還原問題知識講解及練習

1、實用標準還原問題知識講解及練習（含答案）已知一個數，經過某些運算之后，得到了一個新數，求原來的數是多少的應用問題，它的解法常常是以新數為基礎，按運算順序倒推回去，解出原數 ，這種方法叫做逆推法或還原法，這種問題就是 還原問題。還原問題又叫做逆推運算問題.解這類問題利用加減互為逆運算和乘除互為逆運算的道理，根據 題意的敘述順序由后向前逆推計算在計算過程中采用相反的運算，逐步逆推。在解題過程中注意兩個相反：一是運算次序與原來相反；二是運算方法與原來相反。板塊一、單個變量的還原問題【例1】 某數先加上3,再乘以3，然后除以2,最后減去2，結果是10，問：原數是多少？【解析】 分析時可以從最后的結果是

2、 10逐步倒著推。這個數沒減去 2時應該是多少？沒除以 2時應該是多少？沒乘以3時應該是多少？沒加上 3時應該是多少？這樣依次逆推，就可以推出某數。如果沒減去2,此數是：10 2 =12如果沒除以2,此數是：122 =24如果沒乘以3,此數是：24 亠 3 = 8如果沒加上3,此數是：8-3=5綜合算式10 22“3-3=5【鞏固】1、（2008年“陳省身杯”國際青少年數學邀請賽）有一個數，如果用它加上6，然后乘以6，再減去6，最后除以6，所得的商還是 6，那么這個數是 ?！眷柟獭?、一個數減16加上24,再除以7得36，求這個數你知道這個數是幾嗎【鞏固】3、少先隊員采集樹種子， 采得的個數是

3、一個有趣的數.把這個數除以5，再減去25,還剩25,你算一算,共采集了多少個樹種子 ？【例2】 牛老師帶著37名同學到野外春游. 休息時，小強問：“牛老師您今年多少歲啦 ？”牛老師有趣地回答：“我 的年齡乘以2,減去16后，再除以2，加上8,結果恰好是我們今天參加活動的總人數.”小朋友們，你知道牛老師今年多少歲嗎 ？【解析】采用倒推法，我們可以從最后的結果“參加活動的總人數”即38倒著往前推這個數沒加上8時應是多少？沒除以2時應是多少？ 沒減去16時應是多少？沒乘以 2時應是多少？這樣依次逆推，就可以求出牛老師今年的歲數. 沒加上8時應是：38 -8 =30 ;沒除以2時應是：30 2 = 6

4、0 ; 沒減去16時應是：60 *16=76 ;沒乘以2時應是：76-：-2=38 ,即(38 _8) 2 16-：- 2 =38(歲).【鞏固】1、小智問小康：“你今年幾歲？”小康回答說：“用我的年齡數減去 8，乘以7,加上6，除以5,正好等于4.請你算一算，我今年幾歲？”【鞏固】2、學學做了這樣一道題：某數加上10，乘以10，減去10，除以10，其結果等于10，求這個數.根據題意，一個數，經過加法、乘法、減法、除法的變化，得到結果10，應用逆推法，由結果 10，根據力口、減法與乘、除法的互逆運算，倒著往前計算.10 10=100，100 10=110，110-：一10=11，11-10=1

5、解這種還原問題的關鍵是從最后結果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算， 即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘列式時還要注意運算順序，正確使用括號，這種逆向思維 的方法是數學中常用的思維方法.綜合算式為：【鞏固】3、學學做了這樣一道題：一個數加上3,減去5，乘以4，除以6得16,求這個數.小朋友，你知道答案嗎？【解析】根據題意，一個數，經過加法、減法、乘法、除法的變化，得到結果16,應用逆推法，由結果 10，根據力口、減法與乘、除法的互逆運算，倒著往前計算.+ 3某數A6 AV16綜合算式為:【例3】 一次數學競賽頒獎會上，小剛問老師：“我得了多少分？ ”老師說：“你的

6、得分減去6后，縮小2倍，再加上10后，擴大2倍，恰好是100分” 小剛這次競賽得了多少分？【解析】從最后一個條件“恰好是100分”向前推算.擴大2倍是100分，沒有擴大2倍之前應是100亠2 =50 （分）, 加上10后是50分，沒有加上10前應是50 -10 =40（分），縮小2倍是40分，那么沒有縮小 2倍前應是40 2 =80（分），減去6后是80分，沒有減去 6前應是80，6=86（分）綜合列式為：（100"2-10） 2 6=40 2 6 =86（分）【鞏固】1、在小新爺爺今年的年齡數減去15后,除以4,再減去6之后，乘以10,恰好是100,問：小新爺爺今年多少歲數？【鞏固

7、】2、學學和思思在游玩時，遇到一位小神仙，他們問這位神仙：“你一定不到100歲吧！ ”誰知這位神仙搖搖頭說：“你們算算吧！把我的年齡加上75,再除以5，然后減去15,再乘以10，恰好是2000歲小朋友，你知道這位神仙現在有多少歲嗎？【例4】 哪吒是個小馬虎，他在做一道減法題時，把被減數十位上的6錯寫成9，減數個位上的9錯寫成6,最后所得的差是577,那么這道題的正確答案應該是多少呢？【解析】 被減數十位上的6變成9,使被減數增加90_60 =30，差也增加了 30;減數個位上的9錯寫成6，使減數 減少了 9_6=3，這樣又使差增加了 3，這道題可以說成：正確的差加上 30后又加上3得577，求

8、正確差. 所以列式得： 577 _（9 _6） _（90 _60） = 544 .【鞏固】1、小馬虎在做一道加法題時，把一個加數個位上的9看作6，十位上的6看作9，結果和是174，那么正確的結果應該是多少呢？【鞏固】2、淘氣在做一道減法時，把減數個位上的9看成了 3，把十位上的4看成了 7,得到的結果是164，請你幫淘氣算算正確的答案應該是多少呢？【鞏固】3、小新在做一道加法題,由于粗心,將個位上的5看作9，把十位上的8看作3，結果所得的和是123.正確的答案是多少?【例5】 三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了這堆桃的一半少1個；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1個；小猴子分得余下的8個桃，桃子就

9、被全分完了。問，這堆桃子共多少個？【分析與解】此題條件較復雜，我們可以通過畫圖進行分析，你能從圖中發(fā)現哪個部分是大猴子拿的桃子嗎？其實解決這類問題我們關鍵是要找到“一半”所對應的數量，從最后進行推算。剩下的一半：8+仁9 （個）;剩下多少個：9 X 2=18 （個）一半是多少個：18- 1=17 （個）;一共有多少個桃子：17X 2=34 （個） 算式：（8+1） X 2 1 X 2說明：多拿、多吃、多做、多用在還原問題算式中表現為“ + ”;少拿、少吃、少做、少用在還原問題算式中表現為“-”【鞏固】1、學學看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長的一半還多2米，第二次用去余下的一半

10、少10米，第三次用去15米，最后還剩9米，那么這根繩子原來有多少米呢？【解析】根據題意，畫圖倒推分析：腳硃涌9米15 9 =24（米）文檔大全川去_剩戸4米第一:次I1 嚴 丨二T中 *半'(24_10) 2=28(米)剰飛圏米第詼芒綜合算式：2 乩(28 2) 2 =60(米)【鞏固】2、一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少 10米，第三次用去還剩7米。這捆電線原來有多少米？【解析】可依照題意畫出右圖。從線段圖上可以看出：15米，最后全長的一半V-第三次用去的15米圖2【鞏固】3、甲在加工一堆零件，第一天加工了這堆零件的一半又10個，第二天又加工了剩下的一半又

11、剩下25個沒有加工，問：這批零件有多少個？【解析】如右圖所示，按照圖與題目的條件，10個，還零件的一半I I10個剩下的一半10個25個列綜合算式:【例6】 貨場原有煤若干噸。第一次運出原有煤的一半，第二次運進450噸，第三次又運出現有煤的半又50噸，結果剩余煤的 2倍是1200噸。貨場原有煤多少噸?實用標準原有煤？噸廠第一次用去原有煤的第二次運進450噸結合上面的線段圖，用倒推法進行分析，題中的數量關系就可以躍然紙上，使學生們一目了然。根據“剩余煤的2倍是1200噸”，就可以求剩余煤的噸數；根據“第三次運出現有煤的一半又50噸”和剩余煤的噸數，就可以求出現有煤的一半是多少噸，進而可求出現有煤

12、的噸數；用現有煤的噸數減去第二次運進的450噸，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少噸。（1） 剩余煤的噸數是：1200亠2 =600 （噸）（2） 現有煤的一半是： 600 50 =650 （噸）（3） 現有煤的噸數是： 650 2 =1300 （噸）（4） 原有煤的一半是：1300 -450 =850 （噸）（5） 原有煤的噸數是： 850 2 =1700 （噸）算式：（600+50）X 2 - 450 X 2【鞏固】1、食堂買進一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下122千克這批大米共有多少千克?【鞏固】2、山頂上有棵桃數，一只猴子

13、偷吃桃子，第一天偷吃了總數的一半多多2個，這時還剩1個，問：樹上原來有多少個桃子？2個，第二天又偷吃了剩下的一半【鞏固】【解析】3、修建一條下水道，第一周修了全長的一半多12米，第二周修了剩下的一半少 12米，第三周修了30米，最后還剩18米，這條下水道長多少米？如下圖，從圖中可知 30 78-12=36是第一周修后余下的一半，36 2 -12 =84米是下水道全長的一半.第二周核的第三問修的30耒多12栄 少悝米米【例7】 小麗用4元買了一本童話大王，又用剩下的錢的一半買了一本兒童時代，買鋼筆又用去第二次剩文檔大全實用標準【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是 4/=5（元），第二次剩下5 2

14、 =10 （元），第一次剩下10 2 = 20 （元）， 原來有20 4 =24 （元）。列綜合算式：4 12 2 4 = 24【鞏固】1、有一筐蘋果，甲取出一半又 1個；乙取出余下的一半又 1個；丙取出再余下的一半又1個，這時筐里只剩下1個蘋果。這筐蘋果共值 6元6角，問每個蘋果平均值多少錢?1再余下的一一個1個C甲取出的乙取的-丙取出的半1個余下的一半【例8】（2008年“陳省身杯”國際青少年數學邀請賽）工程隊要修一條小路，第一天修了全長的一半多6米，第二天修了余下的一半少 20米，第三天修了 30米，此時還剩下14米沒有修，則這條小路長 米。【分析】如圖1所示，先根據線段圖理清數量關系，

15、可得全長為：$14 30 -202 62 =108 （米）。Y全長的一半H 6<><第一天A-14-*第二天*第三天30一A圖1余下的一半【鞏固】1、一個人沿著公園馬路走了全長的一半后，又走了剩下路程的一半，還剩下 多少千米？【解析】如圖，1千米，問：公園馬路全長？:全長的一半乖|下的一半1千米*剩下 1的 11J1 千米f實用標準下的錢的一半多1兀，最后還剩4兀，冋：小麗原有多少錢?文檔大全【例9】思思看到織女在織布，她把一段五彩布第一次剪去- 你知道這段五彩布原來長多少米嗎？半，第二次又剪去余下的一半，這時還剩下8米,【解析】根據題意，畫出線段圖，倒推分析.第一軟f

16、65;8它216（米）進半剰E16米第一次戶-鬥J16x232（米）算式：8X 2X 2【鞏固】1、一群螞蟻搬家，原存一堆食物第一天運出總數的一半少12克第二天運出剩下的一半少12克，結果窩里還剩下43克.問螞蟻家原有食物多少克？【解析】 采用倒推法，教師可畫線段圖幫助學生理解如果第二天再多運出12克，就是剩下的一半，所以第一天運出后，剩下的一半重量是 4312=31（克）；這樣，第一天運出后剩下的重31 2=62（克）.那么同理，一半的重量是6212=50（克），原有食物50 2 =100（克）.即【鞏固】2、一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15

17、米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米?【鞏固】3、修建一條下水道，第一周修了全長的一半多12米，第二周修了剩下的一半少 12米，第三周修了30米，最后還剩18米，這條下水道長多少米？【解析】 如下圖，從圖中可知 30*18-12=36是第一周修后余下的一半，36 2 -12=84米是下水道全長的一半.【例10】桃園里來了第一群猴子，吃去桃子總數的一半又半個；第二群猴子又來吃掉剩下桃子的一半又半個；第三群猴子又來吃掉剩下桃子數的一半又半個這時桃園里還只有 100個桃了 那么園中原有多少桃?【解析】第三群猴沒吃，相應有桃（100 0.5） 2 =201 （個）第二群猴沒吃，相應有桃（201 0.5

18、） 2 =403 （個）第一群猴沒吃，相應有桃（即桃園中原有桃）（403 0.5） 2 =807 （個）實用標準算式：（100+0.5 ） X 2+0.5 X 2+0.5 X 22個，第二天又偷吃了剩下的一半【鞏固】1、山頂上有棵桃數，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數的一半多多2個，這時還剩1個，問：樹上原來有多少個桃子？【例11】剛打完籃球，冬冬覺得非?？?，就拿起一大瓶礦泉水狂喝他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的1,第三口則喝了剩下的1,第四口再喝剩下的1 ,第五口喝了剩下的丄此時瓶子里還剩0.53456升礦泉水，那么最開始瓶子里有幾升礦泉水？【解析】 最開始瓶子里有礦泉水：0

19、.5 -( 1-1)*( 1-1 11 )*( 1-丄)*( 1-1)-(1-1/2 )6543即0.5- r q q q 吒=3 (升廠【鞏固】1、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一 枚；剩下的再四等分又剩一枚，每份一枚.問：原來至少有多少枚棋子？【詳解】棋子最少的情況是最后一次四等分時每份為1枚.由此逆推，得到第三次分之前有1 41 =5（枚），第二次分之前有5 4+1 =21（枚）,第一次分之前有 21 4+1=85 （枚）.【鞏固】2、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一 枚；剩下

20、的再四等分又剩一枚，每份兩枚.問：原來至少有多少枚棋子？板塊二、多個變量的還原問題【例12】三人有不等的存款，只知如果甲給乙40元，乙再給丙30元，丙再給甲20元，給乙70元，這樣三人各有240元，三人原來各有存款多少元？【解析】 甲：240 40 -20 =260 （元）；乙：240 -40 30 -70 =160 （元）；丙：240 -3020 70 =300 【鞏固】1、小巧、小亞、小紅共有 90個玻璃球，小巧給小亞 6個，小亞給小紅5個，小紅給小巧8個，他們的玻 璃球個數正好相等.小巧、小亞、小紅原來各有多少個玻璃球？實用標準【鞏固】2、三棵樹上共有36只鳥，有4只鳥從第一棵樹上飛到第

21、二棵樹上，有8只鳥從第二棵樹上飛到第三棵樹上，有10只鳥從第三棵樹上飛到第一棵樹上，這時，三棵樹上的鳥同樣多原來每棵樹上各有幾只鳥【鞏固】3、三棵樹上共有27只鳥，從第一棵飛到第二棵 2只，從第二棵飛到第三棵 3只，從第三棵飛到第一棵 4 只，這時，三棵樹上的鳥同樣多原來每棵樹上各有幾只鳥？【鞏固】4、三個籠子里共養(yǎng)了78只鸚鵡，如果從第 1個籠子里取岀 8只放到第2個籠子里，再從第 2個籠子里取岀6只放到第3個籠子里，那么 3個籠子里的鸚鵡一樣多求3個籠子里原來各養(yǎng)了多少只鸚鵡【鞏固】5、解放軍某部參加抗震救災，從第一隊抽調一半人支援第二隊，抽調35人支援第三隊，又抽調剩下的一半支援第四隊，

22、后來又調進8人，這時第一隊還有 30人，求第一隊原有多少人？【例13】甲、乙兩班各要種若干棵樹，如果甲班拿出與乙班同樣多的樹給乙班，乙班再從現有的樹中也拿出與甲 班同樣多的樹給甲班，這時兩班恰好都有28棵樹，問甲、乙兩班原來各有樹多少棵？【解析】如果后來乙班不給與甲班同樣多的樹，甲班應有樹28“2=14 （棵），乙班有28 *14=42 （棵），如果開始不從甲班拿出與乙班同樣多的樹，乙班原有樹42"2=21 （棵），甲班原有樹14 *21=35 （棵）列表倒推如下：甲班乙班原來3521第一次后35-21=1421+14=42第二次后14+14=2842-14=28【鞏固】1、一班、二

23、班、三班各有不同數目的圖書.如果一班拿出本班的一部分圖書分給二班、三班，使這兩個 班的圖書各增加一倍；然后二班也拿出一部分圖書分給一班、三班，使這兩個班的圖書各增加一倍；接 著三班也拿出一部分圖書分給一班、二班，使這兩個班的圖書各增加一倍這時，三個班的圖書數目都 是48本.求三個班原來各有圖書多少本？【解析】我們可采用倒推法，再結合列舉法進行分析推理在每一次重新變化后，三個班的圖書總數目是一個不變 的數，由此，可從最后三個班的圖書數目都是48本出發(fā)進行倒推，求每一次重新變化以前三個班各自的圖書數目，逐步倒推出原有的圖書數目依據題意可知，一班、二班的圖書數目各增加一倍才是48 本,因此增加前各應

24、有 24本，所以一班、二班的圖書數目各應減半，還給三班其余各次，以此類推，把倒 推解答的過程用下表表示：一班二班三班結果484848第三次第二次:第一次【鞏固】2、甲、乙、丙3人共有192張郵票從甲的郵票中取出乙那么多給乙后，再從乙的郵票中取出丙那么多 給丙，最后從丙的郵票中取出甲那么多給甲，這時甲、乙、丙3人郵票數相同，甲、乙、丙原來各有多少張？【解析】甲、乙、丙原共有192張郵票，經過三次交換后，甲乙丙三人仍有郵票192張，而且三人郵票數相同，即3人各有郵票：192 “3 =64 （張）.第三次交換從丙的郵票中取出甲那么多給甲，說明這次交換前甲有郵 票64“2=32（張），丙有郵票：64

25、32 =96（張），依此類推，就可以推出答案了.最后相等時各有192亠3=64 （張），列表倒推如下：甲（張）乙（張）丙（張）最后646464前次再前次原來【鞏固】3、有甲、乙兩堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆現在按如下方法移動棋子：第一次從甲堆中拿出和乙堆 一樣多的棋子放到乙堆；第二次從乙堆中拿出和甲堆剩下的同樣多的棋子放到甲堆；第三次又從甲堆 中拿出和乙堆同樣多的棋子放到乙堆照此移法，移動三次后，甲、乙兩堆棋子數恰好都是32個問甲、乙兩堆棋子原來各有多少個？甲乙結果第三次交換前第二次交換前第一次交換前【鞏固】4、甲、乙、丙三人各有銅板若干枚，開始甲把自己的銅板拿出一部分給乙、丙，使乙、丙的銅板

26、數各增加了 1倍；乙把自己的銅板拿出一部分給甲、丙，使甲、丙的銅板數各增加了1倍；丙把自己的銅板拿出一部分給乙、甲，使乙、甲的銅板數各增加了1倍，這時三人銅板數都是 8枚，原來每人各有幾枚？甲乙丙結果第三次交換前第二次交換前第一次交換前【例14】3個探險家結伴去原始森林探險，路上覺得十分乏味就聚在一起玩牌第一局，甲輸給了乙和丙，使他們每人的錢數都翻了一番第二局，甲和乙一起贏了，這樣他們倆錢袋里面的錢也都翻了倍第三局，甲和丙又贏了，這樣他們倆錢袋里的錢都翻了一倍結果，這3位探險家每人都贏了兩局而輸掉了一局，最后3人手中的錢是完全一樣的細心的甲數了數他錢袋里的錢發(fā)現他自己輸掉了100元你能推算岀來

27、甲、乙、丙 3人剛開始各有多少錢嗎？【解析】 假設最后每個人手中的錢是 8份，三人總共24份，利用倒推法.甲乙丙第三局后888第二局后4164第一局后2814開始1347從開始到最后甲的份數少了（13 -8）份，說明每份是100 - （13一8）-20元.所以剛開始時，甲有13 20 =260（元），乙有4 20 =80 （元），丙有720 =140（元）.【鞏固】1、甲乙丙三人各有糖豆若干粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自 己的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取來一些，也使自己的糖豆增加了一倍現在三人的糖豆一樣多如果開始時甲有 51粒糖豆，那么乙最開始有多少

28、粒糖豆？【解析】先假設后來三個人都是 4份甲乙丙丙取后444乙取后甲取后開始【例15】有甲、乙、丙三個油桶，各盛油若干千克.先將甲桶油倒入乙、丙兩桶，使它們各增加原有油的一倍；再將乙桶油倒入丙、甲兩桶，使它們的油各增加一倍；最后按同樣的規(guī)律將丙桶油倒入甲、乙兩桶.這時，各桶油都是16千克.問：各桶原有油多少千克？【解析】列表逆推如下：甲桶乙桶丙桶初始狀態(tài)4+14+8=2628*2=1416+2=8第一次變化8*2 =48+4+16=28322=16第二次變化:16 十 2=816+2=816 + 8+8 = 32第三次變化161616原來甲、乙、丙桶分別有油 26，14，8千克.逆推時注意，每

29、次變化時，有兩桶各增加了一倍，逆推時應分別除以2;另一桶減少了上述兩桶增加的數,逆推時應使用加法【鞏固】1、（第四屆小數報數學競賽決賽試題）A、B C三個油桶各盛油若干千克第一次把A桶的一部分油倒入B、C兩桶，使B、C兩桶內的油分別增加到原來的 2倍；第二次從B桶把油倒入 C A兩桶，使C A 兩桶內的油分別增加到第二次倒之前桶內油的2倍；第三次從 C桶把油倒入 A B兩桶，使A B兩桶內的油分別增加到第三次到之前桶內油的2倍，這樣，各桶的油都為 16千克.問A、B、C三個油桶原來各有油多少千克？【解析】用“倒推法”列出下表ABC結果第三次倒之前第二次倒之前 1第一次倒之前【鞏固】2、三個容器

30、各放一些水，第一次從第一個容器倒一些水到另兩個容器，使得它們的水分別增加到原來的2倍與3倍，第二次從第二個容器倒一些水到第一個與第三個容器中，使它們的水分別增加到3倍與2倍，第三次從第三個容器中倒一些水到第一個與第二個容器中，使它們的水都增加到2倍，這時三個容器中的水都為96毫升，原來三個容器中各有多少毫升水？【解析】可以列一個表，使每一步之間的關系一目了然，下列的表是從后面向前倒推的，具體的填法見下面的解答。容器1容器2容器3最終結果第三次倒之前第二次倒之前原來答案例11、（ 6 66）- 6-6=12、36 7 -24 16 =244 .3、（25 25）5 =250 （個）例214 5

31、-6 “7 8 =102、（101010）10-10（10010）10 -10=110"10 -10=11-10 =13、16 6"4 5 -3 =96“4 5 -3 =24 5 -3=29-3=26例31、（100-T0 6） 4 15 =792、（2000 - 10+15） X 5-75例41、174 （9 -6） -10 （9 -6） = 174 3 -30 =1472、3、例1、2、3、例1、2、3、例1、例1、例1、2、3、例1、例1、2、例1、2、3、4、5、例1、164(73 _49) = 188 或 164 _630 =188123 - (80 _30) _(9 _5) =1695(9+15) 10X 2 +2 X 2住7 15 _102 32=541(25 10) 2 10 2