角平分線的性質(zhì)與判定

1、12.312.3角平分線角平分線的性質(zhì)的性質(zhì)福田河中學(xué)福田河中學(xué) 八年級(jí)數(shù)學(xué)組八年級(jí)數(shù)學(xué)組 夏玉焰夏玉焰 什么是角的平分線？怎樣畫一什么是角的平分線？怎樣畫一個(gè)角的平分線？個(gè)角的平分線？BOAC如圖，如圖，ABAD，BCDC，沿著，沿著AC畫一條射線畫一條射線AE，AE就是就是BAC的角平分線，你知道為什么嗎？的角平分線，你知道為什么嗎？DCBAE分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在半徑作弧兩弧在AOB的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于21作法：作法：以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于交于作射線作射線OC則則射線即為所求射線即為所求 探索1

2、將角AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論?OABAOBED角平分線上的點(diǎn)到角的兩角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。邊的距離相等。在在AOB的平分線的平分線OC上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)P，然后，作，然后，作點(diǎn)點(diǎn)P到到AOB兩邊的垂兩邊的垂線段線段PD、PE，畫一畫，畫一畫，量一量，從中你有什么量一量，從中你有什么新發(fā)現(xiàn)？你能說明其中新發(fā)現(xiàn)？你能說明其中的道理嗎？的道理嗎？BOACDPE命題：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等命題：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線

3、上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：已知：OC是是AOB的平分線，點(diǎn)的平分線，點(diǎn)P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分別是，垂足分別是D、E.求證：求證：PD=PE.AOBPED角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語(yǔ)言表示為：用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED121= 2 PD OA ，PE OBPD=PE.BOACDPE1.如圖，如圖，OC是是AOB的平分線，的平分線， PD=PEPDOA，PEOB2.2.如如圖所示，在圖所示，在ABC中，中，C=90，AD是是BAC的平分線

4、交的平分線交BC于于D，BC=15，且，且CD：DB=1：2，則點(diǎn)，則點(diǎn)D到到AB的距離為的距離為_。 3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC，DEAB于于E，則則：圖中相等的線段有哪些？相等的角呢？圖中相等的線段有哪些？相等的角呢？哪條線段與哪條線段與DE相等？為什么？相等？為什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的長(zhǎng)和的長(zhǎng)和AED的周長(zhǎng)。的周長(zhǎng)。EDCBA練一練3在在ABC中，中，ACBC，AD為為BAC的平分線，的平分線，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。EDCBA 4.4.ABCABC中中, C=90, C=900 0,AD,AD平分平分 CAB,CAB

5、,且且BC=8,BD=5,BC=8,BD=5,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離是多少？的距離是多少？ABCDE（點(diǎn)（點(diǎn)D D到到ABAB的距離是的距離是3） 如圖，由如圖，由 于點(diǎn)于點(diǎn) D ， 于點(diǎn)于點(diǎn) E，PD= PE ， 可以得到什么結(jié)論可以得到什么結(jié)論 ？ OBPE PD OA 已知：如圖，已知：如圖， ， ，垂足分別是，垂足分別是 A、B，PD=PE ， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上的角平分線上。AOBOAPD OBPE BADOPE解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為解：設(shè)要截取的長(zhǎng)度為m,則：則： 要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路和鐵路距離相等，且離公路和鐵

6、路的交和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處叉處500米，該集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？米，該集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺（比例尺 1：20 000）公路鐵路200001500X解得：解得：0.025m 2.5cm則點(diǎn)即為所求的點(diǎn)則點(diǎn)即為所求的點(diǎn) 已知：如圖，已知：如圖， ， ， 垂足分別是垂足分別是 D、E，PD=PE， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上的角平分線上。AOB OAPD OBPE 證明： 90PEOPDO作射線OP 點(diǎn)點(diǎn)P在在 角的平分線上角的平分線上AOB 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）BOPAOP （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） OP = OP （公共邊公共邊）PD

7、= PE （ 已已 知知 ）PEORt PDORt 角平分線角平分線的判定的判定BADOPEOAPD OBPE 角平分線的判定角平分線的判定的應(yīng)用書寫格式：的應(yīng)用書寫格式：OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD= PE （到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)， 在這個(gè)角的平分線上）DEOPAB角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)：角平分線的判定角平分線的判定BADOPECPD = PEOP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE OP 是是 的平分線的平分線AOBPD = PEOAPD OBPE 用途：證線段相等用途：證線段相等用途：判定一條射線是角平分線用途：判定一條射線是角平

8、分線例例1.1.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分別是，垂足分別是E E、F F，且且BEBECFCF。求證：。求證：ADAD是是ABCABC的角平分線的角平分線。A AB BC CE EF FDD4.已知：如圖，已知：如圖，C= C=90 ，AC=AC .求證求證（1） ABC= ABC ；（；（2）BC=BC .（要求不（要求不用三角形全等的判定）用三角形全等的判定）BCAC5 5已知已知：如圖，：如圖，BEBEACAC于于E E， CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD， BD=CD BD

9、=CD 。求證：求證： ADAD平分平分BAC BAC 。ABCFED課堂練習(xí)課堂練習(xí)例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相相 交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等. 證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別分別垂直垂直于于AB、BC、CA，垂足為，垂足為D、E、F BM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上（已知）上（已知） PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）兩邊的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊AB、BC、CA的距離

10、相等的距離相等DEFABCPMN練習(xí)：練習(xí)：如如圖，三條公路相交，現(xiàn)在要修建一加圖，三條公路相交，現(xiàn)在要修建一加油站，使加油站到三條公路的距離相等，油站，使加油站到三條公路的距離相等，問加油站該選在什么位置上？問加油站該選在什么位置上？拓展與延伸1、已知:BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在A的平分線上.A A A A A A ADNE BFMCA2、已知已知PA=PB， 1+ 2=1800， 求證：求證：OP平分平分AOBAOBP12EF 3 已知：如圖，已知：如圖，ABC的的B的外角的平分的外角的平分線線BD和和C的外角平的外角平分線分線CE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在BAC的的平分線上。平分線上。CA B P DE課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離