平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)

1、平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)定理定理3.1（相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)）（相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)）設(shè) Rx()是平穩(wěn)過程X(t),-t 的相關(guān)函數(shù)) Rx(0) 0;) Rx(-)= Rx() , 即Rx()是偶函數(shù);) |Rx()| Rx(0);) R() 具有非負(fù)定性，即對(duì)任意的n,任意的t1,t2.tn，任意的復(fù)數(shù)l1,l2ln.總有110nnXjiijijRtt l l 證明證明：（）由相關(guān)函數(shù)的定義知道， Rx(0)=EX2(t)=2x 0即即平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)在在=0處是非負(fù)值處是非負(fù)值（）根據(jù)相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)具有對(duì)稱性的推論可得：Rx(-)=EX(t)X(t-) =EX(t-)

2、X(t) （令（令s=t-） =EX(s)X(s+) =Rx()即自相關(guān)函數(shù)是變量即自相關(guān)函數(shù)是變量的偶函數(shù)的偶函數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X、Y，總有總有(E(XY)2E(X2)E(Y2) （）根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式可推出： 000)()(R22xxxxRRRtEXtEXtXtEX自相關(guān)函數(shù)在自相關(guān)函數(shù)在=0處有最大值處有最大值 思考：思考：是不是只有在是不是只有在0處才取得最大值處才取得最大值？（）這是相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)具有非負(fù)性（定理3.1（）的直接推論，定理可推廣到復(fù)平穩(wěn)過程Z(t)中：只需將（ ）改成證明如下： ZZR)s(s-RtsZEZtZtEZtZtEZ令對(duì)對(duì)協(xié)

3、協(xié)方差函數(shù)方差函數(shù)C CX X（ ），不難得到不難得到類似類似的的性質(zhì)性質(zhì)：協(xié)方差和相關(guān)函數(shù)在協(xié)方差和相關(guān)函數(shù)在=0處取得最大值處取得最大值 220,0 xxxxRC）（ZZR)(R復(fù)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)復(fù)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù),具有共軛對(duì)稱性具有共軛對(duì)稱性 x2R.BDAD0BEAEB,A,sintcostX3 . 3求相關(guān)函數(shù)，且是不相關(guān)的隨機(jī)變量其中設(shè)隨機(jī)過程例ttBA 2x2x222x0R0cosRtXtcossinsincoscoscoscossincostX,R0sintBEcostAEtEX處取到最大值且在是一個(gè)偶函數(shù)，易見是一個(gè)平穩(wěn)過程。無(wú)關(guān)，因此與相關(guān)函數(shù)是一個(gè)

4、常數(shù)均值函數(shù)解：ttBEttAEtBtAtBtAEtXEtt .2 , 1 , 0,!etNPtN, 0,21tXtX, t.I-I)(X4 . 3kkktNtIPIPttk的泊松過程，即為是強(qiáng)度數(shù)內(nèi)電流正負(fù)號(hào)的改變次段是隨機(jī)的。假定在時(shí)間即電流正負(fù)號(hào)的變化對(duì)于固定的的電流信號(hào)或是只取隨機(jī)電報(bào)信號(hào)例 是一個(gè)常數(shù)的均值函數(shù)解：02121tEXIItX 2222xItPIItPItE,R0tXXtXXtXXtt時(shí)，相關(guān)函數(shù) 2xx2n2mnn0R0m,R0NXn0, 00mXEX.2, 0nEXnX2.,1,0,n,nX5 . 3處取得最大值且在?？傻茫耗敲捶Q它為正態(tài)白噪聲，量服從正態(tài)分布一個(gè)獨(dú)立

5、過程且隨機(jī)變?nèi)绻偌俣S機(jī)序列是離散白噪聲。通常稱這個(gè)平穩(wěn)序列為是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。無(wú)關(guān)，因此與，相關(guān)函數(shù)由于均值函數(shù)是常數(shù)，量且是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變其中設(shè)隨機(jī)序列例mRmmRmnDXxx., 2. 1, 0.N, 2. 1, 0 ,Y5 . 3, 2. 1, 0,6 . 3100n是一個(gè)平穩(wěn)過程，證明是常數(shù)、是正整數(shù)，其中，記。中所給出的離散白噪聲是例設(shè)例nYXnXnNNkknkn定義3.4 設(shè)X(t),tT, Y(t),tT 是兩個(gè)平穩(wěn)過程.如果互相關(guān)函數(shù)對(duì)一切t,t+T與t無(wú)關(guān)，那么,稱X(t)與Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的，也稱X(t)與Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的.在X(t)與Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的情

6、形下，通常記互相關(guān)函數(shù)定義3.4也可以推廣到復(fù)隨機(jī)過程上去，這里就不再詳細(xì)敘述了。 tYtEXttRXY,( XYXYRttR,當(dāng)X(t)與Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)時(shí)，互協(xié)方差函數(shù)與t無(wú)關(guān)。兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)不再具有定理3.1中給出的那些性質(zhì)。 XYR XYYXXYXYCRttC,定定理理3.2（互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)）設(shè)RXY()是兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)。（）R XY(-)=RYX ()（）| RXY() 2|RX(0)RY(0) 證明（）由互相關(guān)函數(shù)的定義知道，由互相關(guān)函數(shù)的定義知道， RXY(-)=EX(t)Y(t-)=EY(t-)X(t) (記s=t-

7、) =EY(s)X(s+) =RYX() 證明證明（）由柯西由柯西許瓦茲不等式推得許瓦茲不等式推得 |RXY()|2=|EX(t)Y(t+)|2 E(X2(t)E(Y2(t+) =RX(0)RY(0)對(duì)于互協(xié)方差函數(shù)CXY(),也有類似的兩條性質(zhì)。例3.7 設(shè)X(t)是雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)，遇目標(biāo)后返回接收機(jī)的微弱信號(hào)（即回波信號(hào)）時(shí)aX(t- 0),其中，a是近于0的正數(shù)，0是信號(hào)返回所需時(shí)間。由于回波信號(hào)必然伴有噪聲，記噪聲為N(t),于是，接收機(jī)收到的全信號(hào)為Y(t)=aX(t-0)+N(t). 假定雷達(dá)發(fā)射信號(hào)X(t)與噪聲N(t)是平穩(wěn)相關(guān)的Y(t)的均值函數(shù)為常數(shù)aX+N，且相關(guān)函數(shù)RY

8、(t,t+)=EY(t)Y(t+) =EaX(t-0)+N(t)aX(t+-0)+N(t+) =a2RX()+RN()+aRXN(+0)+aRXN(-0) =RY()與t無(wú)關(guān)，因此，Y(t)也是一個(gè)平穩(wěn)過程。X(t),Y(t)的互相關(guān)函數(shù)RXY(t,t+)=EX(t)Y(t+) = EX(t)(aX(t+-0)+N(t+) =aEX(t)X(t+-0)+EX(t)N(t+) =aRX(-0)+RXN() =RXY()與t無(wú)關(guān)，因此，X(t),Y(t)也平穩(wěn)相關(guān)。如果噪聲N(t)的均值N=0，且N(t)與X(t)相互獨(dú)立，那么，由RXN()=EX(t)N(t+) =EX(t)EN(t+) =XN=0推得，X(t)與Y(t)的相互函數(shù) RXY()=aRX(-0