熱傳導方程與擴散方程

1、第二章 熱傳導方程與擴散方程v熱傳導方程在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體。假定它的內部有熱源或匯，并且與周圍的介質有熱交換，來研究物體內部溫度的分布規(guī)律。物理模型xyzodSn Fourier實驗定律實驗定律:成正比導數(shù)法方向的方向度沿曲面與物體溫的熱量面積流過一個無窮小法線方向內沿物體在無窮小時段nudSdQdSnt .),(dSdtnuzyxkdQ 注：負號是因為熱量總是從溫度高的一側流向低的一側，.異號與故nudQ ., 它所包圍的區(qū)域記為內任取一閉曲面在物體G.),(2121 ttdtdSnuzyxkQtt的全部熱量為流進閉曲面到從時刻.),(),(),(),(),(),(,1

2、22121 dxdydztzyxutzyxuzyxzyxctzyxutzyxutt 它所吸收的熱量是變化到溫度從中在時間間隔., 為密度為比熱其中 c由熱量守恒定律，物體內部無熱源時，由熱量守恒定律，物體內部無熱源時， dxdydzdttuzyxzyxcdxdydzdtzukzyukyxukxtttt2121),(),( dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcdtdSnuzyxktt),(),(),(),(),(1221 2112ttttttt 通過邊界的流入量熱量熱量交換積分次序交換積分次序 210ttdxdydzdtzukzyukyxukxtuc 則有熱傳導的齊次方程均是任意的及注

3、意到,21 tt. 0 zukzyukyxukxtuc 211212t tt ttt ttt t 熱量 熱量通過邊界的流入量 熱源的生成量若物體內部有熱源，若物體內部有熱源，程則有熱傳導的非齊次方).,(tzyxfzukzyukyxukxtuc 數(shù)學模型2( , , , )uauf x y z tt 二維的情形：22222( , , )uuuaf x y ttxy一維的情形：222( , )uuaf x ttx其中： a2=k/C， f (x,y,z,t)=f0/C，222222xyz 如果物體是均勻的，且各向同性的，則有如果物體是均勻的，且各向同性的，則有v定解條件邊界條件給定溫度函數(shù) u(

4、x,y,z,t) 在物體表面的限制。一般來有三種類型：(0,)( , , , )( , , , )u x y z tg x y z t第一類邊界條件：初始條件給出物體在初始時刻 t=0 的溫度( , , ,0)( , , )u x y zx y z第二類邊界條件：(0,)( , , , )ukg x y z tn第三類邊界條件：(0,)( , , , )uug x y z tnv定解問題由方程與定解條件可以描述一個特定的物理現(xiàn)象，它構成一個定解問題混合問題：初始問題：222,0( ,0)( ),uuaxttxu xxx 222,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( )0 xuuax l

5、 ttxutu l ttu xxx l v擴散方程考慮三維空間中一均勻的、各向同性的物體，假定它的內部有擴散源，來研究物體內部分子的濃度在時刻 t 的分布規(guī)律。物理模型數(shù)學模型( , , , )uD uf x y z tt 其中：u(x,y,z,t)表示于時刻 t 在 (x,y,z) 處的分子濃度f (x,y,z,t)表示單位時間內單位體積中產生的粒子數(shù)D 為擴散系數(shù)第二節(jié)初邊值問題的分離變量法第二節(jié)初邊值問題的分離變量法n 定解問題 )(|0|, 0|0,002xuuuLxuautLxxxxt )()(),(tTxXtxu 0)()0(0)()()0()( LXXLXtTXtT222222/

6、)/( XXTaTTXaTXaTXaXTTXaXTl 未知函數(shù)分離l 泛定方程分離l 邊界條件分離l 分離結果00)()0(0222 TaTLXXXX )exp()(22taAtTkkk 0sin)(0)0(sincos)( LDLXCXxDxCxX LkxxXkkk/,sin)( NkLkkLL ,/0sin l 空間方程解出l 非零解條件l 非零解l 時間方程解出l 分離結果的求解00)()0(0222 TaTLXXXX 典型問題的求解xtaAtTxXtxukkkkkk sin)exp()()(),(22 xAxkk sin)( 11sin),(22kktakkkxeAtxuuk l 初始

7、條件要求l 分離結果的合成l 再合成半通解l 系數(shù)的確定xdxxLAkLk sin)(20 l 過程小結l分離變量分別求解合成半通解由初始條件確定系數(shù)分離變量流程圖xxtuau20|0Lxxuu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2022TwaT02 XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkkkXTu),( txuu典型問題的求解n 例題1)cos(sin|0|, 0|0, 0002xBAxuuuxuautxxxxtNktakATkxXkkk),exp(),sin(220)()0(0, 0)()(),(222XXXXTaTt

8、TxXtxu0,3sin2sinsin2sinsinsin)cos(sin2212132121kkABAAAxAxAxAxBxAkxAxBAx122sin)exp(kkkxtakAul 代入初始條件l 分離變量l 分別求解l 合成半通解第二類邊界條件n 定解問題)(|0|, 0|0, 0002xuuuLxuautLxxxxxxt)exp(, 2 , 1 , 0,/),cos(222tawATwkLkwwxXkkk)()(),(tTxXtxu0)( )0( LXXXXTaT/ )/(2)()(0 xXAAxkk10)()(kkkxXtTTul 初始條件要求l 未知函數(shù)分離l 泛定方程分離l 邊界條件分離l 本征運動l 半通解典型問題的求解n 例題2xAuuuxuautxxxxxxt2002cos|0|, 0|0, 000022, 1),exp(),cos(ATXNktakATkxXkkk0)( )0( 0, 0)()(