(shù)，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和答案 188.（1）當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，即又為常數(shù)，且，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列4分（2）由（1）得，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，（）9分（3）由（2）知，則， ， 得， 14分13.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 且S4=4S2, a2n=2an+1.() 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;() 設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn, 且Tn+=(為常數(shù)), 令cn=b2n(nN*), 求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn.答案 () 設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1, 公差為d.由S4=4S2, a

13、2n=2an+1得解得a1=1, d=2.因此an=2n-1, nN*.() 由題意知: Tn=-,所以n2時(shí), bn=Tn-Tn-1=-+=.故cn=b2n=(n-1) , nN*.所以Rn=0×+1×+2×+3×+(n-1) ×,則Rn=0×+1×+2×+(n-2) ×+(n-1) ×,兩式相減得Rn=+-(n-1) ×=-(n-1) ×=-,整理得Rn=.所以數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn=.遇到失意傷心事，多想有一個(gè)懂你的人來指點(diǎn)迷津，因他懂你，會(huì)以我心，換你心，站在你的位置上思慮，為你排優(yōu)解難。一個(gè)人，來這世間，必須懂得一些人情事理，才能不斷成長(zhǎng)。就像躬耕于隴畝的農(nóng)人，必須懂得土地與種子的情懷，才能有所收獲。一個(gè)女子，一生所求，莫過于找到一個(gè)懂她的人，執(zhí)手白頭，相伴終老。即使蘆花暖鞋，菊花枕頭，也覺溫暖；即使粗食布衣，陋室簡(jiǎn)靜，也覺舒適，一句“懂你”,叫人無怨無悔，愿以自己的一生來交付。懂得是彼此的欣賞，是靈魂的輕喚，是惺惺相惜，是愛，是暖，是彼此的融化；是走一段很遠(yuǎn)的路，驀然回首卻發(fā)現(xiàn)，我依然在你的