高考重難點專題突破——不等式

1、11不等式高考重難點專題突破之綜述 （內(nèi)容、地位、作用） ：在蘇教版高中數(shù)學教科書必修系列中，直接涉及“不等式”內(nèi)容的部分為必修5第三章不等式 。另外，在實際教學過程中，在學到必修5不等式之前的某些章節(jié)（如集合、函數(shù)的值域等） ，無論文理科班，基于教學內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性和完整性，老師們基本上都要對選修4-5 中的部分基礎(chǔ)性內(nèi)容進行選講。所以“不等式”的內(nèi)容主要來自必修5 第三章不等式以及選修系列 4-5 不等式選講 。綜合來看，不等式的內(nèi)容主要可分為不等式的求解、證明和應(yīng)用三部分，它們又分別以一元二次不等式的求解、均值不等式相關(guān)的證明、不等式在應(yīng)用題以及線性規(guī)劃中的應(yīng)用為主。不等式是中學數(shù)學的主干內(nèi)

2、容之一， 它不僅是中學數(shù)學的基礎(chǔ)知識，而且在中學數(shù)學中起著廣泛的工具性作用，對學生們步入大學之后的數(shù)學學習也具有基礎(chǔ)性的鋪墊作用。在歷年的高考中，不等式雖很少單獨命題（理科附加卷除外） ，但無論從它所涉及到的知識點或是題量來看，有關(guān)不等式的試題分布范圍極廣（甚至有些題目很難界定其中對不等式的考查所占到的比重，所以我們也很難準確給出高考中不等式所占分值） ，試題不僅考查了不等式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，還考查了運算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的應(yīng)用能力等數(shù)學素養(yǎng)。在高考命題趨勢上，不等式的考查極其突出工具性，淡化獨立性、突出解，是不等式命題的總體取向。高考中不等式試題的落腳

3、點主要有：一，不等式的性質(zhì)，常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等結(jié)合起來，考查不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等；二，不等式的證明，多以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識為背景，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題，綜合性強，能力要求高；三，解不等式，往往與公式、根式和參數(shù)的討論聯(lián)系在一起，考查學生的等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力；四，不等式的應(yīng)用，以當前經(jīng)濟、社會生產(chǎn)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題是高考的熱點，主要考查學生閱讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力?？荚囈笈c教學建議：（一） 必修 5 部分新課標在對“必修5” 不等式一章的說明中指出： “不等關(guān)系與相等關(guān)系都是掌握求解一元二次不等式的基客觀事物的基本數(shù)

4、量關(guān)系，是數(shù)學研究的重要內(nèi)容本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認識基本不等式及其簡單應(yīng)用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。 ”由此，我們大致可以看出教材對于本部分的基本要求以及高考的考查要點。本部分的課標建議課時為大約 16 課時。相應(yīng)的說明與建議主要有：1 、 一元二次不等式教學中，應(yīng)注重使學生了解一元二次不等式的實際背景。求解一元二次不等式，首先可求出相應(yīng)方程的根，然后根據(jù)相應(yīng)函數(shù)的圖象求出不等式的解；也可以運用代數(shù)的方法求解。鼓勵學生設(shè)計求解一元二次不等式的程序框圖。2 、 不等式有豐富的實際背景，是刻畫區(qū)域的重要工具

5、。刻畫區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟，教學中可以從實際背景引入二元一次不等式組。3 、 線性規(guī)劃是優(yōu)化的具體模型之一。在本模塊的教學中，教師應(yīng)引導學生體會線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，不必引入很多名詞。不等式選講部分此部分文理科考生的對待方式見的異同我們已在“綜述”部分有所講解，次不贅述。本專題主要介紹幾個數(shù)學中重要的不等式以及數(shù)學歸納法。本專題特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。從文理科學習之間的異同的角度，我們可以將本專題內(nèi)容分為兩部分：前半部分，文理科同等要求，且均

6、在必修過程中已基本講解到位；后半部分，只對理科生做簡單要求，即高考時所考題目難度不大，基本上可直接套用公式，或只需經(jīng)簡單并行即可套用公式，同時，也不是必做題。下面，我們把新課標中的內(nèi)容與要求重點性的摘錄于此，以供諸位師生探討，同時也作為本部分內(nèi)容的一個基本總結(jié)，后文將不再詳細展開。1 、理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明三角不等式等。2 、認識柯西不等式的幾種不同形式。3 、了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。4 、會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。5、通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方

7、法：比較法、綜合法、分析法、反證 法、放縮法。三、考點歸納與題型講解之“不等式的求解”（一）、不等式的性質(zhì)1、不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解 和熟練運用，要弄清每一個條件和結(jié)論，學會對不等式進行條件的放寬和加強。2、兩個實數(shù)的大小：a b 0 ab；ab0 a b； a b 0 a b3、不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式.不等號的方向 不變.如果a b,那么a c b c.（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.如果a b,c 0,那么ac bc （或a b）.c c（3）不等式的兩邊都乘以（或除以

8、）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.a b如果a b, c 0,那么ac bc （或一 一）c c由上面三條可以衍生出如下的性質(zhì)：（Da b b a （對稱性）（2） a b，b c a c （傳遞性）（3） a b a c b c （加法單調(diào)性）（4）ab，cdacbd （同向不等式相加）（5）ab，cdacbd （異向不等式相減）（6） a b, c 0 ac bc（7）a b,c 0 ac bc （乘法單調(diào)性）a b 0,c d 0 ac bd （同向不等式相乘）(9) a b 0,0 c dc d （異向不等式相除）11（10） a b,ab 0a b （倒數(shù)關(guān)系）（11）a b 0 an

9、 bn（n Z,且n 1）（平方法則）（12） a b 0 妒7b（n Z,且n 1）（開方法則）4.例題：（1）已知1 x y 1 , 1 x y 3,則3x y的取值范圍是（答：1 3x y 7）;c（2）已知a b c ,且a b c 0,則a的取值范圍是 2, 1（答：2 ）（二）解一元一次不等式（組）1 . 一元一次不等式1.1 定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是 1.系數(shù)不等于0的 不等式叫做一元一次不等式.注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O（a w O, a, b為已知數(shù)）.1.2 解一元一次不等式的一般步驟（1）去分母；（2）去括號；（3

10、）移項；（4）合并同類項；（5）化系數(shù)為1 .說明：解一元一次不等式和解一元一次方程類似.不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解 不等式時最容易出錯的地方.2 .一元一次不等式組1. 1定義：含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組.說明：判斷一個不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個條件：組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式，且未知數(shù)相同；不等式組中不等式的個數(shù)至少是 2個，也就是說，可以是 2個、3個、4個或更多.2. 2一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中，幾個不等式解集 的公共部分.叫做這個一

11、元一次不等式組的解集.一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定.2. 3.不等式組解集的確定方法，可以3納為以下四種類型（設(shè)a>b）不等式組圖示解集x a1x aLox bba（同大取大）x ahJx bb ax b（同小取?。﹛ ab x ax b1A b a（大小交叉取中間）x a 1 .無解b ax b（大小分離解為空）3. 4.解一元一次不等式組的步驟（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集；（2）利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集3 .例題講解x 2（x 1） 32x 5 x【例1】 解不等式組 3,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.解:解不等式得x 1,解不等式

12、得 x 5,不等式和的解集在數(shù)軸上表不'如下：* J-1 0 1 2 3 4 5原不等式組的解集是1 x 5.（三）解一元二次不等式（組）1： 一元二次不等式的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元次不等式。比如：/ -40 .任意的一元二次不等式，總可以化為一般形式:/十bi十c a 0 （拿 > S 或值j?u 0 （厘 > 0）.2: 一般的一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集可以聯(lián)系二次函數(shù) y 士g45工士已（金不。）的圖 象，圖象在K軸上方部分對應(yīng)的橫坐標 近值的集合為不等式 臣/+Ax+caO 的解集，圖象在K軸下方部分對應(yīng)的

13、橫坐標正值的集合為不等式 出xfx+e <0的解集.設(shè)一元二次方程/+后+<? = 0缶=°）的兩根為知馬且五三七，-叱，則相應(yīng)的不等式的解集的各種情況如下表:8 二墳-4acy 士 ax2斗后工+ c（a>0）的圖象A>0ax +西工十t7 = 0S > 0)的根ax2 > 0 (3)的解集有兩相異實根%,4 5 F)x|x Xi 或 x X2A <0無實根注：表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，可先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決;3:規(guī)律方法指導2.1. 解一元二次不等式首先要看二次項系數(shù)a是

14、否為正；若為負，則將其變?yōu)檎龜?shù)；2.2. 若相應(yīng)方程有實數(shù)根，求根時注意靈活運用因式分解和配方法；2.3. 寫不等式的解集時首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論；2.4. 根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系；2.5. 若所給不等式最高項系數(shù)含有字母，還需要討論最高項的系數(shù)（4） .解分式不等式g（x）不為0 ）的1 .形如 f(x)/g(x)>0 或 f(x)/g(x)<0 (其中 f(x)、g(x)為整式且不等式稱為分式不等式。通俗的說就是分母中含未知數(shù)的不等式稱之為分式不等式。2 .歸納分式不等式的

15、解法：（不知道分母正負的時候）化分式不等式為標準型：方法：移項，通分，右邊化為0,左邊化為f8g（x）的形式將分式不等式進行形如以下四類的等價變形:(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)f(x)g(x)f(x)g(x) g(x) 0(4)f(x)g(x)f(x)g(x) g(x) 03.例題講解:解不等式：x 3 0x 7解法1:化為兩個不等式組來解:7x3原不等式的解集是x| 7解法2:化為二次不等式來解:x 3XTl0 X 3)(x 7) 07 x 3, .原不等式的解集是 x| 7 x 3點評：提倡用解法 2,避免分類討論，提高解題速率。x 3

16、變式1：解不等式x 7x 3解：xn 0 (x 3)(x 7) 0且 x77x3原不等式的解集是x|-7<x 3x 3變式3:解不等式1x 7解:原不等式的解集是1 0xx7)10注：如果知道分母的正負，則可以去分母，化分式不等式為整式不等式。（5） .解高次不等式(可分解的)1 .解高次不等式的步驟：(1)因式分解(2)未知數(shù)系數(shù)化正(3)穿根(從右上角開始，奇穿偶回)2 .穿根法使用步驟:將不等式化為(x x)(x x2)(x x3) (x xn)0( 0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“ +” ；求方程(x x1)(x x2)(x x3) (x xn) 0各根，并在數(shù)軸上表示出來(從小

17、根到大根按從左至右方向表示)。由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點若不等式(x的系數(shù)化“ +”后)是“ >0”則找“線”在x軸上方的區(qū)X1X2X3xn-1 xn說明：注意不等式若帶“=”號，點畫為實心，解集邊界處應(yīng)有等號3 .例題講解:例1.解不等式:x2 3x 2x2 2x 3x2 3x 2二 «解：x 2x 32 _2 -(x 3x 2)(x2x 3) 02_x 2x 3 0(x 1)(x 2)(x 3)(x 1) 0解：檢查各因式中 x的符號均正;求得相應(yīng)方程的根為：-1, 2, 3 （注意：2是二重根，3是三重根）；在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始），

18、如下圖:，原不等式的解集為：x|-1<x<2或2Vx<3.說明： W 是三重根，在C處穿三次，2是二重根，在B處穿兩次, 結(jié)果相當于沒穿.由此看出，當左側(cè)f（x）有相同因式（x-x1）n時，n為奇數(shù)時， 曲線在x1點處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時，曲線在 x1點處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”（六）解無理不等式(1) 本概念：根號下含有未知數(shù)的不等式。2、無理不等式的類型（高考對這方面的要求不太高）.、,f(x). g(x)(2) f(x)g(x)(3) f (x)g(x)(4)f (x) ?g(x)03根式不等式的解法 f (x). g(x)3.1 類型一：f(x) 0f(x

19、) 0g(x) 0f(x) g(x)f(x) g(x)例：解不等式3< 4 x 3 03x 4 x 3解：原不等式可化為，根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得:3x 4 0x 3 03x 4 x 3x | x 3解得所以，原不等式的解集為x|x 3.f (x) g(x)3.2類型二：f(x) 0t f(x) 0g(x) 0或:2 g(x) 0 f(x) g(x)注：第一個花括號內(nèi)的f(x)大于等于0可以省略。解不等式x 27 2x 3 0解：原不等式可化為x 27 2x 3根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得x 27 02x 3 0(1)或2x 27 (x 3)2x 272x 3.(2)解這個不

20、等式組(1),得3x| x 27 x|x 一23x| 2 x 9 x| x 9 2解這個不等式組(2),得x | 27 x 32x | x 27 x | x 32所以，原不等式的解集為x| 27 x 9.f(x) g(x)3.3類型三：f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)2ii解不等式x 27 2x解：原不等式可化為x 27 2x 3根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得x 2702x30x 27 (x 3)2解這個不等式組，得x|x 9(1) f(x)?g(x) 03.4類型四：f(x) 0g(x) 0 f(x)?g(x) 0f(x) 0T或f(x) 0 g(x) 0例4解不等式(x 2Kx

21、 2x 3 0解：由原不等式可得:0或x22x 3 0x 2 02x2 2x 3解得x| x解法小結(jié)：解無理不等式的主要思路是去根號。但去根號的時候要注意下根號里的數(shù)和根號外的數(shù)的正負?。ㄆ撸┙饨^對值不等式的常用方法解含有絕對值的不等式的關(guān)鍵是想法把它轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式，常見的 解法有以下幾種：1、利用絕對值的定義例1：解不等式1 |2x 15.加2x 1 0 2x 1 0斛：原不等式于：（I）或（n）1 2x 1 51 （2x 1） 5由（I）得：1 x 3或（n）得 2 x 0原不等式的解集為：x 2 x 0或1 x 3 .解：原不等式即：一工由絕對值的意義可知工0,亦即2 x2xx

22、 2（x 1）（x 2） 0,所以 2x1,即原不等式的解集為 （2,1）.評注：利用絕對值的意義求解有些不等式時可另辟蹊徑，化繁為簡例3解不等式+ 豈2分析：不等式左邊可化掉無理式。解：原不等式等價于朋T|占23或 1氏忖工一工或了31原不等式的解集為2、利用絕對值的性質(zhì)例1：解不等式x2 3x 13.解：原不等式等價于2x2 3x 4 3即:x23x 1 o ax2 3x 1x2由得 1 x 4由得x2 x，原不等式的解集為:3、利用平方法例1:解不等式3x 22x3.解：將原不等式兩邊平方為:9x212x4x212x 9 即 x2 142，原不等式的解集為:例2、解不等式卜 + 1|-

23、卜| A U解：原不等式變?yōu)? 等價于1萬十1），苫"，即2工+ 1口，原不等式的解集為4、利用分段討論法（即零點分段法）例1：解不等式x 2 x 4.解：當x2時,不等式化為:(x 2)當x 0時,0時,不等式化為:2x4綜上所述，不等式的解集為:3,或 x 1例2.解不等式分析：如何去掉兩個絕對值的符號？首先找出零點，第一個絕對值的式子,兩個零點把數(shù)軸分成三段，故可分為三段討論。解：原不等式變?yōu)?3£. .-< < 5-或j 2或j + 5 3 < 13K g- _|kJi <-7< jr < 52 1 券jr > -3.工，二

24、一7或)匚工1或1之5* x|k(-7或K>-3，原不等式的解集為I引注：利用此法解題時要注意 x的系數(shù)為正。5、利用絕對值的幾何意義例1：解不等式x 3 x 2 5.解：不等式x 3 x 2 5表示數(shù)軸距 A (3)、B (-2)兩點的距離之 和大于5的點，方程x 3 x 25表示在數(shù)軸上距A、B兩點的距離之和等于5的點。，原不等式的解集為：xx2,或x 3 .6、利用不等式組法(即等價轉(zhuǎn)化法)例1：已知關(guān)于x的不等式x 2 x 1 a有解，求a的取值范圍。解：令y x 2 x 1則y 3,可將原不等式變?yōu)椴坏仁浇M如圖，易得a 3。.03 a x 3 a的解集為R,求a的取值范y 3,

25、因原不等式有解,y a例2:已知關(guān)于x的不等式x 圍。解：令y x 4 x 3,由上知1 y 1 , 故可將原不等式等價變?yōu)椴坏仁浇M-11 y 1y a ，如圖，易得a7、利用數(shù)形結(jié)合法例1解不等式x 1 2x 3解畫出y1x 1和y2 2x2的橫坐標分別是3和x 4因為x 1 2x 3 ,所以原不等式的解2x是yi y2的交點的橫坐標，由圖像知：原不等式的解是3或x 4.k的取值范圍例2若不等式|x 1 | kx對一切x R恒成立，求實數(shù) 解析：在同一坐標系中分別畫出函數(shù)y |x 1 |與y下圖），顯然，要使不等式|x 1 | kx對一切x0 k 1,即k的取值范圍是0,1.例3若不等式|2

26、x m| |3x 6 |恒成立，求實數(shù) m的取值范圍解析：在同一坐標系中分別畫出函數(shù)y |2x m|及 y |3x 6| （如下圖），由于不等式|2x m| |3x 6|恒成 立，所以函數(shù)y |2x m|的圖象應(yīng)總在函數(shù)y |3x 6|圖 象的下方，因此，函數(shù) y |2x m|的圖象也必須經(jīng)過點(2,0)，所以 m 4評注：運用數(shù)形結(jié)合的方法求解絕對值不等式問題，既直觀形象，又簡單 易行.8利用利用定比分點法2八例1解不等式x12axa0 .解：在數(shù)軸上取p12x,px21,p22ax ,其中x R，使P為P1, P2RPx2 12ax0x2 12ax即：解不等式的內(nèi)分點即可，這就順利地去掉了

27、絕對值符號,即:由 股0x2 2ax 1x2 2ax 1等價于整式不等式:22x 2ax 1 x 2ax 10.0.x a .1 a2 x a .1 a2 x a .1a2 x a1a2又Q x 0a . 1 a2 x a 1 a2.x| a . 1 a2 x a .1 a2 .故不等式的解集為：9、利用絕對值不等式注：主要指絕對值的三角不等式 |a| |b| |a b| |a| |b|例 1 解不等式：|2x 10g2 x| 2x 110g2 x|.首先應(yīng)有x 0,所以原不等式等價于|2x 1og2x| |2x| 110g2 x|,由于在不等式 | a b| |a| 中，"&quo

28、t; 成立的條件是ab 0,所以原不等式等價于2x 10g2x 0,而x 0, 所以10g2 x 0 ,因此得x 1,故原不等式的解集為 x|x 1 .評注：要特別?意不等式1aI 1b11a b| |a| |b|中各部分等號及不等號成立的條件，利用這些條件可以解決一些絕對值不等式或方程問題.例2若不等式|3x 2| |3x 1| m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解析：令f(x) |3x 2| |3x 1|,則只須求出函數(shù) "刈的最小值即可(3x 1)| 3 (當,即f (x)的最小值等于m的取值范圍是m 3由于 f(x) |3x 2| |3x 1| |(3x 2)_ 12(3x 2)

29、(3x 1) 0，即一 x 一33時等號取到)3,所以不等式|3x 2| |3x 11m恒成立時， 評注：此處用絕對值不等式1a1 1b11a b| |a| |b|求最值，避免了對函數(shù)f(x) |3x 2| |3x 1|的分段討論，顯得非常簡單.(八).用數(shù)學思想方法解不等式四、(注：再解不等式時，有時充分借用常見數(shù)學思想，如整體思想、等價變形思 想、補集思想、方程與函數(shù)思想等等，進行求解，會起到事半功倍的效果。讀者 可自行對照相關(guān)題型研究、學習，此不詳細列舉。)比較法證明不等式例 1 若 0 x 1,證明 loga(1 x)分析1用作差法來證明.需分為 值符號，然后比較法證明.loga(1

30、x)( a 0 且 a 1).a 1和0 a1兩種情況，去掉絕對考點歸納與題型講解之“不等式的證明”解法1 (1)當a 1時，因為 0 1 x 1,1 x 1,所 以 lOga(1 x) lOga(1 x)lOga(1 x) log a(1 x)2、lOga(1 x ) 0 .(2)當 0 a 1 時，因為 0 1 x 1,1 x 1,所以lOga(1 x)| |lOga(1 x) lOga(1 x) lOga(1 x)loga(1 x2)0綜合(1)知 lOga(1 x)lOga(1 x).分析2直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號 解法2作差比較法.lOga(1 x)| |lOga(1

31、 x)lg(1 x)lgalg(1 x)lg algalg(1 x)| |lg(1 x)1alg(1 x) lg(1 x)|lgalg(1x2) 0,所以 lOga(1 x) lOga(1 x).說明：解法一用分類相當于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符 號；解法二用對數(shù)性質(zhì)(換底公式)也能達到同樣的目的，且不必分而治 之，其解法自然簡捷、明快.a b b, a例2設(shè)a b 0 ,求證：a b a b .分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難.考慮到兩邊都是正數(shù)，可以 作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式.a b a b a b b a ,a、ab證明：a b (-), a b

32、0,a bba 1,a b 0. ba ba a ba bb. aa bcbha(一)1.r1.乂 a b 0 , a b a b .babba說明：本題考查不等式的證明方法一一比較法（作商比較法）.作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小.（二）綜合法證明不等式44a b （a b）4例1對于任意實數(shù)a、b ,求證 22（當且僅當a b時取等號）分析 這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有（）4 ,展開后很復雜。若使用綜合法，從重要不等式:2.2a b2ab出發(fā)，再恰當?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明:2_.2b2 2

33、ab (當且僅當a22.b時取等號）兩邊同加(a4b4):2(a4 b4) (a2b2)2,4即：-b422-2T2(1)2-.一 .b 2ab (當且僅當ab時取等號）兩邊同加（a22_22b ):2(a b ) (ab)2)2與2b)4(2)b42b時取等號）.a b 4 一()4 (當且僅當a2說明：此題參考用綜合法證明不等式.綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解.例 2 若 a、 b、 c 是不全相等的正數(shù)，求證,a b . c b . a clg2 lg2 lg2 lga lgb lgc【分析】根

34、據(jù)本題的條件和要證明的結(jié)論，既可用分析法由可用綜合法?！咀C法一】（綜合法）：a, b, c Ra c 一cb 0 . ac2又a、b、c是不全相等的正數(shù)，有abcolg(lg abca b c b a clg2lglg2 lga lgb lgc【證 法 二】(分 析 法a b c b a clg2 lg lg2 lga lgb lgca b c b a clg(-丁) lg abc即證 222成立只需證a b c b a c abc222成立。b. ab 0-bcb 02,2,acabc 0(*)又a、b、c是不全相等的正數(shù)，.（*）式等號不成立。，原不等式成立。（三）分析法證明不等式111例

35、1已知a b c,求證：a b b c c a >0.分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可 以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程證明一：（分析法書寫過程）111為了證明a b b c c a >0111只需要證明a b b c > a c.a b c.a c a b 0,b c 01 1 1：.a b a c b c >02 11a b b c > a c 成立3 11a b b c c a >0 成立證明二：（綜合法書寫過程）abc acab0, bc01 1a b >b c >0a c2 11a b

36、b c > a c 成立3 11a b b c c a >0 成立說明：學會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經(jīng)常混 在一起應(yīng)用，混合應(yīng)用時，應(yīng)用語言敘述清楚例 2、若 a 0,b 0,且 2c a b,求證：c Jc2 ab a c Jc2 ab.分析這個不等式從形式上不易看出其規(guī)律性，與我們掌握的定理和重要 的結(jié)論也沒有什么直接的聯(lián)系，所以可以采用分析的方法來尋找證明途 徑.但用“分析”法證不等式，要有嚴格的格式，即每一步推出的都是上 一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理 等）.證明：為要證c c ab a c "c ab.只需

37、證ab a c . c2 ab即證 a c Jc2 ab, 22也就是(a c) c ab,一一 2即證 a 2ac ab,即證 2ac a(a b),. a 0,2c a b,b 0c a-b . ab 224 ，故 c ab 即有 c ab 0,又由2c a b可得2ac a(a b)成立，所求不等式c Jcab a c vc ab成立.說明：此題考查了用分析法證明不等式.在題目中分析法和綜合法是綜合運用的，要注意在書寫時，分析法的書寫過程應(yīng)該是：“欲證需證:綜合法的書寫過程是：“因為(.)所以(二.)”，即使在一個題目中是邊分析邊說明也應(yīng)該注意不要弄混.22333例3設(shè)x、y為正數(shù)，求證

38、Vx V Mx y .分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法.二2 7?2- 3 二3 -3', 22、3 ,33、2證明：要證、x y ” 丫，只需證(xy )(x y ) ,64 22 4663 36即證 x 3x y 3x y y x 2x y y4 22 4332222、化簡得 3x y 3x y 2x y x y (3x 2xy 3y ) 022_4y2 4 3 3y2 0 ,22.3x 2xy 3y 0.x2y2(3x2 2xy 3y2) 0，原不等式成立.說明：1.本題證明易出現(xiàn)以下錯誤證法：，x2 y2 厄y , 333嬴 y3 V2x2y2 ,然后分 X y 1 ；

39、(2) x y 1 ； (3) x 1 且0 y 1 ； (4) y 1 且 0 x 1 來討論，結(jié)果無效2 用分析法證明數(shù)學問題，要求相鄰兩步的關(guān)系是A B ，前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的充分條件，當然相互為充要條件也可以(四)反正法證明不等式1 若 a3b32 ，求證 a b 2 ab2 ， 則b2)，分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡、宜用反證法證法一：假設(shè)a3 b3 (a b)(a2 ab b2) 2(a2 ab而 a3 b3 2，故 (a2 ab b2) 1 221 ab a b 2ab .從而 ab 1 , a2 b2 1 ab 2 . (a b)2 a2b2

40、2ab 2 2ab 4a b 2 這與假設(shè)矛盾，故a b 2 證法二：假設(shè)a b 2 ，則 a 2 b ，33b) b ，即 2 8 12b6b2 ，即(b 1)2 0 ，故 2 a3b3 (2這不可能從而a b 2 333證法三：假設(shè)ab 2 ，則(a b)ab 3ab(ab) 8 由 a3b32 ，得 3ab(ab) 6 ，故ab(a b) 2 又 a3b3 (a b)(a2 ab b2) 2 ，. ab(a b) (a b)(a2 ab b2)a2 ab b2 ab,即(a b)2 0這不可能，故a b 2說明：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實矛盾.一般說

41、來，結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多” “唯一”等字句，或結(jié)論以否定語句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過頭”時，都可以考慮用反證法.2例2已知f (x) x px q ,求證：| f|,| f(2) |,| f (3) |中至少有一個不小于-o21【分析】由于題目的結(jié)論是：三個函數(shù)值中“至少有一個不小于”，情2況較復雜，會出現(xiàn)多個異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁冗， 而結(jié)論的反面構(gòu)成三個同向不等式，結(jié)構(gòu)簡單，故采用反證法為宜?！咀C明】(反證法)假設(shè)| f(1)|，| f(2)|，| f(3) |都小于-,則2I f(1)l 2| f(2)| | f | 2而 | f(1)| 2| f(2)| | f(3)

42、| | f(1)f(3) 2f(2)|(1 p q) (9 3p q) (8 4p 2q) | 2,相互矛盾. |f|,| f(2)|,| f(3)|中至少有一個不小于1。2思維點拔用反證法證明命題時，推導出的矛盾可能多種多樣。有的與已 知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實相違背等等，推導出的矛盾必須是 明顯的。(五)三角換元法證明不等式例 1 已知 1 x2 y22 ,求證-x2 xy y23 .2分析：聯(lián)想三角函數(shù)知識，進行三角換元，然后利用三角函數(shù)的值域進行 證明.證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)r .1 x2 y2 2 , 可設(shè) x r cos , y r sin ，其中

43、1 r <2 , 0222_2_ 2r2(1-sin 2 ) 211 sin 2231 2r2,故221r2(1 -sin2 )x xy y r r sin cos2 cxy y 3說明：1.三角代換是最常見的變量代換，當條件為222x y 或x y產(chǎn)或a2 b21時，均可用三角代換.2.用換元法一定要注意新元的范圍，否則所證不等式的變量和取值的變化會影響其結(jié)果的正確 性.（六）放縮法證明不等式一 一-，11例1設(shè)n是正整數(shù)，求證1-2 n 11分析：要求一個 n項分式n 11n 21n 2-1 1.2n1 ，一一一, 的范圍，它的和又求不 2n出來，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一

44、項的范圍，再求整體的范 圍.證明：由 2n n k n(k 1,2,當k 1時,2n1111n；當 k 2 時，2n n 2 n,111當 k n 時，2n n n n .12n說明：1、用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會走入困境.典型例1°_171題如證明1222n24.由k2 k 1 k ,如果從第3項開始放縮，正好可證明；如果從第 2項放縮，可得小于 2.當放縮方式不同，結(jié) 果也在變化.放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大 分母，分式值縮??；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所 求，第一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮

45、過頭， 同時放縮后便于求和.一 、一一 1例2、證明不等式：1 名 2解 因為對于任意自然數(shù)所以,111123. n2 . 1.02 .2. 12,3.22 . n .n 12 n從而不等式得證.點評：放縮法是一種證明的技巧，要想用好它，必須有目標，目標可以從 要證的結(jié)論中考察.如本題中注意到所要求證的式子左右兩端的差異，以 及希望把左式化簡的目標.例 3 已知 0 a 1 , 0 b 1 , 0 c 1 ,求證：(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 三數(shù)工,1不都大于一.4分析：此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明.假設(shè)命題不成立，則(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a三數(shù)都大于4

46、 ,從這個結(jié)論出發(fā)，進一步去導出矛盾.1證明：假設(shè)(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a三數(shù)都大于4,111(1 a)b (1 b)c (1 c)a 即4 ,4 ,4 .又 0 a 10 b 10 c 1.(1 a)b 1. (1 b)c 1(1 c)a 1222.(1 a)b . (1 b)c .(1 c)a2.(1 a)b又.(1 b)c1 b c 一2一(1 c)a以上三式相加，即得:.(1 a) b (1 b) c . (1 c) a-32顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證.說明：一般情況下，如果命題中有“至多” 、“至少”、“都”等字樣，通常 情況下要用反證法，反證法的關(guān)鍵在于“

47、歸謬” ，同時，在反證法的證明 過程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想.一，、111例4求證1 2.22 32n2分析：此題的難度在于，所求證不等式的左端有多項和且難以合并，右邊只有一項.注意到這是一個嚴格不等式，為了左邊的合并需要考查左邊的1 一，一式子是否有規(guī)律，這只需從 n下手考查即可.證明:1111n2 n n n(n 1)-(n 2) n132說明：此題證明過程并不復雜，但思路難尋.本題所采用的方法也是解不 等式時常用的一種方法，即放縮法.這類題目靈活多樣，需要巧妙變形， 問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵.(七)基本不等式法證明不等式 8882 3 32 3 32 3 3

48、例 1 如果 x, y, z r,求證：x y z x yz yzx z x y .分析：注意到不等式左邊各字母在項中的分布處于分離狀態(tài)，而右邊卻結(jié) 合在一起，因而要尋求一個熟知的不等式具有這種轉(zhuǎn)換功能(保持兩邊項222數(shù)相同)，由(a b)(b C) (C a) 0 ，易得2,22a b c 2bbeca ,此式的外形特征符合要求，因此，我們用如下的結(jié)合法證明.888/ 4X2/ 4X2/ 4、2證明：. X y z (X) (y) (z)x4y4y4x4 z4x4/ 2 2、2/ 2 2、2/ 2 2、2(x y ) (y z ) (z x )222 22 22 22 222x y y z

49、 yz z xz x x y/2x2/ _2 22 22_2_2_ 2_22_(xy z) (yz x)(zx y)xy zyz xyz xzx yzx yxy z2 3 32 3 32 3 3x y z y z x z x y8882 3 32 3 32 3 3.x y z x y z y z x z x y說明：分析時也可以認為是連續(xù)應(yīng)用基本不等式2. 2a b 2ab而得到的.左右兩邊都是二項,222實質(zhì)上是a b cab bc ca公式的連續(xù)使用.如果原題限定x,y,z R，則不等式可作如下變形進一步可得到888333/111、x y zxyz(_)x y zy5 z51113-3_3

50、-.x z x y x y z顯然其證明過程仍然可套用原題的思路，但比原題要難，因為發(fā)現(xiàn)思路還 要有一個轉(zhuǎn)化的過程.nn on1例2已知x是不等于1的正數(shù)，n是正整數(shù)，求證(1 x )(1 x) 2分析：從求證的不等式看，左邊是兩項式的積，且各項均為正，右邊有 2 的因子，因此可考慮使用均值不等式.證明：x是不等于1的正數(shù)，1x2x0 ?.(1 x)n 2YF又1 xn 2技0將式，兩邊分別相乘得nn - n n n(1 x )(1 x) 2 .x 2. xnn c n 1 n. (1 x )(1 x) 2 x說明：本題看起來很復雜，但根據(jù)題中特點，選擇綜合法求證非常順利.由特點選方法是解題的關(guān)鍵，這里因為x 1 ,所以等號不成立，又因為，兩個不等式兩邊均為正，所以可利用不等式的同向乘性證得結(jié)果.這也 是今后解題中要注意的問題.例 3 已知，x, y , z R ,且 x y z 1 ,求證 “'x dy z <3 .分析：從本題結(jié)構(gòu)和特點看，使用比較法和綜合法都難以奏效.為找出使 不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試，待思路清晰后，再決定證題 方法.證明：要證 7x 4y G網(wǎng)，只需證只需證x,z 2( xy- xy - xzy z) 2(. xyxz. yz) 3y 2, xy、.xz . yz)x z 2 xz y z 2 yz. vx