專題二、分式不等式的解法

1、（一）分式不等式：型如：或（其中為整式且）的不等式稱為分式不等式。（2）歸納分式不等式與整式不等式的等價轉(zhuǎn)化：（1） （3）（2） （4）（3）小結(jié)分式不等式的解法步驟：（1）移項通分，不等式右側(cè)化為“0”，左側(cè)為一分式（2）轉(zhuǎn)化為等價的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次項前系數(shù)為正）（1）分式不等式的解法：解關(guān)于x的不等式方法一：等價轉(zhuǎn)化為： 方法二：等價轉(zhuǎn)化為： 或 變式一： 等價轉(zhuǎn)化為： 比較不等式及的解集。（不等式的變形，強調(diào)等價轉(zhuǎn)化，分母不為零）練一練：解關(guān)于x的不等式 例1、 解關(guān)于x的不等式：解： 即， （保證因式分解后，保證一次項前的系數(shù)都為正） 等價

2、變形為： 原不等式的解集為例2、解關(guān)于x不等式 方法一：恒大于0，利用不等式的基本性質(zhì)方法二：移項、通分，利用兩式同號、異號的充要條件，劃歸為一元一次或一元二次不等式。例3、 解關(guān)于x的不等式：解：移項 通分 即，等價轉(zhuǎn)化為，當a>0時，原不等式的解集為當a<0時，原不等式的解集為當a=0時，原不等式的解集為 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1 解不等式.分析一：利用前節(jié)的方法求解；分析二：由乘法運算的符號法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個因式必須異號，原不等式的解集是下面兩個不等式組：與的解集的并集，即x|=x|-4<x<1=x|-4<x<1.書寫

3、時可按下列格式：解二：(x-1)(x+4)<0或x或-4<x<1-4<x<1，原不等式的解集是x|-4<x<1.小結(jié)：一元二次不等式的代數(shù)解法：設一元二次不等式相應的方程的兩根為，則；若當時，得或；當時，得.若當時，得；當時，得.分析三：由于不等式的解與相應方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應的函數(shù)值的符號表示出來即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（從小到大排列）分別為-4，1，這兩根將x軸分為三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-+x

4、-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4<x<1.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應方程的根為：-2，1，3；列表如下：-2 1 3x+2-+x-1-+x-3-+各因式積-+-+由上表可知，原不等式的解集為：x|-2<x<1或x>3.小結(jié)：此法叫列表法，解題步驟是：將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式（各項x的符號化“+”），令(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點，一個分界點把（實數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，n

5、個分界點把數(shù)軸分成n+1部分；按各根把實數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應各因式縱向排列（由對應較小根的因式開始依次自上而下排列）；計算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號，下面是乘積的符號；看下面積的符號寫出不等式的解集.練習：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. x|-1<x<0或2<x<3.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解 例2圖 練習圖直接寫出解集：x|-2<x<1或x>3. x|-1<x<0或2<x<3在沒有技術(shù)的情況下：可大致畫出函數(shù)圖星求解，稱之為串根法將不等式化為(x-x1)(x-

6、x2)(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)求根，并在數(shù)軸上表示出來；由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點（為什么？）；若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.注意：奇穿偶不穿例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始），如下圖：原不等式的解集為：x|-1<x<2或2<x<

7、;3.說明：3是三重根，在C處穿三次，2是二重根，在B處穿兩次，結(jié)果相當于沒穿.由此看出，當左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時，n為奇數(shù)時，曲線在x1點處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時，曲線在x1點處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.練習：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相應方程的根為：-2（二重），-1，3；在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.說明：注意不等式若帶“=”號，點畫為實心，解集邊界處應有等號；另外，線雖不穿-2點，但x=-2滿足“=”的條件，不能漏掉. 2分式不等式的解

8、法例4 解不等式：.錯解：去分母得 原不等式的解集是.解法1：化為兩個不等式組來解：x或，原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來解： ，原不等式的解集是說明：若本題帶“=”，即(x-3)(x+7)0，則不等式解集中應注意x-7的條件，解集應是x| -7<x3.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同乘以負數(shù)，不等號方向要變；分母中有未知數(shù)x，不等式兩邊同乘以一個含x的式子，它的正負不知，不等號方向無法確定，無從解起，若討論分母的正負，再解也可以，但太復雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移項，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.例5 解不等式

9、：.解法1：化為不等式組來解較繁.解法2：，原不等式的解集為x| -1<x1或2x<3.練習：1.課本P21練習：3；2.解不等式.答案：1.x|-5<x<8；x|x<-4,或x>-1/2；2.x|-13<x<-5.練習：解不等式：.（答：x|x0或1<x<2）1. 不等式的解集是 2. 不等式的解集是 3. 不等式的解集是 4. 不等式的解集是 5. 不等式的解集是 6. 不等式的解集是 7. 不等式的解集是 8. 不等式的解集是 9. 不等式的解集是 10. 不等式的解集是 11. 不等式的解集是 12. 不等式的解集是 13. 不等式的解集是 14. 不等式的解集是 15. 不等式的解集是