常用算法設(shè)計(jì)方法

1、常用算法設(shè)計(jì)方法常用算法設(shè)計(jì)方法 要使計(jì)算機(jī)能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計(jì)一個(gè)算法，然后再根據(jù)算法編寫(xiě)程序。計(jì)算機(jī)程序要對(duì)問(wèn)題的每個(gè)對(duì)象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來(lái)描述問(wèn)題的對(duì)象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語(yǔ)句用來(lái)描述問(wèn)題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個(gè)重要方面。      算法是問(wèn)題求解過(guò)程的精確描述，一個(gè)算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計(jì)算機(jī)按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問(wèn)題的解，或終止于指出問(wèn)題對(duì)

2、此輸入數(shù)據(jù)無(wú)解。       通常求解一個(gè)問(wèn)題可能會(huì)有多種算法可供選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡(jiǎn)單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲(chǔ)空間少和執(zhí)行更快等。       算法設(shè)計(jì)是一件非常困難的工作，經(jīng)常采用的算法設(shè)計(jì)技術(shù)主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡(jiǎn)潔的形式設(shè)計(jì)和藐視算法，在算法設(shè)計(jì)時(shí)又常常采用遞歸技術(shù)，用遞歸描述算法。 一、迭代法      迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)

3、計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行： （1）   選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0； （2）   將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0； （3）   當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。 若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來(lái)的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為： 【算法】迭代法求方程的根     x0=初始近似根；    do &

4、#160;     x1=x0；       x0=g(x1)；   /*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/        while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；    printf(“方程的近似根是%fn”，x0)； 迭代算法也常用于求方程組的根，令       X=（x0，x1，xn-1） 設(shè)方程組為：       xi=gi(X) 

5、;     (I=0，1，n-1) 則求方程組根的迭代算法可描述如下： 【算法】迭代法求方程組的根        for (i=0;i<n;i+)          xi=初始近似根;       do          for (i=0;i<n;i+)             

6、;yi=xi;          for (i=0;i<n;i+)             xi=gi(X);          for (delta=0.0,i=0;i<n;i+)             if (fabs(yi-xi)>delta)      

7、;delta=fabs(yi-xi)；           while (delta>Epsilon)；       for (i=0;i<n;i+)          printf(“變量x%d的近似根是 %f”，I，xi)；       printf(“n”)；        具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況： （1）

8、0;  如果方程無(wú)解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過(guò)程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制； （2）   方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。二、窮舉搜索法      窮舉搜索法是對(duì)可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問(wèn)題的解。 【問(wèn)題】   將A、B、C、D、E、F這六個(gè)變量排成如圖所示的三角形，這六個(gè)變量分別取1，6上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條

9、邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個(gè)解。 程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書(shū)，在它們互不相同的條件下，測(cè)試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見(jiàn)下面的程序。 【程序1】 # include <stdio.h> void main()    int a,b,c,d,e,f;    for (a=1;a<=6;a+)         &#

10、160;for (b=1;b<=6;b+)                if (b=a)      continue;          for (c=1;c<=6;c+)                   if (c=a)|(c=b)   c

11、ontinue;             for (d=1;d<=6;d+)                      if (d=a)|(d=b)|(d=c)    continue; for (e=1;e<=6;e+)          if (e=a)|(e=b)|(e=c)|(e

12、=d)    continue; f=21-(a+b+c+d+e); if (a+b+c=c+d+e)&&(a+b+c=e+f+a)    printf(“%6d,a);    printf(“%4d%4d”,b,f);    printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);    scanf(“%*c”);                     

13、;                                             按窮舉法編寫(xiě)的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問(wèn)題改成有9個(gè)變量排成三角形，每條邊有4個(gè)變量的情況，程序的循環(huán)重?cái)?shù)就要相應(yīng)改變。    對(duì)一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個(gè)排列看作一個(gè)長(zhǎng)整數(shù)，則所有排列對(duì)應(yīng)著一

14、組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個(gè)整數(shù)，從對(duì)應(yīng)最小的整數(shù)開(kāi)始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個(gè)排列對(duì)應(yīng)的每個(gè)整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個(gè)排列找出對(duì)應(yīng)數(shù)列的下一個(gè)排列可在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作部分調(diào)整來(lái)實(shí)現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)整數(shù)為124653。要尋找比長(zhǎng)整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一個(gè)數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個(gè)數(shù)字比它前一個(gè)數(shù)字大時(shí)，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說(shuō)明還有對(duì)應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列12

15、4653的下一個(gè)排列。為了得到排列124653的下一個(gè)排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過(guò)的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個(gè)數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4交換。該數(shù)字也是從后向前考察過(guò)程中第一個(gè)比4大的數(shù)字。5與4交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況下，還應(yīng)選擇對(duì)應(yīng)最小整數(shù)的那個(gè)排列，為此還需將后面那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個(gè)排列。按以上想法編寫(xiě)的程序如下。 【程序2】 # include <stdio.h> # define SIDE_N  &#

16、160;3 # define LENGTH   3 # define VARIABLES   6 int A,B,C,D,E,F; int *pt=&A,&B,&C,&D,&E,&F; int *sideSIDE_NLENGTH=&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A; int side_totalSIDE_N; main    int i,j,t,equal;    for (j=

17、0;j<VARIABLES;j+)       *ptj=j+1;    while(1)       for (i=0;i<SIDE_N;i+)          for (t=j=0;j<LENGTH;j+)             t+=*sideij;          s

18、ide_totali=t;              for (equal=1,i=0;equal&&i<SIDE_N-1;i+)          if (side_totali!=side_totali+1   equal=0;       if (equal)          for (i=1;i<VA

19、RIABLES;i+)             printf(“%4d”,*pti);          printf(“n”);          scanf(“%*c”);              for (j=VARIABLES-1;j>0;j-)       &#

20、160;  if (*ptj>*ptj-1)   break;       if (j=0)   break;       for (i=VARIABLES-1;i>=j;i-)          if (*pti>*pti-1)   break;       t=*ptj-1;* ptj-1 =* pti; *pti=t; &#

21、160;     for (i=VARIABLES-1;i>j;i-,j+)          t=*ptj; *ptj =* pti; *pti=t;        從上述問(wèn)題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來(lái)確定所有的候選解。下面再用一個(gè)示例來(lái)加以說(shuō)明。 【問(wèn)題】   背包問(wèn)題 問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。

22、 設(shè)n個(gè)物品的重量和價(jià)值分別存儲(chǔ)于數(shù)組w 和v 中，限制重量為tw?？紤]一個(gè)n元組（x0，x1，xn-1），其中xi=0 表示第i個(gè)物品沒(méi)有選取，而xi=1則表示第i個(gè)物品被選取。顯然這個(gè)n元組等價(jià)于一個(gè)選擇方案。用枚舉法解決背包問(wèn)題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問(wèn)題的解。 顯然，每個(gè)分量取值為0或1的n元組的個(gè)數(shù)共為2n個(gè)。而每個(gè)n元組其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為02n-1。因此，如果把02n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個(gè)n元組。 【算法】 maxv=0; for (i=0;i<

23、2n;i+)    B0.n-1=0;    把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲(chǔ)于數(shù)組B中;    temp_w=0;    temp_v=0;    for (j=0;j<n;j+)       if (Bj=1)          temp_w=temp_w+wj;          temp_v=temp_v+vj;   &#

24、160;          if (temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv)          maxv=temp_v;          保存該B數(shù)組；            三、遞推法    遞推法是利用問(wèn)題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問(wèn)題解的一種方法。設(shè)要求問(wèn)題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時(shí)，解或?yàn)橐?/p>

25、知，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問(wèn)題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾?wèn)題規(guī)模為i-1的解后，由問(wèn)題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，i-1的一系列解，構(gòu)造出問(wèn)題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過(guò)遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解。 【問(wèn)題】   階乘計(jì)算 問(wèn)題描述：編寫(xiě)程序，對(duì)給定的n（n100），計(jì)算并輸出k的階乘k?。╧=1，2，n）的全部有效數(shù)字。 由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)，存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)數(shù)組的每個(gè)元素只存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a 存儲(chǔ)：

26、    N=am×10m-1+am-1×10m-2+ +a2×101+a1×100 并用a0存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)N的位數(shù)m，即a0=m。按上述約定，數(shù)組的每個(gè)元素存儲(chǔ)k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個(gè)元素、第三個(gè)元素。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲(chǔ)形式為： 3   0   2   1    首元素3表示長(zhǎng)整數(shù)是一個(gè)3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。    計(jì)算階乘k！可采用對(duì)已求得的階乘(k-

27、1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計(jì)算5！，可對(duì)原來(lái)的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下程序。 # include <stdio.h> # include <malloc.h> # define  MAXN   1000 void  pnext(int a ,int k)    int *b,m=a0,i,j,r,carry;    b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1);    for ( i

28、=1;i<=m;i+)      bi=ai;    for ( j=1;j<=k;j+)       for ( carry=0,i=1;i<=m;i+)          r=(i<a0?ai+bi:ai)+carry;          ai=r%10;          carry=r/

29、10;              if (carry)  a+m=carry;        free(b);    a0=m; void  write(int *a,int k)    int i;    printf(“%4d！=”,k);    for (i=a0;i>0;i-)       printf(

30、“%d”,ai); printf(“nn”); void main()    int aMAXN,n,k;    printf(“Enter the number n:  “);    scanf(“%d”,&n);    a0=1;    a1=1;    write(a,1);    for (k=2;k<=n;k+)       pnext(a,k);    

31、;   write(a,k);       getchar();     四、遞歸    遞歸是設(shè)計(jì)和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計(jì)方法之前先討論它。    能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問(wèn)題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問(wèn)題，然后從這些小問(wèn)題的解方便地構(gòu)造出大問(wèn)題的解，并且這些規(guī)模較小的問(wèn)題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問(wèn)題，并從這些更小問(wèn)題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問(wèn)題的解。特別地，當(dāng)

32、規(guī)模N=1時(shí)，能直接得解。 【問(wèn)題】   編寫(xiě)計(jì)算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib（n）。    斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即：       fib(0)=0;       fib(1)=1;       fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)      （當(dāng)n>1時(shí)）。 寫(xiě)成遞歸函數(shù)有： int fib(int n)    if

33、 (n=0)      return  0;    if (n=1)      return  1;    if (n>1)      return  fib(n-1)+fib(n-2);    遞歸算法的執(zhí)行過(guò)程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問(wèn)題（規(guī)模為n）的求解推到比原問(wèn)題簡(jiǎn)單一些的問(wèn)題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n

34、)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說(shuō)，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類(lèi)推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。    在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問(wèn)題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n

35、)的結(jié)果。    在編寫(xiě)遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層時(shí)，原來(lái)層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來(lái)。在一系列“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。    由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫(xiě)程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第n項(xiàng)。 【問(wèn)題】   組合問(wèn)題

36、 問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：   （1）5、4、3      （2）5、4、2      （3）5、4、1          （4）5、3、2      （5）5、3、1      （6）5、2、1          （7）4、3、2&#

37、160;     （8）4、3、1      （9）4、2、1          （10）3、2、1    分析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來(lái)考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void  comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題

38、。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a 存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在ak中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a 中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下程序中的函數(shù)comb。 【程序】 # include   <stdio.h> # define   MAXN   100 int   aMAXN; void   co

39、mb(int m,int k)    int i,j;    for (i=m;i>=k;i-)       ak=i;       if (k>1)          comb(i-1,k-1);       else          for (j=a0;j>0;j-)    

40、         printf(“%4d”,aj);          printf(“n”);            void main()    a0=3;    comb(5,3); 【問(wèn)題】   背包問(wèn)題 問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最

41、大。 設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1、wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option ，該方案的總價(jià)值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop 。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無(wú)意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)?/p>

42、當(dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。 對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能： （1）   考慮物品i被選擇，這種可能性?xún)H當(dāng)包含它不會(huì)超過(guò)方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。 （2）   考慮物品i不被選擇，這種可能性?xún)H當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。 按以上思想寫(xiě)出遞歸算法如下： try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv)    /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/    

43、if(包含物品i是可以接受的)       將物品i包含在當(dāng)前方案中；       if (i<n-1)          try(i+1,tw+物品i的重量,tv);       else          /*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负?，以它作為最佳方?/ 以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;     

44、60;   恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；              /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/       if (不包含物品i僅是可男考慮的)          if (i<n-1)             try(i+1,tw,tv-物品i的價(jià)值)；     

45、60;   else             /*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/ 以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;        為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見(jiàn)表： 物品   0   1   2   3 重量   5   3   2   1

46、 價(jià)值   4   4   3   1 并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過(guò)程。由圖知，一旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。 按上述算法編寫(xiě)函數(shù)和程序如下： 【程序】 # include   <stdio.h> # define   N   100 double   limitW,totV,maxV; int

47、   optionN,copN; struct      double   weight;          double   value;       aN; int   n; void find(int i,double tw,double tv)    int k;    /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/   &

48、#160;if (tw+ai.weight<=limitW)       copi=1;       if (i<n-1)   find(i+1,tw+ai.weight,tv);       else          for (k=0;k<n;k+)             optionk=cop

49、k;          maxv=tv;              copi=0;    /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/    if (tv-ai.value>maxV)       if (i<n-1)   find(i+1,tw,tv-ai.value);       else  

50、;        for (k=0;k<n;k+)             optionk=copk;          maxv=tv-ai.value;        void main()    int k;    double w,v;    printf(“輸入物品種數(shù)n”);  

51、 scanf(“%d”,&n);    printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值n”);    for (totv=0.0,k=0;k<n;k+)       scanf(“%1f%1f”,&w,&v);       ak.weight=w;       ak.value=v;       totV+=V;        

52、;printf(“輸入限制重量n”);    scanf(“%1f”,&limitV);    maxv=0.0;    for (k=0;k<n;k+)   copk=0;    find(0,0.0,totV);    for (k=0;k<n;k+)       if (optionk)   printf(“%4d”,k+1);    printf(“n總價(jià)值為%.2fn

53、”,maxv);    作為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來(lái)形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過(guò)依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時(shí)最佳解更好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)

54、考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個(gè)物品。 【程序】 # include   <stdio.h> # define   N   100 double   limitW; int   copN; struct   ele      double   weight;             double   v

55、alue;           aN; int   k,n; struct      int       flg;          double   tw;          double   tv;       twvN; void n

56、ext(int i,double tw,double tv)    twvi.flg=1;    twvi.tw=tw;    twvi.tv=tv; double find(struct ele *a,int n)    int i,k,f;    double maxv,tw,tv,totv;    maxv=0;    for (totv=0.0,k=0;k<n;k+)       totv+=ak.va

57、lue;    next(0,0.0,totv);    i=0;    While (i>=0)       f=twvi.flg;       tw=twvi.tw;       tv=twvi.tv;       switch(f)          case 1:   twvi.flg

58、+;                if (tw+ai.weight<=limitW)                   if (i<n-1)                      next(i+1,tw+ai.weigh

59、t,tv);                      i+;                                      else        

60、60;            maxv=tv;                      for (k=0;k<n;k+)                         copk=twvk.flg!=0;

61、60;                                 break;          case 0:   i-;                break;    

62、0;     default:   twvi.flg=0;                if (tv-ai.value>maxv)                   if (i<n-1)               

63、0;      next(i+1,tw,tv-ai.value);                      i+;                                    

64、 else                      maxv=tv-ai.value;                      for (k=0;k<n;k+)                

65、0;        copk=twvk.flg!=0;                                   break;               return maxv; void main()    doub

66、le maxv;    printf(“輸入物品種數(shù)n”);    scanf(“%d”,&n);    printf(“輸入限制重量n”);    scanf(“%1f”,&limitW); printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值n”);    for (k=0;k<n;k+)       scanf(“%1f%1f”,&ak.weight,&ak.value);    maxv=find(a,n

67、);    printf(“n選中的物品為n”); for (k=0;k<n;k+)       if (optionk)   printf(“%4d”,k+1);    printf(“n總價(jià)值為%.2fn”,maxv); 五、回溯法    回溯法也稱(chēng)為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問(wèn)題規(guī)模大小的限制，并將問(wèn)題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問(wèn)題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候

68、選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問(wèn)題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問(wèn)題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過(guò)程稱(chēng)為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過(guò)程稱(chēng)為向前試探。 1、回溯法的一般描述 可用回溯法求解的問(wèn)題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間E=（x1，x2，xn）xiSi ，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且 |Si| 有限，i=1，2，n。我們稱(chēng)E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問(wèn)題P的一個(gè)解。 解問(wèn)題P

69、的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問(wèn)題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。 我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問(wèn)題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，xi的所有約束意味著j（j<i）元組（x1，x2，xj）一定也滿足D中僅涉及到x1，x2，xj的所有約束，i=1，2，n。換句話說(shuō)，只要存在0jn-1，使得（x1，x2，xj）違反D中僅涉及到x1，x2，xj的約束之一，則以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）一定也違反D中僅涉及到x1，x2，xi的一個(gè)約束，

70、ni>j。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問(wèn)題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1，x2，xj）違反D中僅涉及x1，x2，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不會(huì)是問(wèn)題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類(lèi)問(wèn)題，利用這類(lèi)問(wèn)題的上述性質(zhì)而提出來(lái)的比枚舉法效率更高的算法。 回溯法首先將問(wèn)題P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹(shù)T，把在E中求問(wèn)題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問(wèn)題P的所有解。樹(shù)T類(lèi)似于檢索樹(shù)，它可以這樣構(gòu)造：    設(shè)Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，xi

71、(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，n。從根開(kāi)始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1) ，xi+1(2) ，xi+1(mi) ，i=0，1，2，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0in-1，E中n元組（x1，x2，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，x2，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，xi，反之亦然。特別，

72、E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。    因而，在E中尋找問(wèn)題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、，前綴I元組（x1，x2，xi），直到i=n為止。    在回溯法中，上述引入的樹(shù)被稱(chēng)為問(wèn)題P的狀態(tài)空間樹(shù)；樹(shù)T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱(chēng)為問(wèn)題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù)T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱(chēng)為問(wèn)題P的一個(gè)

73、解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù)T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱(chēng)為問(wèn)題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問(wèn)題P的一個(gè)解。 【問(wèn)題】   組合問(wèn)題 問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。 例如n=5，r=3的所有組合為：    （1）1、2、3      （2）1、2、4      （3）1、2、5       （4）1、3、4      （5）1、3、5   

74、60;  （6）1、4、5       （7）2、3、4      （8）2、3、5      （9）2、4、5       （10）3、4、5 則該問(wèn)題的狀態(tài)空間為： E=（x1，x2，x3）xiS ，i=1，2，3    其中：S=1，2，3，4，5 約束集為：   x1<x2<x3    顯然該約束集具有完備性。 2、回溯法的方法   &#

75、160;對(duì)于具有完備約束集D的一般問(wèn)題P及其相應(yīng)的狀態(tài)空間樹(shù)T，利用T的層次結(jié)構(gòu)和D的完備性，在T中搜索問(wèn)題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：    從T的根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略，系統(tǒng)地搜索以其為根的子樹(shù)中可能包含著回答結(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，而跳過(guò)對(duì)肯定不含回答結(jié)點(diǎn)的所有子樹(shù)的搜索，以提高搜索效率。具體地說(shuō)，當(dāng)搜索按深度優(yōu)先策略到達(dá)一個(gè)滿足D中所有有關(guān)約束的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)時(shí)，即“激活”該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，以便繼續(xù)往深層搜索；否則跳過(guò)對(duì)以該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)的搜索，而一邊逐層地向該狀態(tài)結(jié)點(diǎn)的祖先結(jié)點(diǎn)回溯，一邊“殺死”其兒子結(jié)點(diǎn)已被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，直到遇到其兒子結(jié)點(diǎn)未被搜索遍的祖先結(jié)點(diǎn)，

76、即轉(zhuǎn)向其未被搜索的一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)繼續(xù)搜索。 在搜索過(guò)程中，只要所激活的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)又滿足終結(jié)條件，那么它就是回答結(jié)點(diǎn)，應(yīng)該把它輸出或保存。由于在回溯法求解問(wèn)題時(shí)，一般要求出問(wèn)題的所有解，因此在得到回答結(jié)點(diǎn)后，同時(shí)也要進(jìn)行回溯，以便得到問(wèn)題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結(jié)點(diǎn)均已被搜索過(guò)為止。    例如在組合問(wèn)題中，從T的根出發(fā)深度優(yōu)先遍歷該樹(shù)。當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，2）時(shí)，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結(jié)點(diǎn)，則應(yīng)繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到葉子結(jié)點(diǎn)（1，2，5）時(shí)，由于它已是一個(gè)回答結(jié)點(diǎn)，則保存（或輸出）該結(jié)點(diǎn)，并回溯到其雙親結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)深度遍歷；當(dāng)遍歷到結(jié)點(diǎn)（1，5）時(shí)，由于它

77、已是葉子結(jié)點(diǎn)，但不滿足約束條件，故也需回溯。 3、回溯法的一般流程和技術(shù)    在用回溯法求解有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，一般是一邊建樹(shù)，一邊遍歷該樹(shù)。在回溯法中我們一般采用非遞歸方法。下面，我們給出回溯法的非遞歸算法的一般流程： 在用回溯法求解問(wèn)題，也即在遍歷狀態(tài)空間樹(shù)的過(guò)程中，如果采用非遞歸方法，則我們一般要用到棧的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這時(shí)，不僅可以用棧來(lái)表示正在遍歷的樹(shù)的結(jié)點(diǎn)，而且可以很方便地表示建立孩子結(jié)點(diǎn)和回溯過(guò)程。 例如在組合問(wèn)題中，我們用一個(gè)一維數(shù)組Stack 表示棧。開(kāi)始?？?，則表示了樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)。如果元素1進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1）結(jié)點(diǎn)；這時(shí)如果元素2進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（

78、1，2）結(jié)點(diǎn)；元素3再進(jìn)棧，則表示建立并遍歷（1，2，3）結(jié)點(diǎn)。這時(shí)可以判斷它滿足所有約束條件，是問(wèn)題的一個(gè)解，輸出（或保存）。這時(shí)只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結(jié)點(diǎn)（1，2，3）回溯到結(jié)點(diǎn)（1，2）。 【問(wèn)題】   組合問(wèn)題 問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1，2，n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。 采用回溯法找問(wèn)題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a0，a1，ar-1中，組合的元素滿足以下性質(zhì)： （1）   ai+1>ai，后一個(gè)數(shù)字比前一個(gè)大； （2）   ai-i<=n-r+1。 按回溯法的思想，找解過(guò)程可以敘述如下： 

79、0;  首先放棄組合數(shù)個(gè)數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個(gè)數(shù)字1開(kāi)始。因該候選解滿足除問(wèn)題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過(guò)程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問(wèn)題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個(gè)解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個(gè)候選解，因a2上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問(wèn)題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對(duì)5不能再作調(diào)整，就要從a2回溯到a1，這時(shí)，a1=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a0再回溯時(shí)，說(shuō)明已經(jīng)找完問(wèn)題的全部解。按上述思想寫(xiě)成程序如下： 【程

80、序】 # define   MAXN   100 int aMAXN; void comb(int m,int r)    int i,j;    i=0;    ai=1;    do       if (ai-i<=m-r+1          if (i=r-1)             

81、;for (j=0;j<r;j+)                printf(“%4d”,aj);             printf(“n”);                    ai+;          continue

82、;              else          if (i=0)             return;          a-i+;              while (1) main()    comb

83、(5,3); 【問(wèn)題】   填字游戲 問(wèn)題描述：在3×3個(gè)方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N10）內(nèi)的某9個(gè)數(shù)字，每個(gè)方格填一個(gè)整數(shù)，似的所有相鄰兩個(gè)方格內(nèi)的兩個(gè)整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個(gè)要求的各種數(shù)字填法。 可用試探發(fā)找到問(wèn)題的解，即從第一個(gè)方格開(kāi)始，為當(dāng)前方格尋找一個(gè)合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個(gè)合理的可填證書(shū)，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€(gè)方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個(gè)解，將該解輸出，并調(diào)整第九個(gè)的填入的整數(shù)，尋找下一個(gè)解。 為找到一個(gè)滿足要求的9個(gè)數(shù)的填法，從還未填一個(gè)數(shù)開(kāi)始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當(dāng)前位置填入一個(gè)整數(shù)，然后檢查當(dāng)前填入的整數(shù)是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續(xù)用同樣的方法為下一方格填入整數(shù)。如果最近填入的整數(shù)不能滿足要求，就改變填入的整數(shù)。如對(duì)當(dāng)前方格試盡所有可能的整數(shù)，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，并調(diào)整前一方格填入的整數(shù)。如此重復(fù)執(zhí)行擴(kuò)展、檢查或調(diào)整、檢查，直到找到一個(gè)滿足問(wèn)題要求的解，將解輸出。 回溯法找一個(gè)解的算法：    int m=0,ok