高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法素材2 新人教A版選修45

1、2.3 反證法與放縮法三 反證法與放縮法知識(shí)梳理1.反證法 先_,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理,定義,定理,性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已知證明的定理,性質(zhì),明顯成立的事實(shí)等) _的結(jié)論,以說(shuō)明_不正確,從而證明原命題成立,我們稱(chēng)這種證明問(wèn)題的方法為反證法.2.放縮法 證明不等式時(shí),通常把不等式中的某些部分的值_或_,簡(jiǎn)化不等式,從而達(dá)到證明的目的.我們把這種方法稱(chēng)為放縮法.知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.用反證法證明不等式必須把握以下幾點(diǎn)：(1)必須否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面,當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí),必須羅列出各種情況,缺少任何一種可能,反證法都是不完全的.(2)反證法必須從否定結(jié)論

2、進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證.否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法.(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)相違背等等.推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.(4)在使用反證法時(shí),“否定結(jié)論”在推理論證中往往作為已知使用,可視為已知條件.2.放縮法多借助于一個(gè)或多個(gè)中間量進(jìn)行放大或縮小,如欲證ab,需通過(guò)bb1,b1b2bia(或aa1,a1a2aib)，再利用傳遞性，達(dá)到證明的目的.疑難突破 1.反證法中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言 反證法適宜證明“存在性問(wèn)題,唯一性問(wèn)題”,帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的問(wèn)題,或者說(shuō)

3、“正難則反”,直接證明有困難時(shí),常采用反證法,下面我們列舉一下常見(jiàn)的涉及反證法的文字語(yǔ)言及其相對(duì)應(yīng)的否定假設(shè).常見(jiàn)詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)唯一一個(gè)不是不可能全都是否定假設(shè)一個(gè)也沒(méi)有有兩個(gè)或兩個(gè)以上沒(méi)有或有兩個(gè)以上是有或存在不全不都是 對(duì)某些數(shù)學(xué)語(yǔ)言的否定假設(shè)要準(zhǔn)確,以免造成原則性的錯(cuò)誤,有時(shí)在使用反證法時(shí),對(duì)假設(shè)的否定也可以舉一定的特例來(lái)說(shuō)明矛盾,尤其在一些選擇題中,更是如此. 2.放縮法的尺度把握等問(wèn)題(1)放縮法的理論依據(jù)主要有:不等式的傳遞性;等量加不等量為不等量;同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較;基本不等式與絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì);三角函數(shù)的有界性等.(2)放縮法使用的

4、主要方法: 放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮必須有目標(biāo),而且要恰到好處,目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察.常用的放縮方法有增項(xiàng),減項(xiàng),利用分式的性質(zhì),利用不等式的性質(zhì),利用已知不等式,利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮等.比如:舍去或加上一些項(xiàng):(a+)2+>(a+)2;將分子或分母放大(縮小):(kr,k>1)等.典題精講【例1】 (經(jīng)典回放)若a3+b3=2,求證:a+b2.思路分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體,更簡(jiǎn)潔,宜用反證法.證法一：假設(shè)a+b>2,a2-ab+b2=(ab)2+b20.而取等號(hào)的條件為a=b=0，顯然不可能，a2-ab+b2>0.則a3+b3=

5、(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.1+ab>a2+b22ab.從而ab<1.a2+b2<1+ab<2.(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.a+b<2. 這與假設(shè)矛盾,故a+b2.證法二:假設(shè)a+b>2,則a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3,即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,這不可能,從而a+b2.證法三:假設(shè)a+b>2,則(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8.由a3+b3=2,得3ab(

6、a+b)>6.故ab(a+b)>2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2).a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0.這不可能，故a+b2. 綠色通道：本題三種方法均采用反證法，有的推至與假設(shè)矛盾，有的推至與已知事實(shí)矛盾.一般說(shuō)來(lái),結(jié)論的語(yǔ)氣過(guò)于肯定或肯定“過(guò)頭”時(shí),都可以考慮用反證法.再是本題的已知條件非常少,為了增加可利用的條件,從反證法的角度來(lái)說(shuō),“假設(shè)”也是已知條件,因而,可考慮反證法.【變式訓(xùn)練】 若|a|<1,|b|<1,求證:<1.思路分析：本題由已知條件不易入手證明,而結(jié)

7、論也不易變形,即直接證有困難,因而可聯(lián)想反證法.證明:假設(shè)1,則|a+b|1+ab|,a2+b2+2ab1+2ab+a2b2.a2+b2-a2b2-10.a2-1-b2(a2-1)0.(a2-1)(1-b2)0.即與已知矛盾.<1.【例2】 (經(jīng)典回放)已知a,b,c(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.思路分析：“不能同時(shí)”包含情況較多,而其否定“同時(shí)大于”僅有一種情況,因此用反證法.證法一：假設(shè)三式同時(shí)大于,即有(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>.又(1-a)

8、a()2=.同理,(1-b)b,(1-c)c.(1-a)a(1-b)b(1-c)c,與假設(shè)矛盾,結(jié)論正確.證法二:假設(shè)三式同時(shí)大于,0<a<1,1-a>0,.同理都大于.三式相加,得,矛盾.原命題成立. 綠色通道：結(jié)論若是“都是”“都不是”“至少”“至多”或“”形式的不等式命題,往往可應(yīng)用反證法,因此,可從這些語(yǔ)言上來(lái)判斷是否可用此方法證明.【變式訓(xùn)練】 已知x>0,y>0,且x+y>2,求證:與中至少有一個(gè)小于2.思路分析：由于題目的結(jié)論是:兩個(gè)數(shù)中“至少有一個(gè)小于2”情況比較復(fù)雜,會(huì)出現(xiàn)異向不等式組成的不等式組,一一證明十分繁雜,而對(duì)結(jié)論的否定是兩個(gè)“都

9、大于或等于2”構(gòu)成的同向不等式,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,為推出矛盾提供了方便,故采用反證法.證明:假設(shè)2,2.x>0,y>0,則1+y2x,1+x2y.兩式相加,得2+x+y2(x+y),x+y2.這與已知x+y>2矛盾.與中至少有一個(gè)小于2成立.【例3】 設(shè)n是正整數(shù),求證:+n<1.思路分析：要求一個(gè)n項(xiàng)分式+的范圍,它的和又求不出,可以采用“化整為零”的方法,觀察每一項(xiàng)的范圍,再求整體的范圍.證明：由2nn+k>n(k=1,2, ,n),得.當(dāng)k=1時(shí),;當(dāng)k=2時(shí),;當(dāng)k=n時(shí),=+<=1. 綠色通道：放縮法證明不等式,放縮要適度,否則會(huì)陷入困境,例如證明,由,如

10、果從第3項(xiàng)開(kāi)始放縮,正好可證明;如果從第2項(xiàng)放縮,可得小于2,當(dāng)放縮方式不同時(shí),結(jié)果也在變化. 放縮法一般包括:用縮小分母,擴(kuò)大分子,分式值增大；縮小分子,擴(kuò)大分母,分式值縮??；全量不少于部分.每一次縮小其和變小,但需大于所求;每一次擴(kuò)大其和變大,但需小于所求.即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭,同時(shí)要使放縮后便于求和.【變式訓(xùn)練】 若nn+,n2,求證：-.思路分析：利用進(jìn)行放縮.證明:=(-)+(-)+()=-.又+<=(1)+(-)+()=1-,-<+<1-.【例4】 (經(jīng)曲回放)求證：.思路分析：利用|a+b|a|+|b|進(jìn)行放縮,但需對(duì)a,b的幾種情況進(jìn)行討論,如a=b=0時(shí)

11、等.證明：若a+b=0或a=b=0時(shí)顯然成立.若a+b0且a,b不同時(shí)為0時(shí),.|a+b|a|+|b|,上式1+.原不等式成立. 綠色通道：對(duì)含絕對(duì)值的不等式的證明，要辨別是否屬絕對(duì)值不等式的放縮問(wèn)題，如利用|a|-|b|a±b|a|+|b|進(jìn)行放縮，此問(wèn)題我們可以算作放縮問(wèn)題中的一類(lèi).【變式訓(xùn)練】 已知|x|<,|y|<,|z|<,求證:|x+2y-3z|<.思路分析：利用|a+b+c|a|+|b|+|c|進(jìn)行放縮.證明:|x|<,|y|<,|z|<,|x+2y-3z|=|1+2y+(-3z)|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z|<+2×+3×=.原不等式成立.問(wèn)題探究問(wèn)題:說(shuō)明“語(yǔ)言的聲音和它所表示的事物之間沒(méi)有必然聯(lián)系”.導(dǎo)思：直接去說(shuō)明某件事情是正確的,有時(shí)很難說(shuō)明原因或根據(jù),因此,用反證法及其邏輯思維會(huì)顯得較為簡(jiǎn)單.探究：反證題:聲音和事物的結(jié)合假如有什么必然聯(lián)系,世界上所有的語(yǔ)言中表示同一事物的詞的聲音就應(yīng)是相同的,后者顯然不能成立,既然世界上表示同一事物的詞的聲音各不相同,可見(jiàn)語(yǔ)言的聲音和所表示的事物之間是沒(méi)有必然聯(lián)系的.6edbc31