-,-,-,-剛體的定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量角動量角動量守恒定律動能定理(forC)

1、4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動第 四 章剛 體 的 轉(zhuǎn) 動22021-11-12 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體發(fā)生變化的物體( (任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組) )剛體的運(yùn)動形式：剛體的運(yùn)動形式：平動、轉(zhuǎn)動平動、轉(zhuǎn)動 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的說明：說明：4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動32021-11-12 剛體平動剛體平動 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動 平動：平動：剛體中所剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都保有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都保持完全相同持完全相同

2、 特點(diǎn)：特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動各點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)一樣，如：狀態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同a、42021-11-12轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動：分分定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動和和非定軸轉(zhuǎn)動非定軸轉(zhuǎn)動52021-11-12剛體的一般運(yùn)動可看作：剛體的一般運(yùn)動可看作：隨質(zhì)心的平動隨質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+的合成的合成62021-11-12沿沿逆時針逆時針方方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動一一 剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo)沿沿順時針順時針方方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動tttddlim0角速度角速度 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)72021-11-12角加速

3、度角加速度t dd 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動( (一維轉(zhuǎn)動一維轉(zhuǎn)動) )的的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動方向方向可以用可以用角速度角速度的正、負(fù)的正、負(fù)來表示來表示. .00 在在沖擊沖擊等問題中等問題中L常量常量三三 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律462021-11-12 許多現(xiàn)象都可許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來以用角動量守恒來說明說明.花樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動員跳水跳水運(yùn)動員跳水472021-11-12解解: 系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒)(212211JJJJ)(212211JJJJ 例例1 兩個轉(zhuǎn)動慣量分別為兩個轉(zhuǎn)動慣量分別為 J1 和和 J2 的圓盤的圓盤 A和和 B. A 是

4、機(jī)器上的飛輪是機(jī)器上的飛輪, B 是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓盤盤. 開始時開始時, 他們分別以角速度他們分別以角速度1 和和2 繞水平軸轉(zhuǎn)繞水平軸轉(zhuǎn)動動. . 然后然后, ,兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下，嚙合為兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下，嚙合為一體一體, , 其角速度為其角速度為 , , 求求齒輪嚙合后齒輪嚙合后兩圓盤的角速度兩圓盤的角速度482021-11-12 例例2一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一，并把蹺板另一端的演員端的演員N彈了起來問演員彈了起來問演員N可彈起多高

5、可彈起多高? ?ll/2CABMN492021-11-12設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為質(zhì)量為 ，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m假定演員假定演員M落在蹺板上，落在蹺板上，與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬間，碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu 502021-11-12M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒22M21121222mllmlmuJlmvl

6、l/2CABMN512021-11-12lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員N以以u起跳，達(dá)到的高度：起跳，達(dá)到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJ522021-11-12 例例3 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿，可的均勻細(xì)桿，可繞過其中心繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動內(nèi)轉(zhuǎn)動當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時，有一只當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處，并背處，并背離點(diǎn)離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行設(shè)小

7、蟲與細(xì)桿爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m問：欲使細(xì)桿以恒定的角速問：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0vl/4O532021-11-12220)4(1214lmmllmvl0712 v解解蟲與桿的蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角碰撞前后，系統(tǒng)角動量守恒動量守恒542021-11-12l0712 v由角動量定理由角動量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(552021-11-12力的空間累積力的空間累積效應(yīng)：效應(yīng)： 力的功、動能、動能定理力的功、動能、動

8、能定理力矩的空間累積力矩的空間累積效應(yīng)：效應(yīng)： 力矩的功、轉(zhuǎn)動動能、動能定理力矩的功、轉(zhuǎn)動動能、動能定理4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理562021-11-12ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功一力矩作功一力矩作功 orvFxtF572021-11-12MtMtWPdddd二力矩的功率二力矩的功率rFWd比較比較v FP三轉(zhuǎn)動動能三轉(zhuǎn)動動能221iiikmEv22221)(21J582021-11-1221222121d21JJMW四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理21dMW2111ddddJtJ剛體繞

9、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。592021-11-12質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動與剛體定軸轉(zhuǎn)動對照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動與剛體定軸轉(zhuǎn)動對照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動剛體定軸剛體定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddt dd質(zhì)量質(zhì)量 m轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量動量動量角動量角動量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM602021-11-12質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律對照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律對照運(yùn)動定律運(yùn)動定律amF轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM 質(zhì)點(diǎn)的平動質(zhì)

10、點(diǎn)的平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動動量定理動量定理00dvvmmtFtt角動量定理角動量定理00dLLtMtt動量守恒定律動量守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律恒量iiimFv, 0恒量iiJM, 0力的功力的功barFWd力矩的功力矩的功0dMW動能動能2/2kvmE 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能2/2kJE 612021-11-12質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律對照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律對照質(zhì)點(diǎn)的平動質(zhì)點(diǎn)的平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能定理動能定理2022121vvmmW動能定理動能定理2022121JJW重力勢能重力勢能mghE p重力勢能重力勢能CpmghE 機(jī)械能守恒機(jī)械能

11、守恒恒量pkEE只有保守力作功時只有保守力作功時機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒恒量pkEE只有保守力作功時只有保守力作功時622021-11-12vo以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細(xì)細(xì)繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計(jì)計(jì)632021-11-12子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；642021-11-12voompTR圓圓錐錐擺擺圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒65

12、2021-11-12 例例1 有一吊扇第一檔轉(zhuǎn)速為有一吊扇第一檔轉(zhuǎn)速為 n1 = 7r/s, 第二檔轉(zhuǎn)速第二檔轉(zhuǎn)速為為 n2 = 10r/s. 吊扇轉(zhuǎn)動時要受到阻力矩吊扇轉(zhuǎn)動時要受到阻力矩 Mf 的作用的作用,一一般來說般來說, 阻力矩與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系要由實(shí)驗(yàn)測定阻力矩與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系要由實(shí)驗(yàn)測定, 但但作為近似計(jì)算作為近似計(jì)算, 我們?nèi)∽枇嘏c角速度之間的關(guān)系為我們?nèi)∽枇嘏c角速度之間的關(guān)系為 Mf = k 2, 其中系數(shù)其中系數(shù) k = 2.7410-4 Nmrad-2s2 . 試求試求（1）吊扇的電機(jī)在這兩種轉(zhuǎn)速下所消耗的功率）吊扇的電機(jī)在這兩種轉(zhuǎn)速下所消耗的功率; （2）吊扇由靜止勻加

13、速地達(dá)到第二檔轉(zhuǎn)速經(jīng)歷的時間）吊扇由靜止勻加速地達(dá)到第二檔轉(zhuǎn)速經(jīng)歷的時間為為 5s . 在此時間內(nèi)阻力矩做了多少功在此時間內(nèi)阻力矩做了多少功 ?解解 （1）331f1111(2 )23.3 PMkknW332f 2222(2)68.0 PMkknW662021-11-12解解: 吊扇由靜止作勻角加速度運(yùn)動吊扇由靜止作勻角加速度運(yùn)動522nt3f 2ddWMkt阻力矩做功阻力矩做功3 33 401d4tWkttkt 在在 t 5s 時間內(nèi)時間內(nèi)84.8 WJ 已知已知: n1 = 7r/s, n2 = 10r/s; Mf = k 2, k = 2.7410-4 Nmrad-2s2. 求求（2）吊

14、扇由靜止勻加）吊扇由靜止勻加速的達(dá)到第二檔轉(zhuǎn)速經(jīng)歷的時間為速的達(dá)到第二檔轉(zhuǎn)速經(jīng)歷的時間為 5s . 在此時間內(nèi)阻力在此時間內(nèi)阻力矩做了多少功矩做了多少功 ?672021-11-12 例例2 一長為一長為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)自由轉(zhuǎn)動動 . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為 a 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問子彈的初速率為多少問子彈的初速率為多少 ?vmm 解解: 把子彈和竿看作一個系把子彈和竿看作一個系統(tǒng)統(tǒng) . 子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒量守恒)31(682021-1

15、1-12oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子彈、細(xì)桿和射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)地球?yàn)橄到y(tǒng) ，機(jī)械能守恒，機(jī)械能守恒 692021-11-12 例例3 一根長為一根長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒, 棒的一端可繞通過棒的一端可繞通過O點(diǎn)并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動點(diǎn)并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動, 棒棒的另一端有質(zhì)量為的另一端有質(zhì)量為 m 的小球的小球. 開開始時始時, 棒靜止地處于水平位置棒靜止地處于水平位置A. 當(dāng)棒轉(zhuǎn)過當(dāng)棒轉(zhuǎn)過 角到達(dá)位置角到達(dá)位置 B, 棒的棒的角速度

16、為多少角速度為多少? 解解: : 取小球、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)取小球、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng), , 在棒轉(zhuǎn)動過程中在棒轉(zhuǎn)動過程中機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒, , 設(shè)設(shè) A A 位置為重力勢能零點(diǎn)位置為重力勢能零點(diǎn). .pBkBpAkAEEEEolm,mAB702021-11-122kB21JE0PkAAEEpBkBpAkAEEEE2223431mlmlmlJ)sinsin2(pBmgllmgEsin23mgl21)sin(23lgolm,mABgm21JJJ712021-11-12 補(bǔ)充補(bǔ)充 留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率面的軸以角速率 作勻速轉(zhuǎn)動放上唱片作勻速轉(zhuǎn)動放上

17、唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動設(shè)唱片的半徑為動設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：，求：( (1) )唱片與轉(zhuǎn)盤唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；間的摩擦力矩； ( (2) )唱片達(dá)到角速度唱片達(dá)到角速度 時需時需要多長時間；要多長時間；( (3) )在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動力矩做了多少功？動力矩做了多少功？722021-11-12RrdrdllrRmgfddd2fdo 解解 ( (1) ) 如圖取面如圖取面積元積元ds = drdl，該面元，該面元所受的摩擦力為所受的摩擦力為此力對點(diǎn)此力對點(diǎn)o的力矩為的力矩為l