微積分92對(duì)坐標(biāo)曲線積分

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 第十一章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xOy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B, 求移cosABFW “大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.ABF ABF),(,

2、 ),(),(yxQyxPyxFABLxyO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代變常代變”L把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功為,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點(diǎn)在kykxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中 為 n 個(gè)小弧段的 最大長(zhǎng)度)

3、1kMkMABxyL),(kkFkykxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 定義定義. 設(shè) L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ目錄 上頁(yè)

4、下頁(yè) 返回 結(jié)束 LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 為空間曲線弧 , 記稱為對(duì) x 的曲線積分;稱為對(duì) y 的曲線積分.若記, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地, 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)Lyx

5、QyxP4.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxrdjQiPF 其其中中. rdFL 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則 定積分是第二類曲線積分的特例.說(shuō)明說(shuō)明: : 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6. 物理意義物理意義WAB所作

6、的功所作的功沿沿 AByQxPddjyxQiyxPF),(),( 變變力力dABWFr d(d ,d )rxy () ()ABPiQ jdxidy j 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),證明證明: 下面先證LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義ix,it),(ii點(diǎn),i

7、由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim對(duì)應(yīng)參數(shù)連續(xù)所以)(t因?yàn)長(zhǎng) 為光滑弧 ,同理可證LyyxQd),(tttQd )(),()(t目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對(duì)空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)

8、(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxO例例2. 計(jì)算其中 L 為

9、,:, 0aaxyBAaa(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx

10、 d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 BAyxzO例例4. 設(shè)在力場(chǎng)作用下, 質(zhì)點(diǎn)由沿 移動(dòng)到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的參數(shù)方程為kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222k其中 為 ),(zxyFsF

11、WdsFWd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx從 z 軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解解: 取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2zyxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三三. 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧為設(shè)有向平面曲線弧為,),( 為為處處的的切切線線向向量量的的方方向向角角上上點(diǎn)點(diǎn)yxL L

12、LdsQPQdyPdx)coscos( 則則,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） ,d)(dttx ,d)(dtty tttsd)()(d22 有向有向曲線弧曲線弧L的切向量為的切向量為)(),(ttt 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),( 為為處處的的切切線線向向量量的的方方向向角角上上點(diǎn)點(diǎn)zyx zRyQxPddd rAddAs 可用向量表示可用向量表示),(RQPA (cos ,cos,cos ) dd(d ,d ,d )rsxyz 有向曲線元有向曲線元.上的投影上的投影在向量在向量為向量為向量tAAt處處的的

13、單單位位切切向向量量上上點(diǎn)點(diǎn)),(zyx dAs 則則 sRQPd)coscoscos(推廣推廣 空間曲線空間曲線目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(costsA dsA dstAd記 A 在 t 上的投影為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 LyyxQxyxPd),(d),(2xy 解解 ,411cos2x .412cos2xx LyyxQxyxPd),(d),(所以所以sxxyxQyxPLd412),(),(2 把對(duì)坐標(biāo)的曲

14、線積分把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分.其中其中L為沿拋物線為沿拋物線從點(diǎn)從點(diǎn)(0,0)到到(1,1). LyQxPdd LsQPd)coscos( ),2, 1(xT 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)1 , 2 , 3()0 , 0 , 0(,3 ,222的直線段的直線段到點(diǎn)到點(diǎn)是由點(diǎn)是由點(diǎn)其中其中計(jì)算計(jì)算QPPQyxzyxAdsAPQ 例例7解解,2,3 tztytxQP 的直線段的參數(shù)方程為的直線段的參數(shù)方程為、過(guò)過(guò)于是于是對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于終點(diǎn)終點(diǎn)對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)起點(diǎn), 1, 0 tQtPydzxzdyydxxdsTAPQPQ2223 10222)2()3(2)2

15、(33)3(dttttttdttt 1032)627(.221 oxyzPQ(3,2,1)32目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí). . 將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)

16、(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

17、回 結(jié)束 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對(duì)空間有向光滑弧 :目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 F原點(diǎn) O 的距離成正比,思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在),(yxM處受恒指向原點(diǎn),)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222byax沿逆時(shí)針移動(dòng)到, ),0(bBO),(yxMxy)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB

18、:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk 思考思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz2. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.解解:OzxyABzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A線移動(dòng)到, )2,4,4(B向坐標(biāo)原點(diǎn), 其大小與作用點(diǎn)到 xOy 面的距離成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F 作用下由點(diǎn)222zyxkzjyixzk目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回