考研數(shù)學高等數(shù)學強化資料-極限(應用)

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2、元函數(shù)的連續(xù)、可導及可微的判斷與討論 知識點回顧一一元函數(shù)1連續(xù)性1）連續(xù)性的定義a.在一點連續(xù)：函數(shù)在一點連續(xù)：在點的極限值等于函數(shù)值在點的左極限等于右極限并等于函數(shù)值當自變量的該變量無限縮小時，因變量的該變量也無限縮小的圖像在點是“連續(xù)”的，沒有“間斷”b.左（右）連續(xù)函數(shù)在一點左（右）連續(xù)：在點的左（右）極限值等于函數(shù)值c.在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù)在開區(qū)間上每一點都連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)在開區(qū)間上連續(xù)，在處右連續(xù)，在處左連續(xù)2）函數(shù)的間斷點第一類間斷點：左右極限都存在若左右極限相等但不等于函數(shù)值，則稱之為可去間斷點；若左右極限不相等則稱之為跳躍間斷點。第二類間斷點：左右極限至少有一

3、個不存在若左右極限中至少有一個為無窮大量，則稱之為無窮間斷點。3）重要公式、定理a.連續(xù)函數(shù)的性質四則運算：設均在某區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)，都在上連續(xù)復合函數(shù)的連續(xù)性：設均在其定義域上連續(xù)，且有，則是上的連續(xù)函數(shù)。反函數(shù)的連續(xù)性:設是上的連續(xù)函數(shù)，是它的反函數(shù)，則是上的連續(xù)函數(shù)。b.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)：由函數(shù)，經(jīng)過有限次四則運算或是復合運算得到的函數(shù)。初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)都在其定義域內連續(xù)。2導數(shù)與微分1）導數(shù)設函數(shù)在的鄰域內有定義，給自變量在處加上增量，相應的得到因變量的增量。如果極限存在，則稱函數(shù)在處可導，該極限值稱為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或.導數(shù)的定義式還可以寫成2）左（右）導

4、數(shù)函數(shù)在處的左導數(shù)定義為右導數(shù)的定義類似。定理：函數(shù)函數(shù)在處可導的充要條件是在處的左右導數(shù)存在且相等.3）微分設函數(shù)在的某鄰域內有定義，當自變量在處有增量時，如果因變量的增量可以表示為其中為只與有關而與無關的常數(shù)，表示的高階無窮小量，則稱在處可微，并稱為在處的微分，記作或，即。3函數(shù)的漸近線1）垂直漸近線()如果某函數(shù)在處的左右極限中至少有一個等于或，則稱為該函數(shù)的垂直漸近線。2）水平漸近線()如果有或，則稱為函數(shù)的水平漸近線。3）斜漸近線()如果有或，則稱為函數(shù)的斜漸近線。求函數(shù)斜漸近線的方法：）計算； ）再計算二多元函數(shù)1二重極限定義：設二元函數(shù)的定義域為，如果對于任意的，總存在正數(shù)使得當

5、時有，則稱在點的極限為，記作或。2連續(xù)性定義：如果是函數(shù)的定義域的內點，且有成立，則稱函數(shù)在點連續(xù)。反之，不連續(xù)的點稱之為間斷點。3偏導數(shù)設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，把固定在而在處有增量，相應的函數(shù)有增量，而如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對變量的偏導數(shù)，記作。類似地，可以定義函數(shù)在點處對變量的偏導數(shù)，記作。4全微分定義：如果函數(shù)在點的全增量可表示為，其中，僅依賴于而與，無關，則稱函數(shù)在點可微，而稱為函數(shù)在點的全微分，記作，即。5可微、可導與連續(xù)定理：如果函數(shù)在點可微，則函數(shù)在該點連續(xù)且兩個偏導數(shù)均存在，并且。注：在一元函數(shù)中，可微與可導是等價的，且可導必連續(xù)。在二元函數(shù)中，可導（偏導數(shù)

6、存在）不一定連續(xù)，也不一定可微。但由上述定理可知：可微一定連續(xù)，可導。關于可導與可微的關系，我們還有如下定理：定理：如果函數(shù)的偏導數(shù)在點連續(xù)，則函數(shù)在該點可微。這四個概念的關系可以形象地用如下的韋恩圖來表示 考點精講一連續(xù)、間斷點以及間斷點的分類【例1】：設函數(shù)問為何值時，在處連續(xù)；為何值時，是的可去間斷點？答案：時在處連續(xù)；時是的可去間斷點【例2】：函數(shù)在上的第一類間斷點是（ ）（A）0 （B）1 （C）（D）答案：【例3】：函數(shù)的無窮間斷點數(shù)為(A) 0. (B)1. (C) 2. (D) 3. 答案：【例4】：求函數(shù)=的表達式，并指出函數(shù)的間斷點及其類型答案：，是的可去間斷點；是的無窮間

7、斷點【例5】：求函數(shù)在區(qū)間內的間斷點，并判斷其類型.答案：間斷點為，為無窮間斷點；，為可去間斷點【例6】：求函數(shù)所有的間斷點，并判斷其類型.答案：，振蕩間斷點；，無窮間斷點；，跳躍間斷點二可導與可微1對導數(shù)定義式的直接考查【例7】：設是連續(xù)的并且，令，試討論在處的可導性。答案：在處不可導【例8】：設，其中具有連續(xù)的導數(shù)，并且。（1）試確定的值，使連續(xù)；（2）計算并討論的連續(xù)性。答案：（1）；（2），連續(xù)【例9】：設是連續(xù)的并且，令，試證明在處可導。小結：分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)或可導性，一律通過導數(shù)的定義直接計算或檢驗。【例10】：定義在實數(shù)集上，且對任意的恒有，其中。證明：處處可導。2導數(shù)的

8、定義與極限的計算【例11】：已知在處連續(xù)，求在處的切線方程。答案：【例12】：已知在處可導，求及。答案：【例13】：可微函數(shù)滿足：，則答案：【例14】：已知二階可導，求。答案：【例15】：已知，求。答案：小結：求極限時，往往會用到推廣之后的導數(shù)定義式：【例16】：已知可導，求下列極限。（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）小結：上述各題的形式可以總結為，其中，當已知函數(shù)在處可導時，有。3函數(shù)可導的充要條件【例17】：已知，則下列說法中與函數(shù)在點處可導等價的是（）A.極限存在 B.極限存在C.極限存在 D.極限存在答案：小結：存在的定義是極限，該定義式可以推廣到如下形式：存在，其中與為同階無

9、窮小，這里需要注意如下兩點：首先不能有確定的符號，必須是而不能是或；與不等價時，極限不等于導數(shù)的值，但這里我們只關心導數(shù)的存在性，所以只要求與同階即可?！纠?8】：存在等價于下列哪些極限存在（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）（4）（6）三漸近線【例19】：曲線的斜漸近線方程為.答案：【例20】：曲線的漸近線有（）（A） 1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條答案：求函數(shù)斜漸近線的方法：）.計算； ）.再計算【例21】：求下列曲線所有的漸近線（1）（2）（3）答案：（1）與為斜漸近線（2）為垂直漸近線；為斜漸近線（3）為垂直漸近線；為水平漸近線；為斜漸近線四多元函數(shù)微分學的概念1

10、二重極限的討論【例22】：討論下列二重極限是否存在，如果存在，求出極限值（1） （ （2）（3） （4）（5）答案：（1）（2）不存在（3）（4）（5）不存在小結：1、二重極限的計算難度較大，多考察證明極限不存在。由于二元函數(shù)的極限要求自變量以任何方式趨近于給定的點都有相同的極限，因此，如果能找到兩條不同的路徑的極限不一樣，就可以說明二重極限不存在。2、計算二重極限一般會用到一元函數(shù)極限的一些結論如等價無窮小，夾逼原理等。其中夾逼原理是最常用的方法，通常用在證明極限為零時：對函數(shù)取絕對值再放縮，如果能證明，則由夾逼原理可得。2連續(xù)、可導、可微【例23】：二元函數(shù)在點處（）(A).連續(xù)，偏導數(shù)存

11、在 (B).連續(xù)，偏導數(shù)不存在(C).不連續(xù)，偏導數(shù)存在 (D).不連續(xù)，偏導數(shù)不存在答案：【例24】：設則（）(A).存在，不存在 (B).不存在，存在(C).，都不存在 (D).，都存在答案：【例25】：討論下列函數(shù)在點的連續(xù)性，可導性，與可微性。（1）（2）（3）答案：（1）連續(xù)，可偏導，可微；（2）不連續(xù)，可偏導，不可微；（3）連續(xù)，可偏導，不可微小結：1、偏導數(shù)的討論和計算最基本的原則是對一個變量求導時，另一個變量就視為常數(shù)，因此偏導數(shù)的存在性實際上就是固定了一個變量之后所得的一元函數(shù)的可導性。具體來說，就是指極限式或存在。2、判斷函數(shù)在某一點是否可微的方法：首先計算函數(shù)在該點的兩個偏導數(shù)。如果二者有一個不存在，則不可微。如果兩個偏導數(shù)都存在，則計算極限，如果該極限不存在或不等于0則不可微，如果該極限等于0則可微?！纠?6】：二元函數(shù)在處可微的充分條件是 ( )(A)在處連續(xù).(B)在的某鄰域存在.(C)當時,是無窮小量.(D)當時,是無窮小量.