第五章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與守恒量

1、東北師范大學(xué)本科生物理專業(yè)量子力學(xué)課程講稿 Quantum Mechanics for undergraduates第五章 力學(xué)量隨時(shí)間的演化與守恒量§1 力學(xué)量隨時(shí)間的變化在經(jīng)典力學(xué)中，處于一定狀態(tài)下的體系的每一個(gè)力學(xué)量作為時(shí)間的函數(shù)，每一個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)確定值；但是， 在量子力學(xué)中，只有力學(xué)量的平均值才可與實(shí)驗(yàn)相比較，力學(xué)量隨時(shí)間的演化實(shí)質(zhì)是平均值和測(cè)量值的幾率分布隨時(shí)間的演化。一、守衡量力學(xué)量在任意態(tài)上的平均值隨時(shí)間演化的規(guī)律為，其中為體系的哈密頓量。證明 力學(xué)量的平均值表示為，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得1、 守恒量的定義若不顯含， 即， 當(dāng)，那么力學(xué)量稱為守恒量。2、守恒量的性質(zhì)(1)、在任

2、意態(tài)上，守恒量的平均值都不隨時(shí)間變化。(2)、在任意態(tài)上，守恒量的取值幾率分布都不隨時(shí)間變化。證明 由于知，存在正交歸一的共同本征函數(shù)組（是一組完備的量子數(shù)），即 正交歸一化條件對(duì)于體系的任意狀態(tài)可展開為： ， 展開系數(shù)為在體系的任意態(tài)上測(cè)量力學(xué)量時(shí)，得到本征值的幾率為， 而這表明是與時(shí)間無關(guān)的量。因而， 在任意狀態(tài)下測(cè)量守恒量時(shí)， 測(cè)得的幾率分布不隨時(shí)間變化。3、在量子力學(xué)中的守衡量具有的特殊性(1)、量子體系的守恒量不一定取確定值， 但取值幾率分布確定。若體系在時(shí)，處于的本征態(tài)，那么以后任何時(shí)刻它都處于的本征態(tài)，而測(cè)得值為相應(yīng)的本征值。習(xí)慣稱的本征值為體系的“好量子數(shù)”。若當(dāng)時(shí)，體系不處于

3、的本征態(tài)，那么以后任何時(shí)刻它將“保持”不處于的本征態(tài)，但“保持”處于的各本征態(tài)的幾率分布不變。(2)、體系的各個(gè)守恒量不一定都能同時(shí)取確定值。如，雖然都是守恒量，但由于彼此不對(duì)易，故不能同時(shí)取確定值（角動(dòng)量的態(tài)除外）。(3)、在定態(tài)下，一切不顯含時(shí)力學(xué)量平均值和測(cè)量值的幾率分布都不隨時(shí)間變化-定態(tài)的性質(zhì)。(4)、守恒量在任何意態(tài)下的平均值以及測(cè)得值的概率分布都不隨時(shí)間變化-守恒量的性質(zhì)。(5)、在定態(tài)（的本征態(tài)）下，守恒量不一定取確定值。4、能量時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：根據(jù)海森堡測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系知： ， 若取，則有 。對(duì)于不顯含時(shí)的算符，其平均值隨時(shí)間變化為：。 若令，表示在體系中力學(xué)量的平均值變化所需時(shí)間

4、；從而有。這即為能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。顯然，當(dāng)體系處于定態(tài)時(shí)，則，而這時(shí)，即能量有確定值。二、能級(jí)簡(jiǎn)并與守恒量的關(guān)系定理： 若體系具有兩個(gè)互相不對(duì)易的守恒量，那么體系的能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的。證明 設(shè)和為體系不對(duì)易的兩個(gè)守恒量，即 ，但設(shè)為和的共同本征態(tài)，即。又因?yàn)椋?則也是的對(duì)應(yīng)的本征態(tài)，即對(duì)應(yīng)同一能量值有兩個(gè)本征態(tài)和。注意： 能量值是否簡(jiǎn)并取決于和是否是同一個(gè)量子態(tài)？另外， 由于， 這表明和不是同一個(gè)量子態(tài)。因此， 能量是簡(jiǎn)并的。 但對(duì)特殊的能量本征態(tài)，雖然，但仍有，那么對(duì)應(yīng)能級(jí)的簡(jiǎn)并消除。推論1 若體系有一個(gè)守恒量，而體系的某條能級(jí)不簡(jiǎn)并（即對(duì)應(yīng)于某能量本征值只有一個(gè)本征態(tài)），則必為的本征態(tài)

5、。證明：，由于，即也是的本征值為的本征態(tài)。又由已知能量本征值不簡(jiǎn)并，得到， 即為的本征態(tài)。推論2 對(duì)于體系的兩個(gè)守恒量和，若，則體系所有能級(jí)都簡(jiǎn)并，而且簡(jiǎn)并度為無窮大。證明 首先，證明體系所有能級(jí)簡(jiǎn)并。設(shè)，假定能級(jí)不簡(jiǎn)并，則，這與已知相矛盾。所以所有能級(jí)都簡(jiǎn)并。接下來再證明，簡(jiǎn)并度無窮大。設(shè)能級(jí)的簡(jiǎn)并度為，正交歸一化的本征波函數(shù)集記為，則有 另外，當(dāng)取有限值時(shí)，有即，與相矛盾。于是只能取無窮大值。2、 維里定理(Vivial Theorem)設(shè)處于勢(shì)場(chǎng)中的粒子，其哈密頓量為， 粒子的動(dòng)能在定態(tài)上的平均值為，其中 ，而代表勢(shì)能。證明 體系的哈密頓量為：，則有，而 另外， 由于在定態(tài)上的一切不顯含

6、時(shí)的力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化，知 。于是有， 。特例 當(dāng)勢(shì)能為坐標(biāo)的齊次函數(shù)時(shí)，。幾個(gè)常見的特殊情況：(i)、諧振子： , 有(ii)、庫侖勢(shì)： ；有(iii)、勢(shì)，與庫侖勢(shì)相同。§2、波包的運(yùn)動(dòng)和恩費(fèi)斯脫定理（Ehrenfest Theorem）本節(jié)主要研究波包的運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。設(shè)質(zhì)量為的粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其哈密頓量為：。下面我們采用波包來描述粒子的運(yùn)動(dòng)。力學(xué)量算符平均值的變化規(guī)律的方程：。當(dāng)（動(dòng)量）時(shí)，則有；當(dāng)（坐標(biāo)）時(shí)，有- 恩費(fèi)斯脫定理（Ehrenfest Theorem）。物理意義： 體系的坐標(biāo)平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于其速度算符的平均值；而其動(dòng)量算符平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)

7、等于作用力的平均值。這就是通常稱的恩費(fèi)斯脫定理。恩費(fèi)斯脫定理形式相似與經(jīng)典力學(xué)中描述粒子的運(yùn)動(dòng)牛頓方程為：。當(dāng)時(shí)，波包中心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與經(jīng)典粒子相同。采用波包描述粒子的運(yùn)動(dòng)，在物理上要求如下：(i)、波包必須很窄且波包大小與粒子大小相近，才可用波包描述粒子的運(yùn)動(dòng)，(ii)、勢(shì)能在空間變化緩慢，使得波包中心的勢(shì)能與粒子受到的勢(shì)能接近；(iii)、波包擴(kuò)散要很慢。下面以一維波包為例，分析一維波包的運(yùn)動(dòng)情況在波包中心附近，對(duì)作泰勒展開：令 由于得當(dāng)隨變化非常緩慢，并且很小時(shí), ；因此有 。由恩費(fèi)斯脫定理知：，與經(jīng)典牛頓力學(xué)方程：相同。由海森堡最小測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系知：。當(dāng)較小時(shí)，比較大。所以動(dòng)量不確定度很大。

8、而這與經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)相矛盾。所以粒子運(yùn)動(dòng)真正能夠從量子力學(xué)過渡到經(jīng)典力學(xué)， ，從上面可知：決不能無條件地認(rèn)為波包中心運(yùn)動(dòng)就代表經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)，即認(rèn)為。要有下列三個(gè)條件：(1)、位勢(shì)隨空間變化緩慢：，(2)、動(dòng)能很大；(3) 坐標(biāo)的不確定度與體系尺度相當(dāng)。§3、守恒量和對(duì)稱性在量子力學(xué)中，能用薛定諤方程嚴(yán)格求解的物理體系是很少的。 然而，借助對(duì)體系的對(duì)稱性進(jìn)行分析，不必求解薛定諤方程，就能得到一些重要的結(jié)論是常用的一種方法。設(shè)體系的狀態(tài)用歸一化的波函數(shù)描述，其滿足薛定諤方程為考慮某種線性變換算符（表示施加在體系的某種物理變換）在此變換下：對(duì)于不依賴時(shí)間，則這表明是守恒量。由歸一化條件：

9、即是幺正算符。如果體系具有某種時(shí)空對(duì)稱性，則與該時(shí)空變換相聯(lián)系的力學(xué)量守恒。一 、空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒1、 無限小平移變換(1)、無限小平移變換以一維為例：表示將體系沿軸方向作無限小整體平移，則即無限小平移變換算符：，動(dòng)量是與空間平移變換相聯(lián)系的力學(xué)量。 對(duì)于三維空間的無限小平移算符：m 無限小平移變換是么正變換，即。證明：m 對(duì)態(tài)的無限小平移變換：m 對(duì)算符的無限小平移變換： （2）有限平移變換：2、 空間平移對(duì)稱性如果哈密頓量空間平移不變，即；則稱體系具有空間平移對(duì)稱性。體系具有空間平移對(duì)稱性 þ 和遵守相同形式的運(yùn)動(dòng)方程。3、 具有空間平移對(duì)稱性的體系，動(dòng)量守恒。證明：由空

10、間平移不變性知 因各項(xiàng)間彼此是線性獨(dú)立的，則有，即證畢。二、 空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性與角動(dòng)量守恒考慮三維空間中繞任意方向的無限小轉(zhuǎn)動(dòng)：其中（轉(zhuǎn)動(dòng)后的波函數(shù)原坐標(biāo)系中的表現(xiàn)形式）（同一波函數(shù)在兩個(gè)不同坐標(biāo)系）即，這說明角動(dòng)量是與空間轉(zhuǎn)動(dòng)變換相聯(lián)系的力學(xué)量。對(duì)態(tài)繞軸無限小轉(zhuǎn)動(dòng)變換： 對(duì)算符繞軸無限小轉(zhuǎn)動(dòng)變換： 空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性：或；具有空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性的體系，角動(dòng)量守恒。中心力場(chǎng)：，；即中心力場(chǎng)中的粒子角動(dòng)量守恒。三、空間反射對(duì)稱性與宇稱守恒態(tài)的空間反射變換：1、 算符的空間反射變換設(shè)對(duì)態(tài)的作用為 作空間反射變換 另一方面，插入得到算符的空間反射變換：若空間反射不變，則與對(duì)易因?yàn)?、 空間反射對(duì)稱性若哈密頓量

11、空間反射不變，即或；則稱體系具有空間反射對(duì)稱性。當(dāng)體系具有空間反射對(duì)稱性，和遵守相同形式的運(yùn)動(dòng)方程。證明： 如果，則有證畢。3、 具有空間反射對(duì)稱性的體系，宇稱守恒?？臻g反射變換是厄米算符，代表宇稱?？臻g反射對(duì)稱性： ，宇稱是守恒量。四、 時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒將時(shí)間停滯一段的變換： 當(dāng)時(shí)，時(shí)間平移算符為：，即能量是與時(shí)間平移變換相聯(lián)系的力學(xué)量。證明： 薛定諤方程為： 若，則有證畢。時(shí)間平移對(duì)稱性： 當(dāng)，具有時(shí)間平移對(duì)稱性的體系，能量守恒。§4、全同粒子體系，波函數(shù)的交換對(duì)稱性多粒子體系的描寫假設(shè)有個(gè)粒子組成的體系，那么描述體系狀態(tài)的波函數(shù)與所有粒子的坐標(biāo)及時(shí)間有關(guān)：其中“坐標(biāo)”包

12、括粒子的空間坐標(biāo)和自旋量子數(shù)（也許還有其它的“內(nèi)部”量子數(shù)）。體系的Hamiltonian是： 由此即可寫下體系的Schrödinger方程。一、全同性假設(shè)全同粒子(identical particles)：具有完全相同內(nèi)稟性質(zhì)（靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等）的同一類微觀粒子。如電子、質(zhì)子、中子、光子、芥子等。在經(jīng)典力學(xué)中，即使兩個(gè)粒子是全同的，它們也仍然是可區(qū)別的，因?yàn)樗鼈兏髯杂凶约旱能壍?。在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描寫，當(dāng)兩個(gè)粒子的波函數(shù)在空間中發(fā)生重疊的時(shí)候，我們無法區(qū)分哪個(gè)是“第一個(gè)”粒子，哪個(gè)是“第二個(gè)”粒子。于是，在量子理論中有“全同粒子不可區(qū)別性原理”：當(dāng)一個(gè)

13、全同粒子體系中各粒子的波函數(shù)有重疊的時(shí)候，這些全同粒子是不可區(qū)別的。即體系中任意兩個(gè)全同粒子的交換，都不改變體系的狀態(tài)-稱為全同粒子假設(shè)，是量子力學(xué)最基本的假設(shè)之一。全同粒子是不可分辨的表現(xiàn)在不能“標(biāo)記”、“跟蹤”、滿足量子統(tǒng)計(jì)。二、 全同粒子體系的交換對(duì)稱性對(duì)全同粒子體系的波函數(shù)引入交換算符，它的作用是把波函數(shù)中的第個(gè)粒子和第個(gè)粒子的坐標(biāo)交換位置： 那么全同粒子的不可區(qū)別性告訴我們：這樣交換以后的狀態(tài)與原來的狀態(tài)是不可區(qū)別的，所以，按照量子力學(xué)的基本原理，1、 全同性假設(shè)對(duì)波函數(shù)的要求任意交換兩個(gè)全同粒子，體系的波函數(shù)或者不變，或者只改變一個(gè)符號(hào)。證明：算符代表交換第和第個(gè)粒子的變換其中代表

14、粒子的全部坐標(biāo)變量。交換算符¾ 么正的、厄米的。全同性假設(shè)要求： 全同粒子 ¾ 和完全平等。對(duì)同一類粒子不可能出現(xiàn)下面情況 實(shí)驗(yàn)表明：全同粒子體系波函數(shù)的交換對(duì)稱性與粒子的自旋有確定的關(guān)系。(i)、Bose子：自旋為整數(shù)倍的粒子。例如：介子、光子。對(duì)稱波函數(shù)， symmetric wave function滿足Bose¾Einstein統(tǒng)計(jì)(ii)、Fermi子：自旋為半整數(shù)倍的粒子。電子反對(duì)稱波函數(shù)， anti-symmetric wave function滿足FermiDirac 統(tǒng)計(jì)(iii)、復(fù)合粒子：“凍結(jié)”內(nèi)部自由度 ¾ 全同粒子、由Bose

15、子構(gòu)成 ¾ Bose子，、由偶數(shù)個(gè)Fermi子構(gòu)成 ¾ Bose子，如氘（）， 氦核（）； 、堿金屬原子，如，、由奇數(shù)個(gè)Fermi子構(gòu)成 ¾ Fermi子，如氚（）。2、 全同性假設(shè)對(duì)哈密頓量的要求：任意交換兩個(gè)全同粒子，體系的哈密頓量不變，即 或 。證明：為簡(jiǎn)明起見，令薛定格方程：用作用得 因波函數(shù)的交換對(duì)稱性， 則有 即 或 證畢。二、 兩個(gè)全同粒子的體系，泡利原理1、對(duì)于一個(gè)單粒子：其中-單粒子的能量，-單粒子所允許處于的狀態(tài)歸一化波函數(shù)， -代表一組完備的量子數(shù)。2、考慮兩個(gè)獨(dú)立的（無相互作用）的全同粒子 對(duì)于兩個(gè)粒子分別處于狀態(tài)態(tài)和態(tài)時(shí)，其中能量，是“交

16、換簡(jiǎn)并”，系統(tǒng)的波函數(shù)，該波函數(shù)不具有交換對(duì)稱性，不能描述全同粒子體系的狀態(tài)。需要“對(duì)稱化”或“反對(duì)稱化”。(1)、兩個(gè)獨(dú)立Bose子體系的波函數(shù)交換對(duì)稱：（1）當(dāng) 時(shí)， 即在一個(gè)單粒子態(tài)上可以有多個(gè)Bose子。（2）當(dāng) 時(shí)，即在每個(gè)不同的單粒子態(tài)上只有一個(gè)Bose子。(2)、兩個(gè)獨(dú)立Fermi子體系的波函數(shù)交換反對(duì)稱：(i)、當(dāng)時(shí)，不存在這樣的狀態(tài)， 即不允許有兩個(gè)全同的Fermi子處于同一單粒子態(tài) ¾ Pauli 原理（1925，W.Pauli，1945年諾貝爾獎(jiǎng)）。(ii)、當(dāng) 時(shí)， 自學(xué)教材P156-158的例題，理解“交換對(duì)稱性是一個(gè)可以觀測(cè)的效應(yīng)”。三、獨(dú)立Bose子體系

17、的波函數(shù)設(shè)有個(gè)Bose子，其中個(gè)處于態(tài)上，可以為零，滿足且。描述個(gè)獨(dú)立Bose子體系的波函數(shù)： 其中在第一個(gè)等號(hào)中，是指只對(duì)處于不同的單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對(duì)換而構(gòu)成的置換，共有個(gè)； 在第二個(gè)等號(hào)中，表示單粒子態(tài)的行數(shù)。例題一 考慮時(shí)的玻色子體系，設(shè)三個(gè)單粒子態(tài)分別為、和：第一種情況：當(dāng)時(shí)，對(duì)稱態(tài)只有1個(gè)； 即第二種情況：有6個(gè)對(duì)稱態(tài)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，第三種情況：有3個(gè)對(duì)稱態(tài)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)。四、個(gè)全同F(xiàn)ermi子體系的波函數(shù)反對(duì)稱波函數(shù) ¾ Slater行列式： 滿足Pauli原理。例題二 設(shè)由兩個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)，粒子可占據(jù)下列三個(gè)能級(jí)中的任意一個(gè)： 最低能級(jí)為二重

18、簡(jiǎn)并。系統(tǒng)在溫度下處于熱平衡。(1)、對(duì)下列各種情況，求系統(tǒng)的可能組態(tài)的數(shù)目，并給出配分函數(shù)和能量。(i)、粒子服從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，(ii)、粒子服從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)； (iii)、粒子服從波爾茲曼統(tǒng)計(jì)。(2)、討論在什么條件下費(fèi)米子和玻色子可當(dāng)作玻爾茲曼粒子處理。解：(1)、設(shè)的兩個(gè)態(tài)為和，而和分別是對(duì)應(yīng)于能量為和的態(tài)。由統(tǒng)計(jì)物理知道：配分函數(shù)，其中-體系能級(jí)的簡(jiǎn)并度； 而平均能量為：。(i)、粒子服從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)情況下，兩個(gè)全同費(fèi)米子系統(tǒng)可能處于下列中組態(tài)之一：各反對(duì)稱波函數(shù)分別為：、 、 、 配分函數(shù)為平均能量為：(ii)、粒子服從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)情況下，兩個(gè)全同玻色子系統(tǒng)可能處于下列10中組態(tài)之一：各對(duì)稱波函數(shù)分別為：、。配分函數(shù)為平均能量為：(iii)、粒子服從玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)