第五章誤差橢圓

1、編輯ppt1 誤差理論與測(cè)量平差誤差理論與測(cè)量平差主 編：夏春林副 主 編：錢建國、張恒璟參 編：李偉東、文曄編寫高校：遼寧工程技術(shù)大學(xué) 吉林建筑大學(xué) 大連理工大學(xué)城市學(xué)院第第5章章 誤誤 差差 橢橢 圓圓【學(xué)習(xí)要點(diǎn)及目標(biāo)】了解點(diǎn)位誤差的基本概念；熟悉點(diǎn)位誤差計(jì)算步驟與方法；熟悉誤差曲線、誤差橢圓、相對(duì)誤差橢圓的計(jì)算步驟。編輯ppt35.1 點(diǎn)位誤差概述點(diǎn)位誤差概述平面控制測(cè)量的目的是確定待定控制點(diǎn)的一對(duì)平面直角坐標(biāo)。由于觀測(cè)值總是帶有誤差，因而根據(jù)觀測(cè)值，通過平差計(jì)算所得的是待定點(diǎn)的最或然坐標(biāo)x、y，并不是其坐標(biāo)真值、。如圖5-1所示，P為某待定點(diǎn)的真實(shí)位置，為平差計(jì)算所求得的最或然點(diǎn)位，那

2、么點(diǎn)相對(duì)P點(diǎn)的偏移量就是P點(diǎn)的點(diǎn)位真誤差(簡(jiǎn)稱真位差)。在x、y坐標(biāo)軸上的投影分別為xxxyyy(5-1) 編輯ppt45.1 點(diǎn)位誤差概述點(diǎn)位誤差概述由圖5-1可知5-2圖5-1 點(diǎn)位真誤差編輯ppt5,5.1 點(diǎn)位誤差概述點(diǎn)位誤差概述P點(diǎn)的最或然坐標(biāo)x、y都是由同一組觀測(cè)值通過平差計(jì)算所求得的。設(shè)平差后的坐標(biāo)x、y與觀測(cè)值向量之間的線性函數(shù)關(guān)為 0=+xL0=+yL顯然，隨著觀測(cè)值的不同，x和y也將取得不同的數(shù)值。換言之，對(duì)應(yīng)于不同的子樣觀測(cè)值，將得到不同的x、y值，因 而就出現(xiàn)不同的 xyP所以它們都是隨機(jī)變量。對(duì)該函數(shù)關(guān)系取數(shù)學(xué)期望，得值0000( )+()+()+()+E x =E=

3、 xEy =E= yLLLL編輯ppt6根據(jù)方差的定義，并顧及式(5-1)，則有5.1 點(diǎn)位誤差概述點(diǎn)位誤差概述對(duì)式(5-2)兩邊取數(shù)學(xué)期望，得22222222( ) () ()( ) () ()xyExE xExxExEyE yEyyEy22222()()()xyEPExEy式中， 2()EP2P，則 是P點(diǎn)真位差平方的理論平均值，即P點(diǎn)的點(diǎn)位方差，若記為 則 222Pxy (5-3) 編輯ppt7式中， xy分別為P點(diǎn)在x、y方向上的中誤差，或稱為x、y方向上的位差。將式(5-3) 開方即得P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差 P如果將圖5-1中的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)某一個(gè)角度，即以 x Oy為坐標(biāo)系(圖5-2)，則P

4、、P點(diǎn)的 坐標(biāo)分別為 ( ,) ( ,)x yx y和雖然在新坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的真誤差 xy的大小變了，但 P的大小將不因坐標(biāo)軸的變動(dòng)而發(fā)生變化，此時(shí) 5.1 點(diǎn)位誤差概述點(diǎn)位誤差概述222Pxy 據(jù)式(5-2)、式(5-3)可以直接寫出222Pxy可見，點(diǎn)位方差 2P總是等于兩個(gè)相互垂直方向上的位差的平方和，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān) 5.1 點(diǎn)位誤差概述點(diǎn)位誤差概述圖5-2 位差大小與坐標(biāo)系無關(guān)5.1 點(diǎn)位誤差概述點(diǎn)位誤差概述編輯ppt10如圖5-1所示，如果再將P點(diǎn)的真位差 P投影于AP方向和垂直于AP的方向上，則得 su和此時(shí)有 222Psu 仿式(5-4)的由來，又可以寫出222Psu (5-5

5、)s為縱向位差 u為橫向位差。通過縱、橫向位差來求點(diǎn)位誤差，這在測(cè)量工作中是一種常用的方法。 5.1 點(diǎn)位誤差概述點(diǎn)位誤差概述編輯ppt115.2 點(diǎn)位誤差計(jì)算點(diǎn)位誤差計(jì)算5.2.1 點(diǎn)位方差因?yàn)榇c(diǎn)的x、y坐標(biāo)平差值的方差可表達(dá)為222002220011xxxxyyyyQpQp(5-6)xxQyyQ就是該點(diǎn)最或然坐標(biāo)x和y的權(quán)倒數(shù)。 (2) 按條件平差時(shí)。當(dāng)三角網(wǎng)按條件平差時(shí)，因待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值是觀測(cè)值的函數(shù)，這時(shí)可根據(jù)第1章中的協(xié)因數(shù)傳播律來求待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值的協(xié)因數(shù)。編輯ppt125.2.2 任意方向的位差任意方向的位差如圖5-3所示，設(shè)某任意方向與x軸夾角為 為求待定點(diǎn)P在方向 上

6、的真位差 需先找出 與x、y方向上的真位差 xy的函數(shù)關(guān)系 P點(diǎn)在 方向上的真位差，實(shí)際上就是P點(diǎn)的真位差 PP在 方向上的投影值 PP由圖5-3可以看出 xy的關(guān)系為 cossinPPP Pxy 編輯ppt13xy5-3 、的關(guān)系根據(jù)廣義傳播律，得22222cossinsin2 xyxy顧及式(5-6)，又得 2222200(cossinsin2 )xxyyxyQQQQ式(5-11)就是求任意方位 方向上點(diǎn)位方差的基本公式 5.2.2 任意方向的位差任意方向的位差編輯ppt145.2.3 位差的極大值、極小值與極值方向位差的極大值、極小值與極值方向在式(5-11)中，對(duì)于某具體平差問題 0和

7、協(xié)因數(shù)Q為與 角無關(guān)的定值，即 是以為單一自變量的函數(shù)。因此，只要將 QQ對(duì) 求導(dǎo)，并令其為零，即可求出取得極值時(shí)的方向 0也就是使22d(cossinsin2 )0dxxyyxyQQQ即000002cossin2sincos2cos20 xxyyxyQQQ由此得02tan2xyxxyyQQQ(5-12) 編輯ppt155.2.3 位差的極大值、極小值與極值方向位差的極大值、極小值與極值方向根據(jù)式(5-12)可得兩個(gè)解 0022180和極值方向?yàn)?0090和為判斷哪一個(gè)是極大值方向，哪一個(gè)是極小值方向，將 0代入式(5-11)，得022220000222000020(cossinsin2)2t

8、an cossin1tanxxyyxyxxyyxyQQQQQQ上式中，括號(hào)內(nèi)前兩項(xiàng)恒為正值，因此，當(dāng) 0tanxyQ與同號(hào)時(shí)， 02為極大值 而 0290為極小值；當(dāng) 0tanxyQ與異號(hào)時(shí)， 02為極小值，而 0290編輯ppt16為極大值。習(xí)慣上，用E表示極大值，F(xiàn)表示極小值， E表示極大值方向， F表示極小值方向。 EF總是互差 90即 FE90將 EF分別代入式(5-11)，得兩個(gè)位差極值的初步表達(dá)式為22220EEE22220FFF(cossinsin2)(cossinsin2)xxyyxyxxyyxyEQQQFQQQ下面導(dǎo)出計(jì)算位差極值的常用公式。將 0代入式(5-11)，并考慮到

9、 2001cos2cos22001cos2sin25.2.3 位差的極大值、極小值與極值方向位差的極大值、極小值與極值方向編輯ppt17得022000020001cos21cos2sin222 ()()cos22sin22xxyyxyxxyyxxyyxyQQQQQQQQ顧及式(5-12)，則022000020021()cos22sin22tan221 ()2sin2xyxxyyxyxyxxyyQQQQQQQ由三角學(xué)知 20011cot 2sin2 則0222001()21cot 22xxyyxyQQQ5.2.3 位差的極大值、極小值與極值方向位差的極大值、極小值與極值方向編輯ppt185.2.

10、3 位差的極大值、極小值與極值方向位差的極大值、極小值與極值方向2202()1()212(2)xxyyxxyyxyxyQQQQQQ22201()()42xxyyxxyyxyQQQQQ令22()4xxyyxyKQQQ則2202201()21()2xxyyxxyyEQQKFQQK這就是求極值 E、F 的常用公式。不難看出， P與 E、F 間存在以下關(guān)系，即222PEF(5-14) (5-15) (5-16) 編輯ppt195.2.4 用極值表示任意方向上的位差用極值表示任意方向上的位差任意方向位差計(jì)算公式(5-11)中，方向 是從x軸算起的，并且是通過協(xié)因數(shù)來計(jì)算位差。但既然已經(jīng)算得了極值和極值方

11、位，那么很多時(shí)候，以極值方向作為起始方向并通過極值來 上的位差計(jì)算公式，此處方向 是以極大值E的方向?yàn)槠鹗驾S的 即把xOy坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn) E角后形成 eex Oy坐標(biāo)系，見圖5-4 編輯ppt20圖5-4 以E為起始軸時(shí)的角度關(guān)系5.2.4 用極值表示任意方向上的位差用極值表示任意方向上的位差編輯ppt21由圖5-4中可知，任意方向在兩個(gè)坐標(biāo)系中的方位角有以下關(guān)系，即EE把 代入式(5-10)，得 222222EEE22222EEE22222EEE22EEcos ()sin ()sin(22)1 coscossinsinsin2sin221 sincoscossinsin2sin22 (sin2c

12、os2cossin2sinxyxyxyxyE22222EEE22222EEE22EEsin2) cos(cossinsin2)sin(sincossin2)1sin2 ()sin22cos22xyxyxyxyxyxy 5.2.4 用極值表示任意方向上的位差用極值表示任意方向上的位差編輯ppt22顧及 EF90以及式(5-6)，有 222220EEE22220FFF20Ecos(cossinsin2)sin(cossinsin2)1sin2 ()sin22cos22xxyyxyxxyyxyxxyyExyQQQQQQQQQ由式(5-12)知EEE2sin2tan2cos2xyxxyyQQQ顯然，

13、EE()sin22cos20 xxyyxyQQQ再顧及式(5-13)，則得 再顧及式(5-13)，則得 22222cossinEF此即以極大值方向?yàn)槠鹗驾S，用E、F表示的任意方向 上位差 的實(shí)用公式 (5-17)5.2.4 用極值表示任意方向上的位差用極值表示任意方向上的位差編輯ppt23例5-1 如圖5-5所示，在固定三角形內(nèi)插入一點(diǎn)P，經(jīng)過平差后得P點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣為3.810.36 0.362.93xxxyyxyyQQQQ(cm2/) 單位權(quán)方差為 20=1.962。試求:(1) 位差的極值方向 EF和(2) 位差的極大值E、極小值F與P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差。(3) 已算出PM方向的方位角 P

14、M7529T求PM方向上的位差。5.2.4 用極值表示任意方向上的位差用極值表示任意方向上的位差編輯ppt24圖5-5 三角形內(nèi)插一點(diǎn)解 (1) 由式(5-12)得0220.36tan20.818183.812.93xyxxyyQQQ則E1938 4019938 40F10938 4028938 405.2.4 用極值表示任意方向上的位差用極值表示任意方向上的位差編輯ppt25(2)由式(5-14)和式(5-15)得2222()4(3.182.93)40.361.14xxyyxyKQQQ222022201()7.72 cm21()5.49cm2xxyyxxyyEQQKFQQK所以2 .7 8

15、c mE2 .3 4 c mF 22P3.63cmEF5.2.4 用極值表示任意方向上的位差用極值表示任意方向上的位差編輯ppt26(3) 將PM的方位角 PM7529T直接代入式(5-11)，得22222PM0PMPMPM(cossinsin2)6.19cmxxyyxyQTQTQT或者，因?yàn)镋PME75291938 405550 20T所以將E、F和 值代入式(5-17)同樣可得222222PMcossin6.19cmEF即P M2 .4 9 cm5.2.4 用極值表示任意方向上的位差用極值表示任意方向上的位差5.3 誤 差 曲 線應(yīng)該看到，點(diǎn)位中誤差 雖然可以評(píng)定待定點(diǎn)的點(diǎn)位精度，但它卻不

16、能全面反映該點(diǎn)在任意方向上的位差大小。即使上面提到的 、 、 、 、以及E、F、 。等，也只是待定點(diǎn)在幾個(gè)特定方向上的位差。在工程控制測(cè)量中，除了計(jì)算待定點(diǎn)在某給定方向上的位差外，有時(shí)為了更清楚、直觀地了解某些待定點(diǎn)的位差在平面各方向上的分布情況，需要把待定點(diǎn)在各方向上的位差都圖解出來，以便分析研究其點(diǎn)位誤差特性，優(yōu)化測(cè)量方案。P xysu 編輯ppt28如果以不同的 值代入式(5-17)，算出各個(gè)方向的值，則以 和 為極坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡必為一閉合曲線(圖5-6)，稱為誤差曲線，它把各方向的位差清楚地圖解了出來。很顯然，誤差曲線是關(guān)于極值方向(即 軸、 軸)對(duì)稱的，而且這條曲線在任意方向 上的向

17、徑 就是點(diǎn)P在該方向的位差。 (0360 )exeyPM5.3 誤 差 曲 線編輯ppt295.3 誤 差 曲 線 圖5-6 點(diǎn)的誤差曲線編輯ppt305.3 誤 差 曲 線 利用誤差曲線圖不但可以得到坐標(biāo)平差值在各個(gè)方向上的位差，甚至可以得到坐標(biāo)平差值函數(shù)的中誤差。例如，圖5-7所示為控制網(wǎng)中P點(diǎn)的點(diǎn)位誤差曲線，A、B和C為已知點(diǎn)。在該圖中可以確定以下誤差信息：圖5-7 特定方向方差的圖解編輯ppt315.3 誤 差 曲 線 (1) 待定點(diǎn)任意方向的位差。EFxyPPPaPbPcEPdF(5-18)(2) 待定點(diǎn)P至任意已知三角點(diǎn)(視為無誤差)的邊長中誤差。例如，PA邊SPA平差后的邊長中誤

18、差為PASPe (5-19)編輯ppt325.3 誤 差 曲 線 (3) 待定點(diǎn)P至任意已知三角點(diǎn)的平差后方位角的中誤差。例如，欲求PA邊平差后方位角 的中誤差 ，則可先在圖中量出垂直于PA方向上的位差 ，這就是PA邊的橫向位差，于是可求得PAPAPfPAPAPfS (5-20)式中， 為常數(shù)206265。編輯ppt335.4 誤 差 橢 圓 誤差曲線不是一種典型曲線，作圖也不方便，因此降低了它的實(shí)用價(jià)值。但其形狀與以E、F為長、短半軸的橢圓很相似，如圖5-8所示。而橢圓是一種規(guī)則圖形，作圖也比較容易，所以實(shí)際上常用以E、F為長、短半軸的橢圓來代替誤差曲線，并稱為誤差橢圓。因此一般情況下，總是

19、先求出待定點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓，再通過誤差橢圓求得待定點(diǎn)在任意方向上的誤差，起到與誤差曲線同樣的作用，方便而又全面地反映點(diǎn)位誤差在各個(gè)方向上的分布情況。如圖5-8所示，在以 為軸的坐標(biāo)系中，誤差橢圓的方程為eexy、22ee221xyEF (5-21)編輯ppt345.4 誤 差 橢 圓 圖5-8 誤差曲線與誤差橢圓編輯ppt355.4 誤 差 橢 圓 可見，在平面上確定誤差橢圓的參數(shù)為 、E、F。有了這3個(gè)參數(shù)，便可以在控制網(wǎng)圖上繪制出待定點(diǎn)的誤差橢圓。為了更清晰地表達(dá)誤差大小，具體繪制時(shí)，對(duì)誤差橢圓要使用和控制網(wǎng)圖形不同的更大的比例尺進(jìn)行夸張顯示。E為了說明如何在誤差橢圓上圖解誤差信息而達(dá)到在

20、誤差曲線上一樣的效果，就必須討論誤差橢圓與誤差曲線之間的圖解關(guān)系：對(duì)于與 軸夾角為 的某個(gè)方向，過橢圓上適當(dāng)一點(diǎn)T ( )作切線TQ與其垂直，相交于垂足D點(diǎn)。那么，線段 的長度就一定是誤差曲線上 方向的位差 。下面就來證明 。ex11ee,xyODOD編輯ppt365.4 誤 差 橢 圓 由圖5-8可知11eecossinODOCCDxy將上式平方，得111122222eeeecossin2sincosODxyx y (5-22)設(shè)過橢圓上點(diǎn)T的切線的斜率為K，由式(5-21)得112ee2eeddF xykxE y 又知切線TD與直線OD垂直，則切線斜率又應(yīng)為1tank 則有112e2e1t

21、anF xE y即11ee22sincos0 xyEF編輯ppt375.4 誤 差 橢 圓 將上式平方并兩端同乘以E2F2，并移項(xiàng)得111122ee2222ee222sincossincosxyx yFEEF將上式代入式(5-22)，有11111111222ee22222222ee2222ee222222222222ee222222cossinsincos (cossin)(cossin) (cossin)xyODxyFEEFxyEFEFEFxyEFEF因T ( )是橢圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程11ee,xy1122ee221xyEF則22222cossinODEF將式(5-23)與式(5-1

22、7)對(duì)比，可知OD編輯ppt385.4 誤 差 橢 圓 以上的證明也間接說明了如何利用誤差橢圓求某點(diǎn)在任意方向 上的位差 的方法。即在求 時(shí)，只要作橢圓的切線與 方向垂直，則垂足與原點(diǎn)的連線長度就是 方向上的位差。在以上討論中，都是以一個(gè)待定點(diǎn)為例。如果網(wǎng)中有多個(gè)待定點(diǎn)，可以利用上述方法，依次為每一個(gè)待定點(diǎn)確定一個(gè)誤差橢圓并求解誤差信息。編輯ppt395.5 相對(duì)誤差橢圓 在平面控制網(wǎng)中，有時(shí)不僅需要了解待定點(diǎn)相對(duì)于起始點(diǎn)的精度，還要研究任意兩個(gè)待定點(diǎn)之間相對(duì)位置的精度。前面討論了利用點(diǎn)位誤差橢圓求解某些量的中誤差的方法，但卻不能確定待定點(diǎn)與待定點(diǎn)之間的某些精度指標(biāo)，因?yàn)檫@些待定點(diǎn)間的坐標(biāo)是相

23、關(guān)的。為了直觀展示兩個(gè)待定點(diǎn)之間的相對(duì)精度，就需要進(jìn)一步作出兩待定點(diǎn)之間的相對(duì)誤差橢圓。設(shè)有兩個(gè)待定點(diǎn)為Pi和Pk，其坐標(biāo)平差值的協(xié)因數(shù)陣為iiiiikikiiiiikikkikikkkkkikikkkkx xxyx xxyyxyyyxyyxxxyxxxyyxyyyxyyQQQQQQQQQQQQQQQQ編輯ppt405.5 相對(duì)誤差橢圓 兩待定點(diǎn)平差后的相對(duì)位置可通過坐標(biāo)差來表示，即ikkiikkixxxyyy其矩陣表達(dá)式為10100101iikiikkkxxyyxy (5-24)根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律，得22iikkikiikkikiikkikkixxx xxxx xyyy yyyy yxyx y

24、xyx yxyQQQQQQQQQQQQQ (5-25)利用這些協(xié)因數(shù)，根據(jù)式(5-12)和式(5-14)、式(5-15)，就可得到計(jì)算Pi和Pk點(diǎn)間相對(duì)誤差橢圓元素的3個(gè)公式，即022220222202tan 21()421()42xyxxyyxxyyxxyyxyxxyyxxyyxyQQQEQQQQQFQQQQQ (5-26)編輯ppt415.5 相對(duì)誤差橢圓 在計(jì)算出相對(duì)誤差橢圓元素以后，便可用繪制誤差橢圓的方法畫出相對(duì)誤差橢圓。只是誤差橢圓是以待定點(diǎn)為中心繪制的，而相對(duì)誤差橢圓則通常以兩待定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為中心繪制。根據(jù)相對(duì)誤差橢圓便可圖解出所需要的任意方向上的相對(duì)位差大小。例5-2 如圖5

25、-9所示的測(cè)角網(wǎng)中，已知點(diǎn)為A、B、C，其坐標(biāo)分別為A(14899.84 m，130.81 m)、B(22939.70 m，2136.89 m)、C(51721.82 m，15542.85 m)；待定點(diǎn)為P1、P2，平差后坐標(biāo)分別為P1(16467.745 m，4986.847 m)、P2(6126.997 m，5957.482 m)；單位權(quán)中誤差 為 ；未知數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為02.41 0 . 6 10 . 8 10 . 6 00 . 1 20 . 8 11 3 . 4 80 . 5 20 . 9 40 . 6 00 . 5 21 1 . 7 22 . 8 60 . 1 20 . 9 42 .

26、8 61 4 . 2 1編輯ppt425.5 相對(duì)誤差橢圓 試作出P1、P2點(diǎn)間的相對(duì)誤差橢圓。圖5-9 測(cè)角網(wǎng)示意圖編輯ppt435.5 相對(duì)誤差橢圓 解 由式(5-25)和式(5-26)得23.532.692.6925.81x xx yy xy yQQQQ 022( 2.69)tan22.359623.5325.81x yx xy yQQQ 121233100E22120221()()421 2.4(23.5325.81)(23.5325.81)4( 2.69 ) 212.6cm x xy yx xy yx yEQQQQQ 編輯ppt445.5 相對(duì)誤差橢圓 22120221()()421

27、 2.4(23.5325.81)(23.5325.81)4( 2.69)211.2cmx xy yx xy yx yFQQQQQ 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，即可以適當(dāng)?shù)谋壤?，在兩待定點(diǎn)連線的中點(diǎn)上繪相對(duì)誤差橢圓(圖5-10中P1、P2點(diǎn)連線的中間)。圖5-10 誤差橢圓與相對(duì)誤差橢圓編輯ppt455.5 相對(duì)誤差橢圓 有了P1、P2點(diǎn)的相對(duì)誤差橢圓，就可以按5.4節(jié)所述方法，圖解得到所需要的任意方向上的位差。例如，要確定P1、P2點(diǎn)間邊長誤差 ，它就是 方向上的位差，只要在相對(duì)誤差橢圓上作垂直于 的橢圓切線，交 于a點(diǎn)，則 = ；同樣，在相對(duì)誤差橢圓上作平行于 的橢圓的切線，與過 點(diǎn)且垂直于 的射線交于b點(diǎn)，則可得P1P