考研數(shù)學一筆記

1、知識無涯須勤學，青春有限貴惜陰。高等數(shù)學常用公式等比數(shù)列 等差數(shù)列 極限一、 對于和式 進行適當放縮有兩種典型的方法當n為無窮大時，則 numinu1+u2+unnumax當n為有限項，且ui0時，則 umaxu1+u2+unnumax二、 常用極限： 三、 常見等價無窮小代換總結(jié)常見等價無窮小代換總結(jié)x0時 sinxxx-sinx16x3 arcsinx=x+16x3+arcsinxxarcsinx-x16x3 tanx=x+13x3+tanxxtanx-x13x3 arctanx=x-13x3+arctanxxx-arctanx13x3ln1+xxx-ln1+x12x2ln1-x-xex-

2、1x1-cosx12x29.1+x=1+x+-12!+ 1+x-1x10.ax-1=exlna-1四、 7種未定型（注意正真的0和1與極限為0和1 的區(qū)別）設limfx=A，limgx=B AB A,B均為數(shù)且A>0 0 A為0，B為+ + A為0，B為- 0 A為，B為0 1 A為1，B為 00 A為0，B為0 AB A,B均為數(shù)0 A為數(shù)，B為 A為，B為數(shù) 00 A為0，B為0 A為，B為limfxg(x)=limfxg(x)= AB A為數(shù)B為數(shù) A，B中一個為數(shù)，另一個為 0 A，B中一個為0，另一個為limfxgx = A-B A，B均為數(shù) A，B一個為數(shù)，另一個為 A，B為

3、異號- ，為同號 limfx-gx=五、 求漸近線的步驟先求垂直漸近線：求水平漸近線：求斜漸近線：（時才需求斜漸近線，因為水平漸近線和斜漸近線不同時存在）六、 極值點的來源：不可導點：駐點七、 需要考慮左右極限的情況式子中含有式子中含有不存在式子中含偶次方根式子中含有取整符號含有分段函數(shù)導數(shù)判定fx在處是否可導利用導數(shù)的定義求極限（羅比達法則的替補）導數(shù)的應用分段函數(shù)的分段點；抽象函數(shù)：不滿足求導法則；求導函數(shù)太復雜。求導數(shù)分子一動一靜分母有左有右上下同階或低階可導條件1.公式法2.歸納法3.萊布尼茲公式求高階導數(shù)寫出Taylor展開式將f(x)間接展開利用對應系數(shù)相等步驟4.利用Taylor

4、公式中值定理涉及的中值定理，即連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域a,b上的性質(zhì)設在a,b上連續(xù)，則定理一（有界性）：定理二（最值定理）：，其中m，M分別是在a，b上的最小值與最大值。定理三（介值定理）：當時，其中m，M分別是在a，b上的最小值與最大值，使得定理四（零點定理）：當時，使得涉及導數(shù)的中值定理定理五（費馬引理）：設在x0的某領域U(x0)內(nèi)有定義，且在x0處可導如果對任意的xU(x0)有（或），那么。補充一（導數(shù)零點定理）設在a,b內(nèi)可導，且，則,使得定理六（羅爾定理）：如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù), 在開區(qū)間內(nèi)可導, 且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即, 那末在內(nèi)至少有一點,使得函數(shù)在該點的導數(shù)等于零，即

5、。該定理的逆否命題：若在(a,b)內(nèi)沒有實根，即，則fx=0在a,b上至多只有一個實根。推廣：若在(a,b)上沒有實根，即，則fx=0在a,b上至多只有n個實根。定理七（拉格朗日中值定理）：如果函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù), 在開區(qū)間內(nèi)可導 那么在內(nèi)至少有一點，使等式 成立。定理八（柯西中值定理）：如果函數(shù)及在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,且在內(nèi)每一點處均不為零，那末在內(nèi)至少有一點,使等式 成立。定理九（Taylor公式）：如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到n+1階的導數(shù)，則對任意，有 這里的是介于x0與之間的某個值。 注：Taylor公式常用于處理含二階及二階以上導函數(shù)代數(shù)式的問題，證明的一般思路

6、如下： 將在x0處展開成比高階導數(shù)低一階的Taylor展開式 關鍵在于如何確定與，一般把題目中已知某點的函數(shù)及各階導數(shù)值設為區(qū)間端點為，閉區(qū)間的中點有時也會用到 對得到的式子進行適當運算。涉及積分的中值定理定理十（積分中值定理）設在a,b上連續(xù)則在a,b上至少存在一點使得 推廣一：設在a,b上連續(xù)則使得 推廣二（第二積分中值定理）：設與在a,b上連續(xù)，且在a,b不變號，則，使得逐項還原組合還原 同乘因子求解微分方程1） f'+f=0 exf'x+exfx=exf(x)'2)f+f'=0 x-1fx+xf'x=xf(x)'同乘以ex1.構(gòu)造輔助函數(shù)

7、兩個模型同乘以x-1羅爾定理考點2.找端點值使得fa=f(b)經(jīng)典不等式總結(jié)三角不等式：設為實數(shù)則 推廣：離散情況：設為實數(shù)，則連續(xù)情況：設在可積，則均值不等式，推廣：設是正整數(shù)，則楊氏不等式：設，則柯西不等式：施瓦茨不等式：若在可積，且平方可積，則其他不等式 若，則 積分1. 有理函數(shù)積分設有真分式Rx=P(x)Q(x)，Q(x)已被因式分解，若分母中有一個一因子(x-a)n，則分解式對應項為：A1x-a+A2x-a2+Anx-an若分母中有一個因子x2+px+qn，(p2-4q<0)，則分解式對應項為：A1x+B1x2+px+q+A2x+B2(x2+px+q)2+Anx+Bn(x2+

8、px+q)nex: ax2+bx+cx3(x-1)2=A1x+A2x2+A3x3+B1x-1+B2(x-1)2求積分的方法公式法分項積分法第一類換元第二類換元分部積分法萬能代換區(qū)間再現(xiàn)萬能代換：令tanx2=t，則sinx=2sinx2cosx2=2tanx2sec2x2=2t1+t2cosx=cos2x2-sin2x2=1-tan2x2sec2x2=1-t1+t區(qū)間再現(xiàn)：在計算很多定積分和某些定積分證明時，有時需要互換積分限。常見互換積分限為：t=-x，x-a,at=-x，x0,t=2-x，x0,22. 比較廣義積分的斂散性比較判別法的極限形式設函數(shù)fx及g(x)都是在區(qū)間a,+)非負連續(xù)函

9、數(shù)，若，則當0<l<+時，afxdx和agxdx同時收斂或同時發(fā)散；當l=0時，agxdx若收斂，則afxdx也收斂；當l=時，若agxdx發(fā)散，則afxdx也發(fā)散。設函數(shù)fx及g(x)都是在區(qū)(a,b非負連續(xù)函數(shù)， ，則0<l<+時abfxdx和abgxdx同時收斂或同時發(fā)散。多元函數(shù)求具體點的偏導數(shù)幾何意義求偏導數(shù)zx高階偏導數(shù)偏積分偏導數(shù)考點微分 z=fxdx+fydy+o，=x2+y2z-fxdx-fydyx2+y2=0 fx,y在0,0點可微fx,y在可微偏導個數(shù)=自變量個數(shù)項數(shù)=中間變量個數(shù)分線相加，連線相減zx，zy仍然是x,y的函數(shù)抽象復合函數(shù)可以用1,

10、23表示偏導數(shù)的結(jié)構(gòu)微分方程二階線性微分方程特解的求法令，則；，則于是令，則有如下重要性質(zhì)（注：表示微分，表示積分） 當時， 當時， 當時， 其中為1除以按升冪排列所得商式，其的最高次數(shù)為右邊多項式的最高次數(shù)。1除以的運算如下1其中一階線性微分方程組的解法齊次微分方程組解題程序：引入微分算子則令 ，則滿足求解（或）； 將求出的代入方程中的第一個方程，求出(或第二個方程求出）注：求出其中一個解，再求另一個解時，宜用代數(shù)法，不要用積分法。非齊次微分方程組的解法方程的通解=對應的齊次方程的通解+非齊次方程的一個特解。y一個重要關系ox其中表示極徑與點切線間的夾角。概率論常用知識分組有序分組個元素分成

11、共組，其個數(shù)分別為 ，則分組方法的總數(shù)為無序分組個元素分成個組，其中各組的元素為，各組的元素為個，各組的元素為個，則分組方法的總數(shù)為函數(shù)定義性質(zhì) ， 為正整數(shù)時： 參數(shù)的置信區(qū)間已知，置信區(qū)間為未知，置信區(qū)間為參數(shù)的置信區(qū)間（未知），置信區(qū)間為微積分常用公式a3-b3=a-b(a2+ab+b2)an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1 , nZ+sin+sin=2sincos sin-sin=2cossincos+cos=2coscoscos-cos=2sinsin17導數(shù)部分C'=0x'=x-1sinx'=cosxcosx'=

12、-sinxtanx'=sec2x(cotx)'=-csc2xsecx'=secxtanxcscx'=-cscxcotxax'=axlna ex'=ex(logax)'=1xlogae lnx'=1xarcsinx'=11-x2arccosx'=-11-x2arctanx'=11+x2arccotx'=-11+x2積分部分kdx=kx+C1xdx=lnx+Cxdx=x+1+1+C11+x2dx=arctanx+C11-x2dx=arcsinx+Csinxdx=-cosx+Ccosxdx=sinx+C1cos2xdx=sec2xdx=tanx+C91sin2xdx=csc2dx=-cotx+Caxdx=axlna+Csecxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=-cscx+Cexdx=ex+Ctanxdx=-ln|cosx|+C cotxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tanx+Ccscxdx=lncscx-cotx+Cdxa2+x2=1aarctanxa+C1x2-a2dx=12aln|x-ax+a|+C1a2-x2dx=arcsinxa+C21.1x2±a2dx=ln|x+x2±a2