概率統(tǒng)計(jì)第二章1

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫、教案制作： 裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼，這樣字而叫號(hào)碼，這樣建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系系. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律,有必要將隨機(jī)試將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,即引入隨機(jī)變量來描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果.例例 檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果 , 也可以用一個(gè)離散變量來描述1,( )0,X次品正品第一節(jié) 隨機(jī)變量上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)設(shè) 是試驗(yàn)E的樣本空間, 若則稱 X ( ) 為 上的 隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用大寫字母 X, Y , Z , )(X實(shí)

2、數(shù)定義定義隨機(jī)變量 ( random variable )按一定法則 1,( )0,X次品正品sR這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函 數(shù)數(shù)不一樣不一樣！.( )X上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) (1) 隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù) , 但普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同:1,( )0,X次品正品隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 是R上的映射, (2) 隨機(jī)變量X 的可能取值不止一個(gè), 試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值，但不能預(yù)知取哪個(gè)值(3) X 以一定的概率取某個(gè)值. 有了隨機(jī)變量有了隨機(jī)變量, 隨

3、機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.二、引入隨機(jī)變量的意義二、引入隨機(jī)變量的意義 如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫沒有收到呼叫沒有收到呼叫1X0X上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 再如再如，從某一學(xué)校隨機(jī)選從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測(cè)量他的身高一學(xué)生，測(cè)量他的身高. 我們可以身高看作隨我們可以身高看作隨機(jī)變量機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題的各種問題. 如如

4、PX1.7=？ PX1.5=?P1.5X0.95 的最小的的最小的m .查表得查表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即也即068. 0!595kkke于是得于是得 m+1=10,m=9.1505. 0!5mkkke或或上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例例6 6 社會(huì)上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券,中獎(jiǎng)率為p.某人每次購(gòu)買一張獎(jiǎng)券,如果沒有中獎(jiǎng)則下次繼續(xù)購(gòu)買1張,直至中獎(jiǎng)為止.求該人購(gòu)買次數(shù)的分布律. 解解 設(shè)該人購(gòu)買的次數(shù)為X ,則X的可能取值為.,2, 11X表示第一次購(gòu)買就中獎(jiǎng),其概率為p.2X表示購(gòu)買兩次獎(jiǎng)券,但第一次未中獎(jiǎng),其概率為1-p,而第二次中獎(jiǎng),其概率為p.由獨(dú)立性知,有ppXP

5、)1 (2上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)1(1)1,2,kP Xkppk(1) 一般的,如果某隨機(jī)變量的分布律具有(1)的形式,則稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為參數(shù)為p的幾何分布的幾何分布.kX表示共購(gòu)買了k次獎(jiǎng)券,其中前k-1次都未中獎(jiǎng),而第k次中獎(jiǎng),因此有ppkXPk 1)1 ( 因此,購(gòu)買次數(shù) 的分布律為X 例例6 6 社會(huì)上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券,中獎(jiǎng)率為p.某人每次購(gòu)買一張獎(jiǎng)券,如果沒有中獎(jiǎng)則下次繼續(xù)購(gòu)買1張,直至中獎(jiǎng)為止.求該人購(gòu)買次數(shù)的分布律.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例例3 設(shè)某批產(chǎn)品共有N件，其中有M 件次品。按如下兩種方式從中任選n件產(chǎn)品: (1)一次次從中取出產(chǎn)品，每次取一件，并在觀察后放回;

6、設(shè)取得的次品數(shù)為 ，試求 的分布律。解 (1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取時(shí)抽到一件次品的概率均為M/N，所以故有nkNMNMCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,1),/,(NMnBXXXnNC種，而其中恰好有k件次品的取法共有knMNkMCC種，所以有此時(shí)我們稱X服從超幾何分布。,min, 2 , 1 , 0,MnkCCCkXPnNknMNkM 例例3 設(shè)某批產(chǎn)品共有N件，其中有M 件次品。按如下兩種方式從中任選n件產(chǎn)品(2)在N件產(chǎn)品中任選n件,設(shè)取得的次品數(shù)為 ，試求 的分布律。XX (2)在N件產(chǎn)品中任選n件，所有可能的取法有上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)()x 為X 的分布函數(shù)分布

7、函數(shù)。設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，定義定義1 1是任意實(shí)數(shù)，則稱函數(shù)x( )(),F xP Xx12P xXx21()( )F xF x可以使用分布函數(shù)值描述隨機(jī)變量落在區(qū)間里的概率。第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)1x2xx 21P XxP Xx 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間 內(nèi)的概率內(nèi)的概率,(xxoxXX 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)分布函數(shù)完整地描述了分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性. .)()(1221xFxFxXxP因此可以認(rèn)為12P

8、 xXx21()( )F xF x可以使用分布函數(shù)值描述隨機(jī)變量落在區(qū)間里的概率。1x2xx 21P XxP Xx 分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機(jī)變量.()x 為X 的分布函數(shù)分布函數(shù)。設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，定義定義1 1( )(),F xP Xxx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)解解:例1. 已知隨機(jī)變量X 的分布律為1612131Xkp02求分布函數(shù)( )F x( )F xP Xx當(dāng) 時(shí), 0 x Xx ( )0F x當(dāng) 時(shí), 01x( )F xP Xx0P X13當(dāng) 時(shí), 12x( )F x 1136( )F x 1.1201P XP X12P XP X

9、0P X 2x 當(dāng)時(shí)，x210( )F x 所以，0,0 x 1,2x 1/ 2,12x1/ 3,01x上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)0,01/ 3,01( )1/ 2,121,2xxF xxx概率函數(shù)圖概率函數(shù)圖1 312x()P Xx1 61 21 6OOO1)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫分布函數(shù)圖畫分布函數(shù)圖012111362X210()x ( )(),F xP Xx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 的圖形是階梯狀的圖形,在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).0,01/ 3,01( ),1/ 2,121,2xxF xxx1 312x1 61 21

10、6OOO1)(xF012111362X210F(x)右連續(xù)( )()F xP Xx 一般,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為kkpxXP,2, 1k則由概率的可加性可得分布函數(shù)為xxkxxkkkpxXPxXPxF)(1 312x1 61 21 6OOO1)(xF210上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)12xx若二、分布函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)不減性：()lim( )0,xFF x (0)lim( )( ).txF xF tF x 右連續(xù)性： ，且，則()lim( )1;xFF x 上述三條性質(zhì)，也可以理解為判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。( )(),F xP Xx2112()( )0,F xF xP xXx12()x

11、x事實(shí)上,0( )1F x12()()F xF xx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例1 1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為Xkp1 2 3412141求X的分布函數(shù),并求,21XP32 XP解解 由概率的可加性,得所求的分布函數(shù)為 3,41214132,214121,411,0)(xxxxxXPxF上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)313(3)(2)2 1424FFP X 412121FXP因此3,41214132,214121,411, 0)(xxxxxXPxF23PX2323PXP XP X(3)(2)FF( )()F xP Xxox23上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例例 2 一個(gè)靶子是半徑為 2 米的圓盤，設(shè)擊中靶上任

12、一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點(diǎn)與圓心的距離. 試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：解：（1） 若 x 3出現(xiàn)的次數(shù)),則)32, 3( BY故所求的概率為2720323132)2(333223CCYP 例例3 3 設(shè)隨機(jī)變量.5 , 2UX現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立的觀測(cè)，求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.解：解：3231)3(53dxXP上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例2.4.3設(shè)隨機(jī)變量 服從區(qū)間 上的均勻分布,求方程X0,524420tXtX有實(shí)根的概率.解: 因?yàn)楫?dāng)2161620XX 時(shí)方程有實(shí)根,即或1X 2X 時(shí)方程有實(shí)根,所以所求概率為12P XX 或

13、12P XP X 52105dx3.5上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二二. .指數(shù)分布指數(shù)分布( (Exponential Distribution) )如果隨機(jī)變量X的概率密度為0, 00,)(xxexfx)(EX則稱 X 服從參數(shù)為參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布.0 其其中中為常數(shù)為常數(shù), 01.0 xxf xedxe 1,0( )0,0 xexF xP Xxx 例例若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布, 則其則其分布函數(shù)分布函數(shù)為為證：證：事實(shí)上事實(shí)上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 00 xdt 0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), xF xf t

14、dt 00dt 0 xtedt 0, 00,)(xxexfx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)易知，若),(EX則其分布函數(shù)為1,0( )0,0 xexF xx 指數(shù)分布在排隊(duì)論和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用，常常用它來作為各種“壽命”的分布的近似.例如,電子元件的壽命,電話的通話時(shí)間,微生物的壽命,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都可認(rèn)為是近似服從指數(shù)分布.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)就是“無(wú)后效性無(wú)后效性”或“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”.具體敘述如下.),(EX設(shè)則對(duì)于任意的 s 0, t 0,有|tXPsXtsXP事實(shí)上，有,|sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)(tXPeeetsts1,

15、0( )0,0 xexF xx 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 假如把服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量解釋為某元件工作的壽命,則上式表明,在該元件已工作了s小時(shí)的條件下,它還能繼續(xù)工作t小時(shí)的概率與已經(jīng)工作過的時(shí)間s無(wú)關(guān).換句話說,如果元件在時(shí)刻s還“活著”,則它的剩余壽命的分布還是原來壽命的分布,而與它已工作了多長(zhǎng)的時(shí)間無(wú)關(guān).所以有時(shí)又稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕永遠(yuǎn)年輕”的.值得指出的是,我們可以證明,指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型分布指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型分布.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 下面的例子說明了泊松分布和指數(shù)分布之間的關(guān)系。即 服從參數(shù)為 指數(shù)分布。X=1te ,0( )( )0,0 xe

16、xf xF xx()( )!ktP N tkek上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)三三.正態(tài)分布正態(tài)分布(Normal Distribution)若隨機(jī)變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX 稱相應(yīng)的分布函數(shù)為正態(tài)分布正態(tài)分布,相應(yīng)的概率密度為正態(tài)密度正態(tài)密度.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量統(tǒng)稱為正態(tài)變量正態(tài)變量. .正態(tài)變量的分布函數(shù)為22()21( )2txF xedt 正態(tài)分布是概率論中最重要最重要的一個(gè)分布.高斯在研究誤差理論時(shí)曾用它來刻劃誤差,所以又稱為高斯分布.經(jīng)驗(yàn)表明,許多實(shí)際問題中的隨機(jī)變量,如測(cè)量誤差,炮彈落點(diǎn)的分布,人的身

17、高,學(xué)生考試的成績(jī),農(nóng)作物的產(chǎn)量,產(chǎn)品的尺寸等都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布.三三.正態(tài)分布正態(tài)分布(Normal Distribution)若隨機(jī)變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX+ ( )f x dx22 tIedt記2212xttedt令2212tedt22(22)xyIedxdy22002rderdr2I( )1.f x dx若隨機(jī)變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX22200red 202 .d ;12 dxxf ;01 xf曲線曲線 關(guān)于關(guān)于

18、 軸對(duì)稱；軸對(duì)稱； fx 3函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值取得最大值x 正態(tài)分布的概率密度曲線圖正態(tài)分布的概率密度曲線圖: :xyo1.222()21( )2xf xe; 0)(,)5(xfx時(shí)當(dāng) 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布),(2N22()21( )2xf xe概率密度曲線特點(diǎn)概率密度曲線特點(diǎn): :當(dāng)固定時(shí),越大,曲線的峰越低,落在附近的概率越小,取值就越分散,是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。 正態(tài)分布正態(tài)分布),(2N

19、22()21( )2xf xe;,)(,)9(軸作平移變換著只是沿圖形的形狀不變的大小時(shí)改變當(dāng)固定xxf概率密度函數(shù)圖形特點(diǎn)概率密度函數(shù)圖形特點(diǎn): : 正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和和唯一確定，唯一確定， 當(dāng)當(dāng)和和不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。下面我們介紹一種下面我們介紹一種最重要最重要的正態(tài)分布的正態(tài)分布若隨機(jī)變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)),1 ,0( NX若則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 其概率密度函數(shù)通常用)(x表示,

20、分布函數(shù)記作).(x2221)(xexxtdtex2221)(若隨機(jī)變量 X 的概率密度為22()21( )2xfxe 則稱 服從參數(shù)為參數(shù)為X2,的正態(tài)分布.記為).,(2NX標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)-3-2-1012300.050.10.150.20.250.30.350.4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度 的圖形)(x221( )2xxe12上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)公式:)(1)(xx 1xx ()yx()x()x 0yxxx221( ),2xxe221( )2xtxedt1(0)2上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù))(x可通過查書后的附表得到.但是表中只列出了0 x時(shí)的分布

21、函數(shù)值,對(duì)于0 x時(shí)的情形,可利用下面的公式計(jì)算)(1)(xx問題：?jiǎn)栴}：對(duì)于一般的正態(tài)分布),(2N,如何計(jì)算其分布函數(shù)的值?設(shè)),(2NX其分布函數(shù)為),(xF則22()21( )2txF xedt)(tux2212xuedu221( )2xtxedt上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)于是,有 P aXbF bF a 通常稱這個(gè)公式為正態(tài)概率計(jì)算公式正態(tài)概率計(jì)算公式,它把一般正態(tài)變量的概率計(jì)算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來計(jì)算.設(shè)),(2NX其分布函數(shù)為),(xF則22()21( )2txF xedtx2212xueduba 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)若),(2NX則(0,1)XZN定理定理XP ZxPx)(xx證

22、明：P Xx更進(jìn)一步的，還有下面的結(jié)論。( )xP XxF x 若若 XN(0,1),)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab若),(2NX則(0,1)XZN)(bZaPaXbP設(shè)),(2NX,則有%26.68) 1() 1 (|XP)(1)(xx|1XPXP若),(2NX則(0,1)XZN(1)( 1) ()yx()x()x 0yxxx 11XP 68.26%查表可得查表可得 11PZ 2 (1) 1 設(shè)),(2NX,則有%26.68) 1() 1 (|XP%44.95)2()2(2|XP%74.99)3()3(3|XP即, X落在 內(nèi)幾乎是肯定的事.這就是所謂的“ ”法則.)3,3

23、(399.74%3268.26%2395.44%解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的h . .看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子: 例例 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在頭機(jī)會(huì)在 0.01 以下來設(shè)計(jì)的以下來設(shè)計(jì)的. .設(shè)人的身高設(shè)人的身高XN( (170, ,62),),問車門高度應(yīng)如何確定問車門高度應(yīng)如何確定? ? 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求因?yàn)橐驗(yàn)?XN( (170, ,62),),故故 P(X0.99因而因而 = =

24、 2.33, ,即即 h=170+13.98 184設(shè)計(jì)車門高度為設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使厘米時(shí)，可使人與車門碰頭的人與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過機(jī)會(huì)不超過0.01. .P(X h ) 0.99求滿足求滿足的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 . .17017066XhP 1706h 6170h上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例5 由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量(單位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之間的概率；(2)明年降雨量至少為300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率為0.1?解 1)6568. 0)33. 1()67. 0(1506004001

25、50600700700400 XP)150,600(2N2)15060030013001300XPXP9772. 0)2(1 (1)2(1上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 設(shè)該值為, a則有, 1.0)( aXP即1 . 0150600)( aaXP查表得28.1150600a從而mma408 例5 由歷史記錄知,某地區(qū)總降雨量(單位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之間的概率；(2)明年降雨量至少為300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率為0.1?)150,600(2N解:3)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量函數(shù)函數(shù)的分布的分布解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時(shí)時(shí)， Y

26、取對(duì)應(yīng)值取對(duì)應(yīng)值 5，7，13，例例1設(shè)設(shè)X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù). 3013502075.Y而且而且X取某值與取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率件，兩者具有相同的概率.故故上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第五節(jié)第五節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布一一. .離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布關(guān)鍵是要確定兩點(diǎn)：1) 可能的取值可能的取值; ;2) 取任一值的概率取任一值的概率. . 本節(jié)的基本任務(wù)本節(jié)的基本任務(wù):已知隨機(jī)變量X的分布(分布律或概率密度),求)(XgY的概率

27、分布.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例1 1 已知 X 的概率分布為求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2 的分布律解解:Y 1pi-3 -1 1 321418181X pk-1 0 1 221418181上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)Y 2pi1 0 1 421418181X pk-1 0 1 221418181求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2 的分布律解解:Y 2pi0 1 4218381上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例例2 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為nn21412121并且,2sinXY求Y 的分布律. 解解 Y 的可能取值為-1,0,1,并且111415216118121)14()

28、1(kkkkXPYP314114121)2()0(112kkkkXPYP) 1(YP158)0() 1(1YPYP上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)所以158) 0() 1(1) 1(YPYPYP111415216118121)14() 1(kkkkXPYP314114121)2()0(112kkkkXPYP上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。, 04( )80, Xxxfx其他2( )YFyP YyP Xy 0( )0;YyFy當(dāng)時(shí)， 16 ( )1YyFy當(dāng)時(shí)， 016 y當(dāng)時(shí),( )0YFyPXy0816ytydt1, 016( )16

29、0, Yyfy其他Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。( ) ( )XYFxFy，解：分別記X,Y的分布函數(shù)為二二.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的分布問題問題: :已知 X 的概率密度 求Y=g(X)的概率密度),(xfX).(yfY上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二二.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的分布基本步驟基本步驟:問題問題: :已知 X 的概率密度 求Y=g(X)的概率密度),(xfX).(yfY1.確定Y的取值范圍.如果其取值的范圍為區(qū)間),(ba則當(dāng)),( bay時(shí),. 0)(yfY2. 當(dāng)),( bay時(shí),先求分布函數(shù),)(yYPyFY然后再對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)即得概率密度.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)

30、束返回首頁(yè)例： 2( ) ( ).YXf xxYXYfy 設(shè) 的概率密度為，求 的概率密度( )YYFy解：設(shè) 的概率分布函數(shù)為 0( )YyFy當(dāng)時(shí)，()P Yy2()P Xy( )yyf t dt00( )( )yyf t dtf t dt( )( )YYfyFy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy( )( )( )( ) ( )( ( ) ( )xau xadf xf t dtf xdxdf t dtf u x u xdx連續(xù)時(shí)，()PyXy從中可以看到，在求P(Yy) 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出X, 從而得到與 g(X) y 等價(jià)的X 的不等式 .三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解解 設(shè)設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設(shè)設(shè) X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.