福建省南安一中2013屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題理新人教A版

1、南安一中 20122013 學(xué)年度上學(xué)期期末考高三數(shù)學(xué)科試卷（理科）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，滿分150 分，考試時(shí)間 120分鐘第卷一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題5 分，共 50 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)集合 A x| 1 x 2 ， x N ，集合 B 2 ， 3 ，則 A B等于（）A . 1 ，2，3B .0 ， 1， 2，3C. 2D . 1， 0， 1， 2，32如果復(fù)數(shù) (m23m)(m25m6)i 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m 的值為（）A .0B .2C.0 或 3D .2 或 33已知 m, n 是兩條不同直線，,是

2、三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A 若m , n ,則m nB 若, 則 C 若m , m ,則 D 若m, n, 則m n甲乙4. 圖 1 是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是（）531A 65B64 C 63D 6236824 54793263785. 若橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（2， 3），且焦點(diǎn)為 F ( 2,0),F2(2,0)，14571則這個(gè)橢圓的離心率等于（）2113圖1A. 2B.3C.2D.26. 等差數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn ,若 a2a6a10 為一個(gè)確定的常數(shù)， 則下列各個(gè)前 n 項(xiàng)和中，也為確定的常數(shù)的是（）A

3、SB SC SD S61112137. 已知 p：關(guān)于 x 的不等式x2+2ax a>0 的解集是 R，q： 1<a<0，則 p 是 q 的那么（）A. 充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件8定義行列式運(yùn)算：a1a2a1a4 a2 a3 , 將函數(shù) f ( x)3cos x的圖象向左a3a41sinx平移 m 個(gè)單位 (m0) ，若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m 的最小值是（）A 2B3C8D 5369. 一生產(chǎn)過程有4 道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、 乙、丙等 6 名工人中安排14 人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人

4、中安排1 人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1 人，則不同的安排方案共有（）A24 種B36 種C48 種D72 種10現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：yx sin x yx cosx yx cosx yx 2x 的圖像（部分） 如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)安排正確的一組是（）yyyyxoxoxoo xoABCD第卷二、填空題：本大題共5 小題，每小題4 分，滿分20 分開始11. 函數(shù) ycos2x2sin x 的最大值是.輸入 p12若 (2 x3)4a a x a x2a x3a x4，01234則 (a0 a2a4 )2(a1a3 ) 2n0, S0的值為.y xnp，是x

5、，yx2y 2，13設(shè)變量滿足約束條件：，nn1x2則 zx 3y 的最小值是.SS12n14.執(zhí)行右邊的程序框圖，若 p4 ，則輸出的 S.15如圖，一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第 n 行 (n 2) 的第 2 個(gè)數(shù)為.三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。16 ( 本小題滿分13 分 ) ABC中，內(nèi)角A、 B、 C 所對(duì)邊分別為a、 b、 c，已知 A， c6xx否輸出 S結(jié)束2 3， b 1(1) 求 a 的長及 B 的大?。?2) 若 0x B，求函數(shù) f ( x) 2sinxcosx 2 3cos2x 3的值域 .17.( 本小題滿

6、分13 分 )甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定， 其中任何一人每射擊一次， 擊中目標(biāo)得2 分，未擊中目標(biāo)得0 分. 若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為3 和5p ，且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2 的概率為9 ，假設(shè)甲、乙兩人射擊互不20影響 .(1) 求 p 的值；(2) 記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 .18. ( 本小題滿分 13 分 )如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA CB CDBD 2, AB AD2.（ 1）求證： AO平面 BCD；A（ 2）求異面直線 AB與 CD所成角的余弦值；（ 3）求點(diǎn) E 到平面

7、ACD的距離DOBCE19. （本小題滿分13 分）已知橢圓 C : x 2y 21(a b 0) 過點(diǎn) (1, 3 ) ，且離心率 e1。a 2b 2223（ 1）求橢圓方程；（ 2）若直線 l : ykxm(k0) 與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M 、 N ，且線段 MN 的垂直平分線過定點(diǎn) G(1 ,0) ，求 k 的取值范圍820（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) f ( x) xa2, g ( x)x ln x ，其中 a 0 。x（ 1）若 x 1 是函數(shù) h( x)f (x) g (x) 的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a 的值；（ 2）若對(duì)任意的 x , x21, e （ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） 都有

8、f ( x1 )g(x2 ) 成立，求實(shí)數(shù) a1的取值范圍21本題有（ 1）、（ 2）、（ 3）三個(gè)選考題，每題7 分，請(qǐng)考生任選2 題作答，滿分14 分如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分（1）（本小題滿分7 分）矩陣與變換二階矩陣 M 對(duì)應(yīng)的變換將向量1232在 M，1分別變換成向量，直線 l121的變換下所得到的直線 l ' 的方程是 2xy 10 ，求直線 l 的方程（2）（本小題滿分 7 分）已知圓 (x2) 2 ( y1)21 .（ 1）寫出此圓的參數(shù)方程 .（ 2）求圓上一點(diǎn) M到直線 L ：cos()2 距離的最小值 .4（3）（本小題滿分7 分）不等式選講若不等式 a 1x

9、 2 y 2z ，對(duì)滿足 x2y2z21 的一切實(shí)數(shù) x, y, z 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍南安一中2012 2013 學(xué)年度上學(xué)期期末考高三數(shù)學(xué)科參考解答（理科）一、選擇題： BADBC BCABC4二、填空題：11.三、解答題3212。 113. -814.15 15. n2 2n 31616( 本小題滿分13 分)中，內(nèi)角、 、C所對(duì)邊分別為、 、，已知，3，1 (1)求a的ABCA Ba b cAcb6長及 B 的大?。?2) 若 0 x B，求函數(shù) f ( x) 2sinxcosx 2 3cos2x 3的值域 .解： (1) 由余弦定理，得2 2c2 242 3 1abbcco

10、ssAcos 6a 1 4 ； 6B A6(2) f ( x) 2sinxcosx 23cos2x 3 sin 2x3cos2x 2sin (2 x ) 9323由(1) ， 0x 632x3 32 sin(2 x3 )1 12函數(shù)的值域?yàn)?3， 2 1317.( 本小題滿分 13 分 )甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，擊中目標(biāo)得2 分，未擊中目標(biāo)得0 分 . 若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為 3和 p ，且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2 的概率為9 ，假設(shè)520甲、乙兩人射擊互不影響.(1) 求 p 的值；(2)記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為

11、，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 .(1)設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，則P(A)3， P(A)2， P(B)p，P(B)1 p，1分55依題意得 3 (1 p)2 p9，3分5520解得 p3，故 p 的值為3 .5分44(2) 的取值分別為0， 2， 4.6 分P(0)P(AB)211P(A) P(B)4，51059P(2)，20339P(4)P(AB)P(A) P(B)， 9 分5420 的分布列為024P199102020 12分E = 0129492713 分20.10201018如圖，在四面 體ABCD中，O、E分別是 BD、BC的中點(diǎn)，CACBCD

12、BD2, AB AD2.A（）求證：AO平面 BCD；（）求異面直線AB與 CD所成角的余弦值；（）求點(diǎn) E 到平面 ACD的距離D解: 方法一：證明：連結(jié)OCOQ BODO, ABAD,AOBD. 1 分 BECQ BODO, BCCD ，COBD 2分A在 AOC 中，由已知可得AO1,CO3.而 AC2 ，AO 2CO 2AC 2,DOAOC90o , 即 AOOC.4 分BCQBD I OCO, AO平面 BCD 5分E解：取 AC的中點(diǎn) M，連結(jié) OM、 ME、 OE，由 E 為BC的中點(diǎn)知ME AB,OEDC，直線 OE與 EM所成的銳角就是異面直線AB 與 CD所成的角，7 分在

13、OME 中， EM1211,AB, OEDC222OM 是直角AOC 斜邊 AC上的中線， OM1AC 12 cos OEMOE 2EM 2OM 22 8 分2OEEM，46異面直線 AB 與 CD所成角的余弦值為2 9 分4解：設(shè)點(diǎn) E 到平面 ACD的距離為 h Q VE ACDVA CDE，11AO S CDE12 分h S ACD33在 ACD 中， CACD2, AD2 ,S ACD1222(2 )27,而 AO1， S CDO S CDE132121213 分，點(diǎn) E 到平面 ACD的距離為 hS ACD7772方法二：同方法一解：以 O為原點(diǎn)，如圖建立空

14、間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0), D (1,0,0),C (0, 3,0), A(0,0,1), E( 1,3 ,0), BA ( 1,0,1), CD ( 1, 3,0).22cos BA, CDBA CD2 ，BA CD42 異面直線AB與 CD所成角的余弦值為4zA8分9分DO解：設(shè)平面 ACD的法向量為 n(x, y, z), 則x BCnAD(x, y, z) (1,0,1)0Ey，nAC( x, y, z) (0, 3,1)0x z0，令 y1,得 n(3,1, 3) 是平面 ACD的一個(gè)法向量11 分3yz0又EC ( 1,3 ,0), 點(diǎn) E 到平面 ACD的距離 hEC n

15、321n227713 分19（本小題滿分13 分）已知橢圓 C : x2y 21( a b 0) 過點(diǎn) (1, 3 ) ，且離心率 e1 。a2b 222（ 1）求橢圓方程；7（ 2）若直線 l : ykxm(k0) 與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M 、 N ，且線段 MN 的垂直平分線過定點(diǎn) G(1 ,0) ，求 k 的取值范圍。81 .解：（）由題意橢圓的離心率 ec12a 2cb 2a 2c 23c 2 橢圓方程為a2x 2y212 分4c 23c2又點(diǎn) (1, 3) 在橢圓上1(3)221c21橢圓的方程為24c23c2x2y 21 4分43（）設(shè) M ( x1, y1 ), N ( x2 ,

16、y2 )x2y 2由 413ykx m消去 y 并整理得 (3 4k2 ) x28kmx 4m212 06分直線 ykxm 與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(8km)24(34k2 )( 4m2 12)0 ，即 m24k 238分又 x1 x28km34k24km3mMN 中點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (,3)10分34k24k 2設(shè) MN 的垂直平分線 l '方程： y1 ( x1)3m1 (k4km81 )Q 點(diǎn) p 在 l '上334k2k4k28即 4k2 8km 3 0m1 (4k 23)12 分8k將上式代入 m24k 23 得 (4k 23) 24k 2364k 28k 21即 k5或 k

17、5201010k 的取值范圍為 (,5 )(5, ) 13 分101020（本小題滿分14 分）a2已知函數(shù)f ( x)x, g ( x)xln x ，其中 a0 。x（ 1）若 x1 是函數(shù) h( x)f (x)g (x) 的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a 的值；（ 2）若對(duì)任意的 x1, x21, e （ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） 都有 f ( x1 )g(x2 ) 成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。1）解法 1： hxa2ln x ，其定義域?yàn)?0，2 xa2x hx21x2xa2 x1 是函數(shù) h x 的極值點(diǎn)， h10，即 30 a0， a3 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) a3 時(shí)， x1 是函數(shù) hx的極值點(diǎn)， a3 4分

18、解法 2： hxa2ln x ，其定義域?yàn)?，2xa2x hx21x2x令 hx0，即 2a210 ，整理，得 2x2xa20 8a2x2x10 ， hx0 的兩個(gè)實(shí)根 x1118a2118a24（舍去）， x24，當(dāng) x 變化時(shí)， h x， hx的變化情況如下表：x0,x2x2x2 ,hx0h x極小值依題意，118a21，即 a23，4 a0， a3 4分9（ 2 ） 解 ： 對(duì) 任 意 的 x1 , x21，e 都 有 fx1 g x2成立等價(jià)于對(duì)任意的x1 , x21， e 都有 f xmin g xmax當(dāng) x1， e 時(shí)， gx10 1x函數(shù) gxxln x 在 1， e 上是增函

19、數(shù) g xmaxg e e 1 6分 f x1a2xaxa，且 x1, e ， a 0 7分x2x2xax a當(dāng) 0a 1且 x 1， e 時(shí)，fx0，x2函數(shù) fxxa2在 1， e 上是增函數(shù)，x fxminf11a2 .由 1a2 e1，得 a e ，又 0a 1 ， a 不合題意 9分當(dāng) 1 a e 時(shí)，若 1 x a ，則 f xxaxa0 ，x2若 a x e ，則 f xxaxa0 x2函數(shù) fxxa2上是減函數(shù)，在a，e 上是增函數(shù)在 1,ax fxminfa2a.由 2a e 1，得 a e 1 ，2又 1 a e ， e 1 a e 11分2當(dāng) ae 且 x 1， e 時(shí)，

20、 fxx axax20，函數(shù) fxxa2在 1，e 上是減函數(shù)xa2 fxminfee.e由 ea2 e 1，得 a e ，又 ae ， ae 13分e綜上所述， a 的取值范圍為e1 , 14分221、本題有（1）、（ 2）、（ 3）三個(gè)選考題，每題7 分，請(qǐng)考生任選2 題作答，滿分14 分如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分（1）（本小題滿分7 分）矩陣與變換10二階矩陣 M 對(duì)應(yīng)的變換將向量1232在 M1，分別變換成向量2，直線 l11的變換下所得到的直線l ' 的方程是 2x y10，求直線 l 的方程（1）解：設(shè) Mabab13ab22cd，則由題知cd1,cd1, 所以21ab3a1cd2b414（ 3 分）2ab2，解得c，所以 M35。32cd1d5設(shè)點(diǎn) P(x, y) 是直線 l 上任一點(diǎn)，在 M 變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P' (