九隨機(jī)過程的功率譜密度

1、2021-11-111隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度引言 在許多領(lǐng)域的理論與實(shí)際應(yīng)用中，廣泛應(yīng)用到傅立葉變換這一工具。一方面由于確定性信號(hào)的頻譜、線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)等具有鮮明的物理意義。另一方面，在時(shí)域上計(jì)算確定性信號(hào)通過線性系統(tǒng)必須采用大量的卷積運(yùn)算，轉(zhuǎn)換到頻域上分析時(shí)，可以變換成簡單的乘積運(yùn)算，從而使運(yùn)算量大為減少，因而傅立葉變換是確定性信號(hào)分析的重要工具。 在隨機(jī)信號(hào)分析領(lǐng)域能否應(yīng)用傅立葉變換，隨機(jī)信號(hào)是否存在某種譜特征？回答是可以，不過在隨機(jī)信號(hào)情況下，必須進(jìn)行某種處理以后，才能應(yīng)用傅立葉分析這一工具。因?yàn)橐话汶S機(jī)信號(hào)的樣本函數(shù)不滿足傅立葉變換的絕對(duì)可積條件，即( )x t

2、dt 通常用信號(hào)在其定義域內(nèi)的總量來表示信號(hào)的大小，稱為信號(hào)的規(guī)范量。 一階規(guī)范量，若?？煞e，即滿足則一階規(guī)范量定義為否則定義為6.1確定信號(hào)的大小、能量和功率確定信號(hào)的大小、能量和功率( )x t dt 1( )( )x tx t dt11( )lim( )2TTTx tx t dtT確定信號(hào)的大小、能量和功率確定信號(hào)的大小、能量和功率 二階規(guī)范量，若模可積定義為否則定義為22( )( )x tx tdt221( )lim( )2TTTx tx tdtT樣本函數(shù)x(t)不滿足絕對(duì)可積的條件，但功率是有限的因此，可以研究隨機(jī)過程的功率譜。 樣本函數(shù)x(t)的截取函數(shù)21lim( )2TTTPx

3、 tdtT ( ) ( )0 Tx ttTx t其他隨機(jī)信號(hào)的功率截取函數(shù)的傅立葉變換截取函數(shù)應(yīng)滿足帕塞瓦定理兩邊同除以2T可得1( ,)( ) ( )( ,)2j tj tXTTXXTx t edtx tXTed221( )( ,)2TXTx tdtXTd2211( )( ,)22 *2TXTx t dtXTdTT取集合平均可得隨機(jī)過程的平均功率功率譜密度2211( )( ,)22 *2TXTEx t dtEXTdTT22( ,)11lim( )lim222TXTTTEXTE x tdtdTT211lim( )( )22TXTTPE x tdtSdT21( )lim( ) 2XTTSE XT

4、兩個(gè)結(jié)論1、隨機(jī)過程的平均功率可以通過對(duì)過程的均方值求時(shí)間平均得到。若隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)2、若隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)2( )PA E x t22( )( )PA E x tE x t1( )2XPSd21( )( )2XE x tSd 1、功率譜密度為非負(fù)的，即2、功率譜密度是的實(shí)函數(shù)。3、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程來說，功率譜密度是的偶函數(shù)，即( )0XS( )()XXSS2( ,)( )lim2XXTEXTST功率譜密度的性質(zhì)截取函數(shù) 為t的實(shí)函數(shù)，根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)于是4、功率譜密度可積，即( )Tx t*( ,)( ,)XXXTXT2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT( )XSd 2*( ,)

5、( ,)( ,)XXXXTXTXT功率譜密度的表達(dá)式為其中功率譜密度可表示為2( ,)( )lim2XXTEXTST( ,)( ) j tXTXTx t edt2*( ,)( ,)( ,)XXXXTXTXT1212121lim( ) ( )2TTj tj tTTTE x t x teedt dtT 1211221lim( )( )2TTj tj tTTTEx t edtx t edtT( )XS功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)由得121212( )( )( , ) , ,XE X t X tRt tTt tT21()12121( )lim( , )2TTjttXXTTTSRt t edt dtT 1(

6、)lim( ,)2T tTjXXT tTTSRt tdt edT 1( )lim( ,)2( ,)TjXXTTjXSRt tdt edTA Rt ted對(duì)于廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程則 維納辛欽定理1( ,)( )2jXXA Rt tSed( ,)( )( ,)( )( )XXXXXRt tRA Rt tA RR( )( )1( )( )2jXXjXXSRedRSed平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的對(duì)應(yīng)關(guān)系：) t (XXR ( )(SXdt) t (dXtd) t (Xdnntj0e ) t (X22)(dRdXnXnndRd22)() 1(0jX)e(R)(taX)(2XRa)(2XS)(2X

7、nS)(0S)(2XSa例例 已知零均值平穩(wěn)過程已知零均值平穩(wěn)過程X(t)的的 2426( ),( ).54XXXSRD t求與222242222222221466()54(1)(4)1466624|2,|84313XSABAB 解：| |2| |X222|0|2|0|28( ),R ( )214()(0)= 2 0=1 XXXXSeeD tRmee22| |2aaeta互譜密度互譜密度 定義兩個(gè)截取函數(shù) 為 二者滿足絕對(duì)可積的條件，則( ) , ( )TTx tyt( ) ( )0 Tx ttTx t其他( ) ( )0 Ty ttTyt其他( ) ( ,)( ) ( ,)TXTYx tXT

8、ytXT聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度 定義兩隨機(jī)過程的互功率為 應(yīng)用帕塞瓦定理1( )( )( )2TXYTTTPTx t yt dtT1( ) ( )2TTx t y t dtT1( )( ) ( )2TXYTPTx t y t dtT*( ,)( ,)122XYXTXTdT 下面求平均功率 ，得平均功率互功率譜密度定義為*( ,)( ,)1( )( )22XYXYXYE XTXTA PTE PTdTT *( ,)( ,)1lim( )lim22XYXYXYTTE XTXTPA PTdT*1lim( ,)( ,)2XYXYTSE XTXTT（ ）1、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)有 2、若X

9、(t),Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，有 ( ,)jXYXYSA Rt ted-（ ）=互譜密度與互相關(guān)函數(shù)( )XYXYSR（ ） 高斯過程定義：如果對(duì)于任意時(shí)刻，隨機(jī)過程的任意n維隨機(jī)變量服從高斯分布，則X(t)就是高斯過程。高斯過程的n維概率密度函數(shù)為： 式中m,x為n維向量 C為協(xié)方差矩陣 6.7高斯過程與白噪聲高斯過程與白噪聲1()()212121 221(,; , ,)(2 )Tx mCx mnnnf x xx t tteC1n1n( )( )TTmm tm txxx1111( , )( ,)( , )( ,)XXnXnXnnCt tCt tCCt tCt t高斯過程與白噪聲高斯過程與白噪聲

10、廣義平穩(wěn)正態(tài)過程定義：若正態(tài)隨機(jī)過程X(t)的均值和方差都是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只取決于時(shí)間間隔，則稱此正態(tài)過程為廣義平穩(wěn)正態(tài)過程。 性質(zhì)1：寬平穩(wěn)高斯過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。 性質(zhì)2：若平穩(wěn)高斯過程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻是不相關(guān)的，那么也一定是互相獨(dú)立的 性質(zhì)3：平穩(wěn)高斯過程與確定時(shí)間信號(hào)之和仍是高斯過程。 高斯過程性質(zhì)高斯過程性質(zhì) 性質(zhì)4：若正態(tài)隨機(jī)過程在T上是均方可積的，則也是正態(tài)過程。 性質(zhì)5：若正態(tài)隨機(jī)過程在T上是均方可微的，則其導(dǎo)數(shù)也是正態(tài)過程。高斯過程性質(zhì)高斯過程性質(zhì)( )( )( ,)( )( ) ( , )( ,)tabaY tXda tTY tXht da tT（1）從

11、噪聲與電子系統(tǒng)的關(guān)系來看：v內(nèi)部噪聲：系統(tǒng)本身的元器件及電路產(chǎn)生的。v外部噪聲：包括電子系統(tǒng)之外的所有噪聲。（2）根據(jù)噪聲的分布：v高斯噪聲：具有高斯分布的噪聲。v均勻噪聲：具有均勻分布的噪聲。（3）從功率譜的角度來看：v白噪聲：如果一個(gè)隨機(jī)過程的功率譜為常數(shù)，無論是什么分布，都稱它為白噪聲。v色噪聲：功率譜中各種頻率分量的大小不同。噪聲的分類 噪聲的分類 一個(gè)均值為零，功率譜密度在整個(gè)頻率軸上為非零常數(shù)，即 的平穩(wěn)過程N(yùn)(t)，稱為白噪聲過程，簡稱為白噪聲。理想白噪聲 0( )2NNS 白噪聲過程白噪聲過程 利用傅立葉反變換可求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：白噪聲的相關(guān)系數(shù) 若平穩(wěn)過程N(yùn)(t)在有限頻帶上的功率譜密度為常數(shù)，在頻帶之外為零，則稱N(t)為理想帶限白噪聲。理想白噪聲 0( )( )2NNR 020( )1(0)( )2( )0(0)(0)2NNNNCrN 帶限白噪聲帶限白噪聲 若白噪聲的功率譜在 內(nèi)不為零，而在其外為零，且分布均勻，其表達(dá)式為 稱這類白噪聲為低通白噪聲。 自相關(guān)函數(shù)為 ,( )0,NPS 其它sin()( )NRP低通白噪聲低通白噪聲 如果N(t)的功率譜密度集中在 為中心的頻帶內(nèi)，則稱N(t)是帶通限帶白噪聲，或稱為帶通白噪聲