西南大學(xué)2016年春高等幾何5次作業(yè)

1、西南大學(xué)2016年春高等幾何1 寫出下列點(diǎn)的齊次坐標(biāo)（1）（2,0），（0，2），（1，5）;（2）2x+4y+1=0的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).2 求下列直線的齊次線坐標(biāo)（1）x軸 （2）無(wú)窮遠(yuǎn)直線 （3）x+4y+1=0.3 求下列各線坐標(biāo)所表示直線的方程： （1）0,-1,0 (2) 0,1,14 求聯(lián)接點(diǎn)（1,2,1）與二直線2,1,3，1，1，0之交點(diǎn)的直線方程.5 經(jīng)過(guò)A(-3，2)和B(6，1)兩點(diǎn)的直線被直線x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡(jiǎn)比(ABP).6 經(jīng)過(guò)A(-3，2，2)，B(3，1，-1)兩點(diǎn)的直線的線坐標(biāo).7 求直線1,1,2與二點(diǎn)3，4，1,5,3,1之聯(lián)線的交點(diǎn)坐標(biāo).答案：1解:

2、(1)(2,0,1) ,(0,2,1),(1,5,1); (2) (2,-1,0).2解:(1)0,1,0   (2)0,0,1    (3)1,4,13解:(1) (2)4解: 二直線2,1,3，1，1，0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3,-3),故兩點(diǎn)（1,2,1）, (3,3,-3)聯(lián)線的方程為,即.5解: 設(shè)=，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，），因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x3y60上，所以有+3（）6=0 ,有,.6 解: 經(jīng)過(guò)A(-3，2，2)，B(3，1，-1)兩點(diǎn)的直線方程是 ,即.故線坐標(biāo)為4,-3,9.7 解: 二點(diǎn)（3，4，1）,(5,3,1)聯(lián)線的方程是,

3、即，該直線的線坐標(biāo)為1,-8,-29.直線1,-8,-29.與直線1,1,2的交點(diǎn)為(13,31,9).1已知共線四點(diǎn)A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，則(CA，BD)=_2試證四直線2xy+1=0,3x+y2=0, 7xy=0,5x1=0共點(diǎn)，并順這次序求其交比。3、設(shè)共線四點(diǎn)，求4 設(shè)兩點(diǎn)列同底,求一射影對(duì)應(yīng)0,1,分別變?yōu)?,0.5 求射影變換的自對(duì)應(yīng)元素6一直線上點(diǎn)的射影變換是x=，則其不變點(diǎn)是7 證明一線段中點(diǎn)是這直線上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的調(diào)和共軛點(diǎn).答案：1 解: -1 2 解: 四直線2xy+1=0,3x+y2=0, 7xy=0,5x1=0的線坐標(biāo)為2,-1,1,3,1,-2,7,-

4、1,0,5,0,-1.由于, .所以四直線共點(diǎn).由于, , 故 , ,所求交比.3 解:因?yàn)? ,所以,所求交比.4 解:設(shè)第四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn),由于射影對(duì)應(yīng)保留交比,所以,得到,因此.5 解: 射影變換的自對(duì)應(yīng)元素參數(shù)滿足方程,解得.6 解: 射影變換x=的不變?cè)貪M足=,解得,或.7 證明:設(shè)C為線段AB的中點(diǎn),為線段AB上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),則,命題得證.1舉例我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的變換群 2下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？2解: 是仿射的 是歐氏的.非平行線段的相等； 不垂直的直線；四邊形； 梯形；菱形； 平行移動(dòng)；關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱； 關(guān)于直線的對(duì)稱；繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)； 面積的相等。3從原點(diǎn)向圓（x2）2+(y

5、2)2=1作切線t1,t2。試求x軸，y軸，t1,t2順這次序的交比。4若有兩個(gè)坐標(biāo)系，同以A1A2A3為坐標(biāo)三角形，但單位點(diǎn)不同，那么兩種坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換式為何？5在二維射影坐標(biāo)系下，求直線A1E，A2E，A3E的方程和坐標(biāo)。6設(shè)點(diǎn)A（3，1，2），B（3，-1，0）的聯(lián)線與圓x2+y25x7y6=0相交于兩點(diǎn)C和D，求交點(diǎn)C，D及交比（AB，CD）。答案：1解: 射影變換群，仿射變換群, 歐氏變換群.2解: 是仿射的 是歐氏的.3 解:設(shè)直線y=kx與圓相切,則,兩邊平方得到,因此的方程為,的方程為,故.4 解:設(shè)兩坐標(biāo)系單位點(diǎn)分別為,由, (i=1,2,3)由上兩式得到即 其中, ,。5 解

6、:由于,故直線的方程直線的方程直線的方程.線坐標(biāo)分別為0,1,-1,1,0,-1,1,-1,0.6 解:圓的齊次方程為,設(shè)直線上任一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是,若此點(diǎn)在已知圓上,則,化簡(jiǎn)得，所以,于是得到交點(diǎn)的坐標(biāo),且1寫出下列的對(duì)偶命題（1） 三點(diǎn)共線（2） 射影平面上至少有四個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線2 已知是共線不同點(diǎn)，如果3證明巴卜斯定理：設(shè)A1,B1,C1三點(diǎn)在一直線上,A2,B2,C2三點(diǎn)在另一直線上,B1C2與B2C1的交點(diǎn)為L(zhǎng),C1A2與C2A1的交點(diǎn)為M,A1B2與A2B1的交點(diǎn)為N,證明:L,M,N三點(diǎn)共線.4求二次曲線xy+x+y=0的漸近線方程.5 . 求通過(guò)兩直線交點(diǎn)且屬于二級(jí)曲線

7、的直線6 求點(diǎn)（5，1，7）關(guān)于二階曲線的極線答案：1 解：(1) 三線共點(diǎn) (2) 射影平面上至少有四條直線,其中任何三線不共點(diǎn).2 解: 由得到,又因?yàn)?-2.3 證明: 設(shè),那么 從而 .這兩個(gè)射影點(diǎn)列的公共點(diǎn)自對(duì)應(yīng),所以是透視點(diǎn)列. 因此應(yīng)交于一點(diǎn),即三點(diǎn)L,M,N三點(diǎn)共線.4 解: 二次曲線xy+x+y=0的中心坐標(biāo)為(-1,1),故二次曲線的漸進(jìn)線的方程可設(shè) 由于， 故 其中 ，所以漸進(jìn)線方程為 , 5 解:設(shè)通過(guò)兩直線 交點(diǎn)的線坐標(biāo)為 ,若此直線屬于二級(jí)曲線 ,則有 ，解得，。所求直線的坐標(biāo)為1,2,2和-1,-14,10。6 解: 二階曲線的矩陣是，所以點(diǎn)（5，1，7）關(guān)于二階

8、曲線的方程為（5,1,7）=0，即。1 求（1）二階曲線的切線方程 （2）二級(jí)曲線在直線L1，4，1 上的切點(diǎn)方程2(1)求二次曲線 x2+3xy-4y2+2x10y=0的中心與漸近線。(2)求二階曲線的過(guò)點(diǎn)的直徑及其共軛直徑.3已知二階曲線（C）：（1） 求點(diǎn)關(guān)于曲線的極線（2） 求直線關(guān)于曲線的極點(diǎn)4證明雙曲線：的兩條以，'為斜率的直徑成為共軛的條件是'=5 求射影變換的不變?cè)?求射影變換的固定元素。答案：1 解: (1)易驗(yàn)證點(diǎn)P在二階曲線上,故過(guò)點(diǎn)P的切線方程是,即.(2) 類似地可驗(yàn)證直線L在二級(jí)曲線上,故直線L1,4,1上的切點(diǎn)方程是,即.2 解(1) 二次曲線

9、x2+3xy-4y2+2x10y=0的矩陣是,=, ,.故中心坐標(biāo)是(,)設(shè)漸進(jìn)線方程,即，其中,故漸進(jìn)線方程是或(2) 二階曲線的矩陣是，易求出中心坐標(biāo)(-3,1,1)，由于直徑過(guò)中心,故過(guò)點(diǎn)的直徑方程是,該直徑上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0,0)，所以共軛直徑的方程是=0即3 解：(1) 二階曲線的矩陣是點(diǎn)關(guān)于曲線的極線方程是(1,2,1) =0,即(2)設(shè)直線關(guān)于曲線的極點(diǎn)為(a,b,c),則有=，解得a=2,b=-30,c=37.所求極點(diǎn)是(2,-30,37)4 解：解方程組得說(shuō)明無(wú)窮遠(yuǎn)直線與雙曲線的交點(diǎn)滿足此方程,即()()=0,雙曲線上的兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)分布在=0和=0上，故=0和=0為漸進(jìn)線，兩直線的斜率是，'為一對(duì)共軛直徑的斜率,所以,整理得到=0,因?yàn)?-，所以=.5解：射影變換的特征方程是=0,即.把代人方程組,解得