平穩(wěn)過程的相關函數

1、平穩(wěn)過程的相關函數定理定理3.1（相關函數的性質）（相關函數的性質）設 Rx()是平穩(wěn)過程X(t),-t 的相關函數) Rx(0) 0;) Rx(-)= Rx() , 即Rx()是偶函數;) |Rx()| Rx(0);) R() 具有非負定性，即對任意的n,任意的t1,t2.tn，任意的復數l1,l2ln.總有110nnXjiijijRtt l l 證明證明：（）由相關函數的定義知道， Rx(0)=EX2(t)=2x 0即即平穩(wěn)過程的自相關函數平穩(wěn)過程的自相關函數在在=0處是非負值處是非負值（）根據相關函數Rx(t1,t2)具有對稱性的推論可得：Rx(-)=EX(t)X(t-) =EX(t-)

2、X(t) （令（令s=t-） =EX(s)X(s+) =Rx()即自相關函數是變量即自相關函數是變量的偶函數的偶函數隨機變量隨機變量X、Y，總有總有(E(XY)2E(X2)E(Y2) （）根據Cauchy-Schwarz不等式可推出： 000)()(R22xxxxRRRtEXtEXtXtEX自相關函數在自相關函數在=0處有最大值處有最大值 思考：思考：是不是只有在是不是只有在0處才取得最大值處才取得最大值？（）這是相關函數Rx(t1,t2)具有非負性（定理3.1（）的直接推論，定理可推廣到復平穩(wěn)過程Z(t)中：只需將（ ）改成證明如下： ZZR)s(s-RtsZEZtZtEZtZtEZ令對對協

3、協方差函數方差函數C CX X（ ），不難得到不難得到類似類似的的性質性質：協方差和相關函數在協方差和相關函數在=0處取得最大值處取得最大值 220,0 xxxxRC）（ZZR)(R復平穩(wěn)過程的相關函數不是偶函數復平穩(wěn)過程的相關函數不是偶函數,具有共軛對稱性具有共軛對稱性 x2R.BDAD0BEAEB,A,sintcostX3 . 3求相關函數，且是不相關的隨機變量其中設隨機過程例ttBA 2x2x222x0R0cosRtXtcossinsincoscoscoscossincostX,R0sintBEcostAEtEX處取到最大值且在是一個偶函數，易見是一個平穩(wěn)過程。無關，因此與相關函數是一個

4、常數均值函數解：ttBEttAEtBtAtBtAEtXEtt .2 , 1 , 0,!etNPtN, 0,21tXtX, t.I-I)(X4 . 3kkktNtIPIPttk的泊松過程，即為是強度數內電流正負號的改變次段是隨機的。假定在時間即電流正負號的變化對于固定的的電流信號或是只取隨機電報信號例 是一個常數的均值函數解：02121tEXIItX 2222xItPIItPItE,R0tXXtXXtXXtt時，相關函數 2xx2n2mnn0R0m,R0NXn0, 00mXEX.2, 0nEXnX2.,1,0,n,nX5 . 3處取得最大值且在?？傻茫耗敲捶Q它為正態(tài)白噪聲，量服從正態(tài)分布一個獨立

5、過程且隨機變如果再假定隨機序列是離散白噪聲。通常稱這個平穩(wěn)序列為是一個平穩(wěn)時間序列。無關，因此與，相關函數由于均值函數是常數，量且是兩兩不相關的隨機變其中設隨機序列例mRmmRmnDXxx., 2. 1, 0.N, 2. 1, 0 ,Y5 . 3, 2. 1, 0,6 . 3100n是一個平穩(wěn)過程，證明是常數、是正整數，其中，記。中所給出的離散白噪聲是例設例nYXnXnNNkknkn定義3.4 設X(t),tT, Y(t),tT 是兩個平穩(wěn)過程.如果互相關函數對一切t,t+T與t無關，那么,稱X(t)與Y(t)是平穩(wěn)相關的，也稱X(t)與Y(t)是聯合平穩(wěn)的.在X(t)與Y(t)是聯合平穩(wěn)的情

6、形下，通常記互相關函數定義3.4也可以推廣到復隨機過程上去，這里就不再詳細敘述了。 tYtEXttRXY,( XYXYRttR,當X(t)與Y(t)聯合平穩(wěn)時，互協方差函數與t無關。兩個平穩(wěn)相關的隨機過程的互相關函數不再具有定理3.1中給出的那些性質。 XYR XYYXXYXYCRttC,定定理理3.2（互相關函數的性質）設RXY()是兩個平穩(wěn)相關的平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互相關函數。（）R XY(-)=RYX ()（）| RXY() 2|RX(0)RY(0) 證明（）由互相關函數的定義知道，由互相關函數的定義知道， RXY(-)=EX(t)Y(t-)=EY(t-)X(t) (記s=t-

7、) =EY(s)X(s+) =RYX() 證明證明（）由柯西由柯西許瓦茲不等式推得許瓦茲不等式推得 |RXY()|2=|EX(t)Y(t+)|2 E(X2(t)E(Y2(t+) =RX(0)RY(0)對于互協方差函數CXY(),也有類似的兩條性質。例3.7 設X(t)是雷達的發(fā)射信號，遇目標后返回接收機的微弱信號（即回波信號）時aX(t- 0),其中，a是近于0的正數，0是信號返回所需時間。由于回波信號必然伴有噪聲，記噪聲為N(t),于是，接收機收到的全信號為Y(t)=aX(t-0)+N(t). 假定雷達發(fā)射信號X(t)與噪聲N(t)是平穩(wěn)相關的Y(t)的均值函數為常數aX+N，且相關函數RY

8、(t,t+)=EY(t)Y(t+) =EaX(t-0)+N(t)aX(t+-0)+N(t+) =a2RX()+RN()+aRXN(+0)+aRXN(-0) =RY()與t無關，因此，Y(t)也是一個平穩(wěn)過程。X(t),Y(t)的互相關函數RXY(t,t+)=EX(t)Y(t+) = EX(t)(aX(t+-0)+N(t+) =aEX(t)X(t+-0)+EX(t)N(t+) =aRX(-0)+RXN() =RXY()與t無關，因此，X(t),Y(t)也平穩(wěn)相關。如果噪聲N(t)的均值N=0，且N(t)與X(t)相互獨立，那么，由RXN()=EX(t)N(t+) =EX(t)EN(t+) =XN=0推得，X(t)與Y(t)的相互函數 RXY()=aRX(-0