利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

1、利用與數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(求導(dǎo)求出極值，畫出函數(shù)的草圖分析)1.已知曲線c: y1 2-x 2x 1 ,直線 l : y a2(1)若直線l與曲線c有唯個(gè)交點(diǎn)，求 a的取值范圍；(a若直線l與曲線c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍；(a7t 一或a 37t a313一)613一)6(3)若直線l與曲線c有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍.(13解：令yx 2 (x 1)(x2)0 得 x11,或 x227 (-1,o)2時(shí),y' 0；當(dāng) xx 2 時(shí)，y' 0.所以g(x)在(1,2)為減函數(shù)，在(1), (2,)為增函數(shù).當(dāng)x 1時(shí)，取得極大值ymax ；當(dāng)x 2時(shí),6取得極大值

2、ymin3 ；713(1)當(dāng)a 或a 一時(shí)，直線l與曲線c有唯個(gè)交點(diǎn)；36.713(2)當(dāng)a 或a 時(shí)，直線l與曲線c有兩個(gè)不同的交點(diǎn); 36,713(3)當(dāng) 一a 時(shí)，直線l與曲線c有三個(gè)不同的交點(diǎn). 36f(x) = 3/3 :?(2 2?( + 13.2.已知函數(shù) f(x) x 3ax 1, a 1(1)函數(shù)y f x的單調(diào)區(qū)間;(2)若f (x)在x 1處取得極值，直線 y m與y f (x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求 m的取值范圍(-3,1)解：(1)f' (x)=3x2-3a=3(x2-a),當(dāng) a<0 時(shí),對(duì) xc r,有 f' (x)>0,當(dāng)a<

3、;0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一8,+8).當(dāng)a>0時(shí)，由f 由f' (x)<0,解得一g<x<g, .當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (8,一金)，(/，+°°),單調(diào)減區(qū)間為(一,，出).(2) -.f(x)在 x=1 處取得極值，. f (-1)=3x(-1)2-3a=0, ,-.a= 1.f(x)=x3-3x- 1, f' (x)= 3x2-3,由 f' (x) = 0 ,解得 x1 = 1 , x2= 1.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x=- 1處取得極大值f( 1) = 1,在x=1處取得極

4、小值 f(1) = 3；直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合如圖所示f(x)的圖象可知：實(shí)數(shù) m的取值范圍是(一3,1).3.已知函數(shù)f(x)1 3-x31 2一 ax22x (a r).(1)當(dāng)a 3時(shí)，求函數(shù)y f的單調(diào)區(qū)間;1 一，一，(2)若過點(diǎn)(0, §)可作函數(shù)yx圖像的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(a 2)解：(1)當(dāng) a = 3 時(shí)，函數(shù) f(x)=-1x3+-2x,得 f'(x)=x2+3x 2 = - (x-1)(x-2). 32f'(x)v0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng)1vxv2時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)f

5、(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xv 1或x>2時(shí),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 1)和(2, +oo).,.1 3 a 2(2)設(shè)點(diǎn)p(t, t t 2t)是函數(shù)y=f(x)圖象上的切點(diǎn)，則過點(diǎn)p的切線的斜率k=f'(t)=t2+at 2,32所以過點(diǎn)p的切線方程為y+1t3 -t2 2t=(-t2+at-2)(x-t),32,1,、， 一 11 3 a 222 3 12 1因?yàn)辄c(diǎn)(0,-)在該切線上，所以t3 -t2 2t =( t2+at2)(0 t),即一t3 -at2 0.33 323231211若過點(diǎn)(0,-)可作函數(shù)y= f(x)圖象的三條不

6、同切線，則函數(shù) g(t)=-t3 -at2 一有三個(gè)不同的零點(diǎn).3323即函數(shù)y=g(t)的圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).令g'(t)=2t2 at=0,解得t=0或t=821a因?yàn)?g(0)=- >0, g(-) 32131a 131ra所以必須 g(l)a 0,即 a>2.2432243所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2, +oo).則稱x0為函數(shù)y f(x)的極值點(diǎn)，已知a,b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x) x32ax bx的兩個(gè)極值點(diǎn)4.(2012江蘇)若函數(shù)y f (x)在x x0處取得極大值或極小值,(1)求 a和 b 的值；(a 0,b3)(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)

7、函數(shù)g'(x)f (x) 2,求g(x)的極值點(diǎn)；(-2是1不是)(3)設(shè)h(x) f(f(x) c,其中c 2,2,求函數(shù)y h(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(當(dāng)c 2時(shí)，函數(shù)y h(x)有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 2 c 2時(shí)，函數(shù)y h(x)有9個(gè)零點(diǎn))解：(1)由題設(shè)知 f' (x)=3x2+2ax+b,且 f' (- 1)=3-2a+b=0, f' (1) = 3+2a+b = 0, 解得 a= 0, b= - 3.(2)由(1)知 f(x) = x33x.因?yàn)?f(x)+2=(x 1)2(x+2),所以g' (x)=0的根為x1 = x2=1, x3= 2,于是函數(shù)

8、g(x)的極值點(diǎn)只可能是1或一2.當(dāng) x< 2 時(shí)，g' (x)<0;當(dāng)一2<x<1 時(shí)，g' (x)>0,故一2 是 g(x)的極值點(diǎn).當(dāng)一2<x<1或x>1時(shí)，g' (x)>0 ,故1不是g(x)的極值點(diǎn).所以g(x)的極值點(diǎn)為一2.(3)令f(x) = t,則h(x) = f(t)c.先討論關(guān)于x的方程f(x)=d根的情況，dc 2,2.當(dāng)|d|=2時(shí)，由(2)可知，f(x)=2的兩個(gè)不同的根為1和一2,注意到f(x)是奇函數(shù)，所以f(x) = 2的兩個(gè)不同的根為一1和2.當(dāng)|d|<2 時(shí)，因?yàn)?f(-1

9、)-d=f(2)-d=2-d>0, f(1)d = f(2) d= 2 d<0 ,所以一2, 1,1,2 都不是 f(x) = d 的根.由(1)知 f' (x)=3(x+ 1)(x-1).當(dāng)xc (2, +8)時(shí)，f，(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù)，從而 f(x)>f(2) = 2,此時(shí)可刈=無實(shí)根.同理，f(x)=d在(8, 2)上無實(shí)根.當(dāng)x”2)時(shí),f' (x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù).又 f(1)-d<0, f(2)-d>0, y = f(x)d的圖象不間斷， 所以f(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.同理，f(x

10、) = d在(一2, 1)內(nèi)有唯一實(shí)根.當(dāng)xc(1,1)時(shí)，f (x)<0,故f(x)是單調(diào)減函數(shù).又 f(-1)-d>0, f(1)-d<0, y = f(x)d的圖象不間 斷，所以f(x) = d在( 1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.由上可知：當(dāng)|d|=2時(shí)，f(x) = d有兩個(gè)不同的根 x1, x2滿足|x1|= 1, |x2|= 2;當(dāng)d|<2時(shí)，出*) = 有三個(gè)不 同的根x3, x4, x5滿足|xi|<2, i = 3,4,5.現(xiàn)考慮函數(shù)y= h(x)的零點(diǎn).當(dāng) |c|=2 時(shí)，f(t)=c有兩個(gè)根 t1, t2 滿足 |t1|=1, |t2|=2,而f(x

11、)=t1有三個(gè)不同的根，f(x)=t2有兩個(gè)不同的根，故y= h(x)有5個(gè)零點(diǎn).(ii)當(dāng)冏<2時(shí),f(t)=c有三個(gè)不同的根t3, t4, t5滿足|ti|<2, i = 3,4,5,而f(x)= ti(i= 3,4,5)有三個(gè)不同的根，故y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)|c|=2時(shí)，函數(shù)y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)|c|<2時(shí)，函數(shù)y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn). _1 3 1 a 2_._5.已知函數(shù) f(x) -x x ax a, x r,其中 a 0.32(1)求函數(shù)y f x的單調(diào)區(qū)間；1(2)若函數(shù)y f x在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.(

12、0 a -)3解析：(1)f'(x) =x2+(1 a)xa= (x+ 1)(x- a).由 f'(x)=0,得 x1 = 1, x2= a>0.當(dāng)x變化時(shí)，f'(x), f(x)的變化如下表:x(oo, 1)1(-1, a)a(a, +0°)f'(x)十0一0十f(x)z極大值極小值z(mì)故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8, 1), (a, 十°°)；單調(diào)遞減區(qū)間是(一1, a).(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2, 1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(一1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩f( 2) 0人工 ，1

13、一1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)且僅當(dāng) f( 1) 0 解得0<a<-.所以，a的取值范圍是(0,-)33f(0) 06.已知函數(shù)f(x) x2 aln x在(1,2是增函數(shù)，g(x) x ajx在(0,1)為減函數(shù)(1)求函數(shù)f x、g x的解析式；(求得a 2)(2)求證：當(dāng)x 0時(shí)，方程f(x) g(x) 2有唯一解.解：(1)f' (x)=2x a,依題意 f' (x)>0, xc (1,2,即 aw2x2, xc(1,2.x又g;上式恒成立，a<2xc (0,1),(x)= 1尸,依題意 g' (x) w 0,2 , x即 a>2qx, xc (0

14、,1).丁上式恒成立，a>2.由得 a= 2. ,. f(x)= x2- 2ln x, g(x) = x 2聲.(2)證明由(1)可知，方程 f(x)=g(x) + 2,即 x22ln x-x+2-2=0.設(shè) h(x)=x22ln xx+ 24一2,則 h' (x) = 2x x1+$當(dāng) h' (x)=0 時(shí)，(浜一1)(2xx+ 2x +4x+ 2) = 0,解得 x= 1.令 h' (x)>0 ,并由 x>0, 解得x>1.令h' (x)<0,由x>0 ,解得0vx<1.列表分析:x(0,1)1(1 , 十00)h&

15、#39; (x)一0十h(x)遞減極小值遞增可知h(x)在x=1處有一個(gè)最小值 0,當(dāng)x>0且xw1時(shí)，h(x)>0, h(x)= 0在(0, + 8 )上只有一個(gè)解.即當(dāng)x>0時(shí)，方程f(x)=g(x)+2有唯一解.27 .已知函數(shù) f(x) ax (a r) , g(x) 2ln x(1)討論函數(shù)f (x) f x g(x)的單調(diào)性;(2)若方程f(x) g(x)在區(qū)間j2,e上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(代工a -)2 e2 2 ax2 1解：(1)f(x)=ax221n x,其定義域?yàn)?0, ),f' (x) = 2ax- = (x>0).

16、x x當(dāng)a>0時(shí)，由ax21>0,得x>士 由 ax2 1<0,得 0<x<-. ,a. a故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為16+ 8 ,遞減區(qū)間為當(dāng)aw。時(shí)，l (x)<0 (x>0)恒成立.故當(dāng)aw。時(shí)，f(x)在(0, + 8)上單調(diào)遞減.(2)a<1 2 e一一一 x 28 .已知函數(shù)f(x) ke x (其中k r , e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若k 2,判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性;x2),求k的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2 (x)在(2)的條件下，試證明：0 f(x) 1.解：(1)

17、當(dāng)k2 時(shí),f'(x)2ex 2x2(ex 1) 0 .所以f(x)在(0,)為減函數(shù)令 f '(x) kex 2x 0,得 kex,設(shè)火)2xt，令 g'(x) e2(1 x)xe顯然g(x)在(,1)為減函數(shù),在(1,)為增函數(shù)，g(x)在x 1取得最大值為當(dāng)x 時(shí)，g(x)(3)由(2)可知 0x11 x2,由 k2時(shí)，g(x) 0 , 0 k 2 e2x1 ,得 f(x1) ke玉 x2 2x1 x2e 10,得 x 1，、，,、2g(x)maxg(1) 一e2(x1 1)1 x1(0,1)0f(x1) 19.(2013湖北卷)已知a為常數(shù)，函數(shù)f (x) =

18、x(ln x- ax)有兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2 (x1 < x?),則一，1(a) f(x1)> 0, f (x2)> - 一2,1f(x,)< 0,f(x2)> -2一、，、1一、，、f (x)< 0, f d) < - (c) f (x1)> 0, f (x2) <2解：令 f '(x) = 1- 2ax + in x = 0 得 a =1+ ln x1+ ln x令 g(x) = , g'(x) =2x2x2- 2(1+ ln x)4x2ln x 2x2 - _ 1一，-1g(x)在(0,1)為增函數(shù)，在(1,+ ?)

19、為減函數(shù)，在x= 1取得最大值g(1)= 一，一 故選(d) .1當(dāng) x? ?時(shí)，g(x) ? 0 ,且當(dāng) x> 1 時(shí) g(x)> 0.，0< a< -2法一消去參數(shù)化為確定的一元函數(shù)：函數(shù)f (x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為 為，x2 (0 < x1 < 1< x2).1+ ln x _一x一axi = (i = 1,2), f (x-)= x(ln x- - ax1)= 一(ln x - 1)< 022一、八、x2 八，、，、 x 八，、f (x2) = x2 (ln x2 - ax2) = 一 (ln x2 - 1),記 h(x) = (ln x-

20、1) (x > 1)22、1，、1 . 八h'(x) =(1- 1+ ln x) = ln x > 022,、x11 h(x)= x(ln x- 1)在(1,+ ?)為增函數(shù),h(x)> h(1)=-即 f (x2)> 一選(d)222法二消去超越式，化為代數(shù)函數(shù)式：111- f'()=ln 一 = - ln 2a > 0 ,，函數(shù) f (x)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足：0 v x1 < 1< 一 < x2.2a2a2a222由 1nxi=2axi- 1 (i = 1,2)得 f(x1)x11nxiax1x1(2 axi1)ax1ax1x1

21、x1(ax11) 0210.設(shè)函數(shù) f (x) = 2ln( x- 1)- (x- 1).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;a的取值范圍.(2)若關(guān)于x的方程f(x)+ x2- 3x- a= 0在區(qū)間f(x)內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)2x(x 2) 01解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,)，令f'(x) 2 (x 1) x 1得1 x 2.，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2)(2)法一:由 f (x) + x2- 3x- a = 0得 a f (x) x2 3x ln(x1)1.令 g(x)ln(x 1) x 123 x,g'(x)1 (x 1).當(dāng)2 x 3 時(shí),

22、 x 1x 1g '(x) 0 ;當(dāng)4 時(shí)，g'(x)0.所以g(x)在2,3為增函數(shù)，在3,4為減函數(shù).g(2)3,g(3) 2ln4,g(4) 2ln3 g(2) g(4) 2 2ln3 2(1 ln3) 0 - g(2)g(4)故實(shí)數(shù)a的取值范圍為21n3 5 a 2ln2 4.法二f(x)= 2ln(x1)(x1)2, . f(x) + x23x a= 0? x+ a+ 1 -2ln(x- 1 )= 0.2x一 3令 g(x) = x+a+ 1 2ln(x 1). / g z (x) = 1 "= 且 x>1,由g' (x)>0,得x>

23、;3;由g' (x)<0,得1<x<3.，g(x)在區(qū)間2,3上單調(diào)遞減，在區(qū)間3,4上單調(diào)遞增.g 2 >0a+3>0,故f(x)+ x2- 3x-a= 0在區(qū)間2, 4內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根 ？ g 3 <0,a + 42ln 2<0,a+52ln 3>0,解得 21n 3 -5< a<2ln 24.211. (2013惠州一模改編)已知函數(shù)f (x) = ax + bx+ 1在x = 3處的切線方程為 y = 5x- 8(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若關(guān)于x的方程f (x)= kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) k的值

24、.解：(1) f '(x) 2ax bx ,f '(3) 6ab 5令 x 3代入 y 5x 8 得切點(diǎn)(3, 7) . 9a 6b 1 7由解得a 1,b1.故所求函數(shù)f(x)的解析式為f(x) xyi 2(2)由 f (x) = kex得 kf(x)xe22x x 1x x 1x-.令 g(x) xee令 g'(x) 3 ex 1)(x 1)(x 2)一口彳1l 0 得 1,x2e2當(dāng) 1 x 2時(shí)，g'(x) 0；當(dāng) x 1或x 2時(shí)，g'(x) 0.1g(x)在(1,2)為增函數(shù)；在(，1)、(2,)為增函數(shù).當(dāng)x 1時(shí)，取得極小值g ；當(dāng)x 2

25、時(shí)，取e3得極大值g(2)1；e，當(dāng)x 1或x 2時(shí)，關(guān)于x的方程f (x) = kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.12.已知函數(shù) f(x)=x3-ax2-bx+a2, x r , a, b 為常數(shù)。(1)若函數(shù)f(x)在x=1處有極值10,求實(shí)數(shù)a, b的值；(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),方程f(x) = 2在xc 2,4上恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) b的取值范圍；不等式f(x)+2b>0對(duì) xc1, 4恒成立，求實(shí)數(shù) b的取值范圍。(1) f'(x)= 3x22ax b,由 f(x)在 x=1 處有極值 10,得 f'(1) = 0, f(1)=10。即 32ab=0,

26、 1ab + a-2= 10,解得 a = 3, b=3或 a=4, b=11。經(jīng)檢驗(yàn)，a= 3, b=-3不合題意，舍去。 a = 4, b= 11。(2)由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞,由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(0)= 0,a= 0。由 f(x)=2,得 f(x)-2=0,令 g(x)=f(x)-2 = x3-bx-2,則方程 g(x)=0 在 xc 2,4上恰有 3 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解。g'(x)=3x2b,(i)若b< 0,則g'(x)>0恒成立，且函數(shù)g(x)不為常函數(shù)，g(x)在區(qū)間 2,4上為增函數(shù)，g(0)=0,所以，g(x) = 0在區(qū)間2,4上有

27、且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。不合題意，舍去。(ii)若b>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(-8,yjb上為增函數(shù)，在區(qū)間(一寸|，、他)上為減函數(shù)，在區(qū)間(、/3, +丐上為增函數(shù)，由方程 g(x)=0在xc 2,4上恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可得f( 2) 0,f(占 0,f(4) 0,b解得b5,3,.be (3,531萬，0,2 ,總存在x20,2 ,使由不等式 f(x) + 2b>0,得 x3bx+2b>0,即(x2)bwx3,(i )若 x-2=0 即 x=2 時(shí)，bc r；33 -2x2(x- 3)(ii)若 x-2v0 即 xc 1,2)時(shí)，b>在區(qū)間1,2)上恒成立，令

28、h(x)=，則 b> h(x)max。; h'(x) = (3),，/ x 2x- 2(x-2)2，h'(x)v0 在 xc 1,2)上恒成立，所以 h(x)在區(qū)間1,2)上是減函數(shù)，h(x)max= h(1) = - 1, /. b>-1ox3(111)若x 2>0即xc (2,4時(shí),bw二在區(qū)間(2,4上恒成立,則(x)min。由(11)可知，函數(shù)所以h(x)在區(qū)間(2,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間(3,4上是增函數(shù)，h(x)min=h(3) = 27, bw27。綜上所述，b -1, 27。0,2., (i)求 f(x)的值域;132一ax a x,x q2。

29、右對(duì)任息x134x13.已知函數(shù) f(x) 2,x3x2 3(n)設(shè) a 0,函數(shù) g(x)f(xi) g(x2) 0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：方法一：對(duì)函數(shù) f(x)求導(dǎo)，f (x)4 1 x2223(x2 1)2,令 f (x) =0,得 x 1 或 x 1當(dāng) x0,1 時(shí)，f (x) >0,2f(0) 0,f(1) 3, f(2)f(x)在0,1上單調(diào)遞增；當(dāng) x (1,2)時(shí)，f (x) <0, f (x)在(1,2)上單調(diào)遞減。又815,當(dāng)x (0,2)時(shí)f (x)的值域是方法二：當(dāng)x 0時(shí)f (x)=0；當(dāng)x(0,2時(shí) f(x)1i ,x 一 ,即x 1 時(shí) f (x)

30、 x43-2的值域是0 2 ；，3(2)設(shè)函數(shù)g(x)在0,2的值域是a, 對(duì)任意xi0,2，總存在x20,2 ,使 f(xi) g(x2)0。0,3當(dāng)xa,對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo),g (x) a x2(0,2),a 0時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,g(0)0,g(2) 3a_ 2_ _ .一2a0, 當(dāng)x 0,2時(shí)，不滿足0時(shí)，gx 0,2 :(x)0a (x ja)(x 洞，令 g(x)0,230,得xa；ja或xa a (舍去)，g (x)g(x)2時(shí)，列表(0, a)02 2 a a3(.a,2)+g(0)0,g( a)0,3a,，g(2)2a22,解得38 a31一 a32 a

31、21.(ii)當(dāng) x(0,2),福 2 時(shí),g (x)0,.函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,g(0)0,g(2) 3a 2 a20,，當(dāng)*0,2時(shí)，不滿足2 a10- a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是一,1 .3314.已知函數(shù)f (x)1 2-x aln x (a r), 2(i)若函數(shù)f (x)在(1,)為增函數(shù)，求a的取值范圍；(n)討論方程 f(x) 0解的個(gè)數(shù)，并說明理由解：(1)若函數(shù)f (x)在(1,)上恒成立。則f (x)a0在(1,)上恒成立, x即：當(dāng)a2 .a x在(1,)上恒成立。所以有a0時(shí)，f(x)在定義域(0,)上恒大于10,此時(shí)方程無解;當(dāng)a 0時(shí),一，、 af

32、 (x) x - 0在(0,)上恒成立，所以x121 二一 、一.一,0, f(ea) -ea 1 0,所以方程有惟一解。2f(x)在定義域(0,)上為增函數(shù)。(x a)(x a)2 a x a 當(dāng) a 0 時(shí)，f (x) x x x因?yàn)楫?dāng)x (o,ja)時(shí)，f(x) 0, f(x)在(o,ja)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)x (ja,)時(shí)，f(x)在(ja,)內(nèi)為增函數(shù)。11所以當(dāng)x 瓶時(shí)，有極小值即為最小值f“a) -a alnja -a(1 lna)。22當(dāng) a (0,e)時(shí)，f(j) -a(1 in a) 0,此方程無解； 21當(dāng)a e時(shí)，f (ja) -a(1 in a) 0.此萬程有惟一解 x

33、ja。21當(dāng) a (e,)時(shí)，f(va)-a(1 ina) 0因?yàn)閒(1) 1 0且1ja,所以方程f(x) 0在區(qū)間(0, ji)上有惟一解,2因?yàn)楫?dāng)x 1時(shí)，(x in x) 0,所以x in x 1122-(2a)2 2a2)上有惟兩解。0,1 21 2所以 x in x, f (x) -x ain x -x ax,因?yàn)?2a va 1,所以 f(x) 22所以方程f(x) 0在區(qū)間(石，)上有惟一解。所以方程 f(x) 0在區(qū)間(e,綜上所述：當(dāng)a 0,e)時(shí)，方程無解；當(dāng)a 0或a e時(shí)，方程有惟一解; 當(dāng)a e時(shí)方程有兩解15、已知函數(shù)f (x) x4 4x3 ax2 1在區(qū)間0,

34、1單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2單調(diào)遞減,(i)求a的值；(ii)是否存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)g(x) bx2 1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，若存在，請(qǐng) 求出實(shí)數(shù)b的值；若不存在，試說明理由。解：(i)由函數(shù)f (x) x4 4x3 ax2 1在區(qū)間0,1單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2單調(diào)遞減。知 x 1 時(shí),取得極大值，f (1) 0 f (x) 4x3 12x 2ax 4 12 2a 0 a 4(ii)函數(shù)g(x) bx2 1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程x4 4x3 4x2 1 bx2 1恰有3個(gè)不等實(shí)根.4322432x 4x 4x 1 bx1x 4x(4 b)x 0 x

35、 0 是其中一個(gè)根，方程x2 4x (4 b) 0有兩個(gè)非零不等實(shí)根16 4(4 b) 0口b 0且 b 44 b 0故存在實(shí)數(shù)：b 0且b 4 12分216.已知x 3是函數(shù)f x ain 1 x x 10x的一個(gè)極值點(diǎn)。(i)求 a；(n)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間;(m)若直線yb與函數(shù)yx的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍。解析:(i)因?yàn)閒2x10.所以f10 0.因此 a 16(n)由(i)知,22 x2 4x 3161n 110x,x1,1,1 u 3,時(shí),1,3 時(shí),所以f x的單調(diào)增區(qū)間是1,1 , 3,x的單調(diào)減區(qū)間是1,3(出)由(h)知,1,1內(nèi)單調(diào)增加，在1,3內(nèi)單調(diào)減少，

36、在3,上單調(diào)增加，且當(dāng)x 1或x 3 時(shí)，f0.所以fx的極大值為161n 29,極小值為321n 2 21因此f 1616210 16161n 2 9 fe2 132 1121所以在f x的三個(gè)單調(diào)區(qū)間1,1 , 1,3 ,3,直線y的圖象各有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)f17. f(x)=x 1n(x+a)在 x=1 處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)1a的值；(2)若關(guān)于x的方程f(x) + 2x = x2+b在22上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍;(3)證明:r 1 3n2n 2 kfik-f(k)> n(n + 1) (n'n, n或).參考數(shù)據(jù)：ln2前.6931.一 -1解

37、：(1)f'(x)=1 +,由題息，得x+ af '(1)=0a= 02'(2)由知 f(x) = x 1nx. .f(x) + 2x = x2+bx 1nx+ 2x= x2+ bx2 3x+1nx + b= 09'、幾 /、 2 oil . . zmh i/ c o 1 2x2 3x+ 萬程f(x)+2x=x2+b在1, 2上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (2x 1)(x 1)4'設(shè) g(x) = x2-3x+ lnx + b(x> 0). 貝"g'(x) = 2x- 3 + - = lx(0,2)12(2，1)1(1, 2)2g'(x)十0一0十g(x)/極大值極小值/b2+ ln2g(x)的變化情況如下表當(dāng)x變化時(shí),g'(x)6'當(dāng) x=1 時(shí)，g(x)最小值= g(1)=b 2,g(2)=b-5-ln2, g(2) = b-2+ln21g(2)冷由b-5- ln2冷b 4g(1)<0 g(2)冷b 2v 0b 2+ ln2 冷(3)k- f(k)=lnk工+工+工+ln2 ln3 ln4n 1 3n2n 2'2k-f(k