第8章常微分方程數(shù)值解法本章主要內(nèi)容：1.歐拉法

1、第 8 章常微分方程數(shù)值解法本章主要內(nèi)容 ：1歐拉法、改進(jìn)歐拉法.2龍格 -庫塔法。3單步法的收斂性與穩(wěn)定性。重點、難點一、微分方程的數(shù)值解法在工程技術(shù)或自然科學(xué)中，我們會遇到的許多微分方程的問題，而我們只能對其中具有較簡單形式的微分方程才能夠求出它們的精確解。對于大量的微分方程問題我們需要考慮求它們的滿足一定精度要求的近似解的方法，稱為微分方程的數(shù)值解法。本章我們主要dyf ( x, y)討論常微分方程初值問題dx的數(shù)值解法。y( x0 ) y0數(shù)值解法的基本思想是：在常微分方程初值問題解的存在區(qū)間a,b 內(nèi)，取 n+1 個節(jié)點a=x0x1 xN=b （其中差 hn= x n xn-1 稱為

2、步長，一般取h 為常數(shù)，即等步長），在這些節(jié)點上把常微分方程的初值問題離散化為差分方程的相應(yīng)問題，再求出這些點的上的差分方程值作為相應(yīng)的微分方程的近似值（滿足精度要求）。二、歐拉法與改進(jìn)歐拉法歐拉法與改進(jìn)歐拉法是用數(shù)值積分方法對微分方程進(jìn)行離散化的一種方法。將常微分方程 yf ( x, y) 變?yōu)?y( xn 1 ) y( xn )xn 1f (t, y(t)dtxn1歐拉法（歐拉折線法）歐拉法是求解常微分方程初值問題的一種最簡單的數(shù)值解法。歐拉法的基本思想：用左矩陣公式計算（）式右端積分，則得歐拉法的計算公式為： yn 1ynhf ( xn , yn )(nb a0,1,., N 1) hN

3、歐拉法局部截斷誤差h2y (n 1 )xn2Rn 1n 1xn 1 或簡記為 O（ h ）。2我們在計算時應(yīng)注意歐拉法是一階方法，計算誤差較大。歐拉法的幾何意義：過點A 0（ x0， y0）， A 1（ x1， y1）， ， A n（ x n， y n ），斜率分別為 f（ x0， y0）， f （ x1，y1）， ， f（ x n ， y n）所連接的一條折線，所以歐拉法亦稱為歐拉折線法。例 1 用歐拉法解初值問題dydx2xy(0x1)y(0)1在 x 0 (0.2) 1 處的近似解。（計算過程保留4 位小數(shù)）?！舅悸贰?用歐拉法求解常微分方程的初值問題時，首先熟練掌握歐拉公式的一般形式，

4、根據(jù)具體題目寫出找出歐拉公式的迭代式，并根據(jù)初始條件和所給步長進(jìn)行迭代求解。解 f(x， y) 2xy ， h 0.2，歐拉公式為：yn 1ynhf ( xn , yn )yn0.2( 2xn y n )(10.4 xn ) yn(n0,1,2,3,4,5)列表計算如下：nxnyny(x n)y(x n)-yn0011010.210.9608-0.039220.40.920.8521-0.067930.60.77280.6977-0.075140.80.58730.5273-0.06510.39940.3679-0.03152改進(jìn)歐拉法改進(jìn)歐拉法比歐拉法的計算準(zhǔn)確，是對歐拉法的改進(jìn)。改進(jìn)歐拉法

5、的基本思想：用梯形公式計算（）式右端積分，則得改進(jìn)歐拉法的計算公式為：yn 1ynhf ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) (n 0,1,., N 1)hb a2N利用改進(jìn)歐拉法計算常微分方程初值問題時，我們應(yīng)注意此公式為隱式表達(dá)式，需要對它進(jìn)行迭代求解。計算時可以采用一次迭代和多次迭代，因此，就有改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式和反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式。改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式：y n0 1ynhf ( xn , yn )yn 1ynh f ( xn , yn )f ( xn 1 , yn01 )(n0,1,., N1)2反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式

6、：y n0 1ynhf ( xn , yn )y nm11ynh f (xn , yn )f (xn 1, ynm1 )(n0, N1, m0,1,.,)2改進(jìn)歐拉法的局部截斷誤差Rn 1h3y(n 1 )xnn 1xn1 或簡記為 O（ h3）。12從局部截斷誤差的形式看，改進(jìn)歐拉法是二階方法，因此，它比歐拉法更精確。例 2 用預(yù)估 -校正法求初值問題yyxy2(0x1)y(0)1在 x=0 （ 0.2） 1 的解?！舅悸贰空莆疹A(yù)估-校正法的計算公式，根據(jù)已知條件迭代求解。解 步長 h=0.2，將 f (x, y)y xy2代入預(yù)估 -校正公式，整理得yn( 0)10.8 yn0.2xn y

7、n2yn 10.9 yn0.1xn yn20.1( yn(0)1xn 1 ( yn(0)1 )2列表計算如下：nx ny ny(x n)001110.20.807200.8046320.40.636900.6314530.60.490480.4891840.80.377800.37720510.291030.29100例 3 用改進(jìn)歐拉法求解例1 的初值問題 ,要求y(nm)yn(m 1)10 3?！舅悸贰空莆崭倪M(jìn)歐拉法的計算公式，根據(jù)已知條件迭代求解，并檢驗迭代解是否滿足精度要求，若滿足則確定此解為常微分方程在某點的近似解。解 將 f (x, y)2xy 代入改進(jìn)歐拉法的計算公式得：yn(0

8、)1ynhf ( xn , yn ) yn0.2( 2xn yn )(10.4xn ) yny nm1ynhf ( xn , yn )f (xn 1 , ynm1 1 )yn0.2 xn ynxn 1 ynm1 1 )2列表計算如下：nx nyn0yn1yn2yn3yny(x n)y(x n)-yn0011111010.210.960.96160.96150.9608-0.000720.40.88460.85230.85490.85490.8521-0.002830.60.71810.70030.70250.70220.6977-0.004540.80.53370.53250.53270.53

9、270.5273-0.0054510.36220.37500.37250.37300.3679-0.0051三、龍格 -庫塔法1龍格 -庫塔法龍格 -庫塔法具有精度高、收斂、穩(wěn)定，不需要計算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點，是求解微分方程初值問題的一組著名的顯示單步方法，廣泛應(yīng)用于求解常微分方程的初值問題。本章我們介紹了二、三、四階龍格-庫塔法。龍格 -庫塔法的基本思想：yf ( x, y)y(xn 1 ) y(xn ) ，則由微分中值在計算初值問題y(x0 ) y0的數(shù)值解時，考慮均差h定理可得()( )()( 01)， 由初值問題可得公式為：y xn 1y xnhy xnhy( xk 1 ) y(xk )h

10、f ( xkh, y( xkh) 上式中 f ( xkh, y( xkh) 稱為區(qū)間上的平均斜率。如果給平均斜率一種計算方法，就可得到計算y（x n+1 ）的近似值 yn+1 的公式。如果僅取 xn 處的斜率值f (xn , yn ) 作為平均斜率的近似值，則得到的yn 1 的公式為歐拉公式；如果取 xn , xn 1 處的斜率值f ( xn , yn ) ， f (xn 1 , yn 1 ) 的平均值作為平均斜率的近似值，則得到的yn 1 的公式改進(jìn)歐拉公式。 二階龍格 -庫塔法的公式和局部截斷誤差：yn 1 y n h( 1 k12 k 2 )k1f ( xn , yn )k 2f ( x

11、n 1 , ynhk1 )在上式中選擇不同的參數(shù)，會得到不同的二階龍格-庫塔法公式，所以二階龍格-庫塔法公式不唯一。二階龍格-庫塔法公式的局部截斷誤差為 （ h3）。常見的二階龍格-庫塔法公式有以下兩種改進(jìn)歐拉法迭代公式y(tǒng)n 1ynhk2 )(k12yn 1k1f (x n , yn )k1k 2f ( xn 1, ynhk1 )k2ynhk 2f (xn , yn )f (xnh , yn h k1 )22 三階龍格 -庫塔法的公式和局部截斷誤差：常見的三階龍格 -庫塔法公式為yn 1ynh4k2k3 )(k16k1f ( xn , yn )k2f ( xnh , ynh k1 )22k3f

12、 (xnh, ynhk12hk2 )三階龍格-庫塔法公式的局部截斷誤差為4）。 （ h 四階龍格 -庫塔法公式y(tǒng)n 1ynhk2k1f ( xn , yn )k2f (xnh , ynh k1 )22通常所說的龍格 -庫塔法是指四階龍格 -庫塔法，也稱為標(biāo)準(zhǔn)龍格 -庫塔法。由于它是一步法，（即已知 yn ，就可以求出 yn 1 ，無需知道 y n 1， yn 2 ， 的值）且它的計算精度高，所以應(yīng)用較多，但在計算時，因為每一步都需要計算四次f（ x， y）的值，計算量較大，所以，一般用來計算前幾項的近似值，即“表頭”。四階龍格 -庫塔法公式為的公式和局部截斷誤差：yn 1ynh ( k12k2

13、 2k3k4 )6k1f (xn , yn )k2f (xnh , ynh k1 )22k3f ( xnh , ynh k2 )22k4f (xnh, ynhk 3 )四階龍格 -庫塔法的局部截斷誤差為 （ h5）。四、單步法的收斂性和穩(wěn)定性1收斂性如果在無舍入誤差且步長h 充分小的情況下，求得的近似值yn 足夠精確地逼近真解y( xn ) ，即：當(dāng) h0時，一致地有 yny( xn )歐拉法整體截斷誤差：n y ( xn ) yn其中 y( xn ) 為真解， yn 為在無舍入誤差情況下，從 y0 用歐拉法計算公式求得的近似解。 歐拉法的收斂條件：如果f(x,y) 關(guān)于 y 滿足 Lipsc

14、hitz 條件，且局部截斷誤差Rn 有界，即 R nh 2M 2( n1,2 ,., N ), 則歐拉法收斂。且歐拉法的整體截斷誤差估計2式為：nhM 2(eL (b a )1)2L其中 L 為 Lipschitz 常數(shù)， b-a 為求解區(qū)間的長度，M 2max y ( x) 。ax b3.穩(wěn)定性和絕對穩(wěn)定性穩(wěn)定性：指初始（或某步）產(chǎn)生的誤差在后面的迭代計算中不會再擴大。即存在常數(shù)y0。C 及 h0,0 hh0 時，對任意兩個初始值 y0 , y0 滿足不等式y(tǒng)n ynC y0 歐拉法穩(wěn)定性的條件：如果f(x,y) 關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，則歐拉法穩(wěn)定。 絕對穩(wěn)定性：若對固定步長h0 及任意兩個初始值 y0 , y0 滿足不等式y(tǒng)0 。yn yny0 我們在討論穩(wěn)定性時應(yīng)注意，一般在實際計算中只能取固定步長，它不可能任意縮小。所以絕對穩(wěn)定性則表示的是對固定步長h0，在初始（或某步）所產(chǎn)生的誤差，在以后計算中不會逐步增長。由于絕對穩(wěn)定性的成立和f(x,y) 有關(guān)，討論較為復(fù)雜。所以一般yy地，我們對簡單