D51定積分概念與性質(zhì)(第1次課)

1、第五章定積分 積分學(xué)積分學(xué)不定積分不定積分定積分定積分1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一節(jié)一、一、定積分問題舉例定積分問題舉例二、二、 定積分的定義定積分的定義三、三、 定積分的近似計(jì)算定積分的近似計(jì)算定積分的概念及性質(zhì) 第五五章 四、四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A)(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bahyOxab3目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1xix1ixxabyO解決步

2、驟解決步驟 :1) 分割分割在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;2) 近似近似在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii4目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 求和求和niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限令, max1inix則曲邊梯形面積niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi5分割的模分割的模目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

3、束 2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng), ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 分割分割, ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個(gè)小段上物體經(jīng)2) 近似近似,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個(gè)分點(diǎn)中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 個(gè)小段過的路程為6目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 求和求和iniitvs1)(4) 取極限取極限iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個(gè)問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“分割

4、 , 近似, 求和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限7目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oab x二、定積分定義二、定積分定義 ,)(上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對(duì),ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi時(shí)只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作8目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 baxxfd)(iniixf10)(lim積

5、分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(9目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分的幾何意義定積分的幾何意義:Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和AO10目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 O1 xyni可積的充分條件可積的充分條件:nix1,nii取),2, 1(ni定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf定理

6、定理2.,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 例例1. 利用定義計(jì)算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為niix ), 1 ,0(ni.,)(可積在baxf2xy iiiixxf2)(則32ni11目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 iinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn注 O1 xyni2xy 12目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定積分表示下列極限:ninnin

7、111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni13目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、定積分的近似計(jì)算三、定積分的近似計(jì)算, ,)(baCxf設(shè),d)(存在則baxxf根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii記baxxfd)(xyxyxyn110)(110nnabyyy將 a , b 分成 n 等份: Oabxyix1ix1. 左矩形公式)(21nnabyyybaxxfd)(xyxyxyn212. 右矩形公式14目錄 上

8、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 baxxfd)(xyyii211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixayObx12 ixix222 ixmx20 xbaxxfd)(imiimimyyyymab211121202463. 梯形公式4. 拋物線法公式15目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 用梯形公式和拋物線法公式xxId14102解解: :計(jì)算yi(見右表)的近似值.13993. 3I14159. 3Iixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.

9、6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n = 10, 計(jì)算時(shí)取5位小數(shù))用梯形公式得用拋物線法公式得積分準(zhǔn)確值為1204d3.14159261Ixx計(jì)算定積分16目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、定積分的性質(zhì)四、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab17目錄

10、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5證證: 當(dāng)bca時(shí),因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時(shí), 可以永遠(yuǎn)取永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn)為分點(diǎn) , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abc18（積分區(qū)間的可加性）（積分區(qū)間的可加性）目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 abc當(dāng) a , b , c 的相對(duì)位置任意時(shí), 例如,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(19目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

11、束 6. 若在 a , b 上0)(1iinixf則.0d)(xxfba證證:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推論推論1. 若在 a , b 上, )()(xgxf則xxfbad)(xxgbad)(20目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論2.xxfbad)(xxfbad)(證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 設(shè), )(min, )(max,xfmxfMbaba則)(d)()(abMxxfabmba)(ba 21（積分估值定理）（積分估值定理）目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例

12、4. 試證:.2dsin120 xxx證證: 設(shè))(xf,sinxx則在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx22目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8. 定積分中值定理定積分中值定理, ,)(baCxf若則至少存在一點(diǎn), ,ba使)(d)(abfxxfba證證:,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)則由性質(zhì)性質(zhì)7 可得Mxxfabmbad)(1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點(diǎn)使xxfabfbad)(1)(

13、因此定理成立.性質(zhì)7 23目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oxbay)(xfy 說明說明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對(duì)abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn24目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 計(jì)算從 0 秒到 T 秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度. 解解: 已知自由落體速度為tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01T25目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義 乘積和式的極限2. 定積分的性質(zhì)定積分中值定理連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式26目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 O1xn1n2nn