高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品30：數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題

1、.第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講 全部免費(fèi) 歡迎下載】一【課標(biāo)要求】1探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法；2能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)和遞推關(guān)系，并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列知識(shí)解決相應(yīng)的實(shí)際問題。二【命題走向】數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法，這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目有關(guān)命題趨勢(shì)：1數(shù)列是一種特

2、殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，在三者交匯處設(shè)計(jì)試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點(diǎn)；2數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個(gè)亮點(diǎn)，這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度；3數(shù)列與新的章節(jié)知識(shí)結(jié)合的特點(diǎn)有可能加強(qiáng)，如與解析幾何的結(jié)合等；4有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本將的考察為：1可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題；2也可能為一道知識(shí)交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合三【要點(diǎn)

3、精講】1數(shù)列求通項(xiàng)與和（1）數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an= 。（2）求通項(xiàng)常用方法作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；累差疊加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項(xiàng)和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂項(xiàng)求和將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法

4、叫裂項(xiàng)求和法。用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，如：、=、n·n！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等錯(cuò)項(xiàng)相消法對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相消法。, 其中是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，記，則，并項(xiàng)求和把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn。數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法通項(xiàng)分解法：2遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k1,an+k2,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列遞歸數(shù)

5、列的通項(xiàng)的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題四【典例解析】題型1：裂項(xiàng)求和例1已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，求和：。解析：首先考慮，則=。點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，下列求和也可用裂項(xiàng)求和法。例2求。解析：， 點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜的因式轉(zhuǎn)化的簡(jiǎn)單一些。題型2：錯(cuò)位相減法例3設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，nan，的前n項(xiàng)和。解析：若a=0時(shí)，Sn=0；若a=1，則Sn=1+2+3+n=；

6、若a1，a0時(shí)，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=。例4已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解析：，-得：，點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯(cuò)位相減法。題型3：倒序相加例5求。 解析：。 又。 所以。點(diǎn)評(píng)：Sn表示從第一項(xiàng)依次到第n項(xiàng)的和，然后又將Sn表示成第n項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。例6設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求和：解析：因?yàn)?，。點(diǎn)評(píng)：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列使得對(duì)一切自然數(shù)n都成立。題型4：其他方法例7求數(shù)列1，3+5

7、，7+9+11，13+15+17+19，前n項(xiàng)和。 解析：本題實(shí)質(zhì)是求一個(gè)奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項(xiàng)中共有個(gè)奇數(shù)，故。例8求數(shù)列1，3，32，3n的各項(xiàng)的和。解析：其和為(133n)()=(3n13-n)。題型5：數(shù)列綜合問題例9（2009湖北卷文）設(shè)記不超過的最大整數(shù)為,令=-，則，,A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【答案】B【解析】可分別求得，.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列.例10(2009湖南卷理)將正ABC分割成（2，nN）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三

8、角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 當(dāng)n=3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知 即進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù)，中 有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加 ，中有15個(gè)數(shù)相加.，若中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，且由可得所以=題型6：數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題例11某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一

9、年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （取）解析：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列，甲方案獲利：（萬元），銀行貸款本息：（萬元），故甲方案純利：（萬元），乙方案獲利：（萬元）；銀行本息和：（萬元）故乙方案純利：（萬元）；綜上可知，甲方案更好。點(diǎn)評(píng)：這是一道比較簡(jiǎn)單的數(shù)列應(yīng)用問題，由于本息金與利潤(rùn)是熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解例12(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知點(diǎn)（1，）是函

10、數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足=+（）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列前項(xiàng)和為，問>的最小正整數(shù)是多少? 解（1）, , .又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當(dāng)， ；()；（2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112.題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題例13（2009廣東卷理）知曲線從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，（舍去） ，即，（2）證明： 由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，則有

11、，即. 例14（2009安徽卷理）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足 （I）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切都是奇數(shù)；（II）若對(duì)一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13分。解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)（II）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。 因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，與同號(hào)。 因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。五【思維總結(jié)】1數(shù)列求和的常用方法（1）公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；（2）裂項(xiàng)相消法：適用于其中 是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等；（3）錯(cuò)位相減法：適用于其中 是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。（4）倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.（5）分組求和法（6）累加（乘）法