二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)與特殊四邊形綜合問題解析與訓(xùn)練

1、.二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)與特殊四邊形綜合問題解析與訓(xùn)練一、知識(shí)準(zhǔn)備： 拋物線與直線形的結(jié)合表形式之一是，以拋物線為載體，探討是否存在一些點(diǎn)，使其能構(gòu)成某些特殊四邊形，有以下常風(fēng)的基本形式（1）拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成平行四邊形（2）拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成矩形，菱形，正方形（3）拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成梯形。特殊四邊形的性質(zhì)與是解決這類問題的基礎(chǔ)，而待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解決這類問題的關(guān)鍵二、例題精析【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成平行四邊形】例一、如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為。點(diǎn)是軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時(shí)，以為

2、頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說明理由。（3）若存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】（1）直線經(jīng)過點(diǎn), 拋物線經(jīng)過點(diǎn)， 拋物線的解析式為（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且在拋物線上 ，當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 當(dāng)時(shí)，解得：即當(dāng)或時(shí)，四邊形是平行四邊形 當(dāng)時(shí)，解得：（舍去）即當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在上方且時(shí)，作,則 PMFCNF， 又 解得：，（舍去） 。同理可以求得：另外一點(diǎn)為【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成矩形，菱形，正方形】例二（2013荊州）如圖，已知：如圖，直線y=x+與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)D、E分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)停止）；對(duì)稱軸過點(diǎn)

3、A且頂點(diǎn)為M的拋物線y=a（xk）2+h（a0）始終經(jīng)過點(diǎn)E，過E作EGOA交拋物線于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)DE、DF、AG、BG設(shè)D、E的運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長度/秒和個(gè)單位長度/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADEF是菱形？判斷此時(shí)AFG與AGB是否相似，并說明理由；（3）當(dāng)ADF是直角三角形，且拋物線的頂點(diǎn)M恰好在BG上時(shí)，求拋物線的解析式考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）首先求出一次函數(shù)y=x+與坐標(biāo)軸交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的長；（2）由EFAD，且EF=AD=t，則四邊形ADEF為平行四邊

4、形，若ADEF是菱形，則DE=AD=t由DE=2OE，列方程求出t的值；如答圖1所示，推出BAG=GAF，ABG=AGF=30°，證明AFG與AGB相似（3）當(dāng)ADF是直角三角形時(shí)，有兩種情形，需要分類討論：若ADF=90°，如答圖2所示首先求出此時(shí)t的值；其次求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；最后利用頂點(diǎn)式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；若AFD=90°，如答圖3所示解題思路與相同解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1A（1，0），B（0，），OA=1，OB=tanOAB=，OAB=60&#

5、176;，AB=2OA=2EGOA，EFB=OAB=60°EF=t，BF=2EF=2t，AF=ABBF=22t（2）EFAD，且EF=AD=t，四邊形ADEF為平行四邊形若ADEF是菱形，則DE=AD=t由DE=2OD，即：t=2（1t），解得t=t=時(shí)，四邊形ADEF是菱形此時(shí)AFG與AGB相似理由如下：如答圖1所示，連接AE，四邊形ADEF是菱形，DEF=DAF=60°，AEF=30°由拋物線的對(duì)稱性可知，AG=AE，AGF=AEF=30°在RtBEG中，BE=，EG=2，tanEBG=，EBG=60°，ABG=EBGEBF=30°

6、;在AFG與AGB中，BAG=GAF，ABG=AGF=30°，AFGAGB（3）當(dāng)ADF是直角三角形時(shí)，若ADF=90°，如答圖2所示：此時(shí)AF=2DA，即22t=2t，解得t=BE=t=，OE=OBBE=，E（0，），G（2，）設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b，將B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，y=x+令x=1，得y=，M（1，）設(shè)拋物線解析式為y=a（x1）2+，點(diǎn)E（0，）在拋物線上，=a+，解得a=y=（x1）2+=x2+x+若AFD=90°，如答圖3所示：此時(shí)AD=2AF，即：t=2（22t），解得：t=BE=t=，OE=OBBE=，E（

7、0，），G（2，）設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b，將B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，y=x+令x=1，得y=，M（1，）設(shè)拋物線解析式為y=a（x1）2+，點(diǎn)E（0，）在拋物線上，=a+，解得a=y=（x1）2+=x2+x+綜上所述，符合條件的拋物線的解析式為：y=x2+x+或y=x2+x+點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知識(shí)點(diǎn)第（3）問中，有兩種情形存在，需要分類討論，避免漏解【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成梯形】例三. (2008年成都市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OAB的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，

8、0），頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且=3，sinOAB=.（1）若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在(1)中，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若將點(diǎn)O、點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q（ -2k ,0）、點(diǎn)R（5k，0）（k>1的常數(shù)），設(shè)過Q、R兩點(diǎn)，且以QR的垂直平分線為對(duì)稱軸的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N，其頂點(diǎn)為M，記QNM的面積為，QNR的面積，求的值.解：（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)在中，yxFP3BECDAP2P1O，又由勾股定理，得點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

9、為設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為由經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為梯形點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線與拋物線交于點(diǎn)則直線的函數(shù)表達(dá)式為對(duì)于，令或而點(diǎn)，在四邊形中，顯然點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)若設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為將點(diǎn)代入，得直線的函數(shù)表達(dá)式為于是可設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為將點(diǎn)代入，得直線的函數(shù)表達(dá)式為由，即而點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則在中，由勾股定理，得而在四邊形中，但點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)若設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為將點(diǎn)代入，得直線的函數(shù)表達(dá)式為直線的函數(shù)表達(dá)式為由，即而點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則在中，由勾股定理，得而在四邊形中，但點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)綜上可知，在（

10、1）中的拋物線上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為梯形（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下yxQOGRMN當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，則此拋物線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為即如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，則此拋物線與軸的正半軸交于點(diǎn)同理，可得綜上可知，的值為三、形成提升訓(xùn)練1、如圖，拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2（1） 求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2） P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、 C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由A2、如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)E（，）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由3： 如圖，二次函數(shù)y= -x2+ax+b的圖像與x軸交