可分離變量的微分方程

1、高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-1-轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xnxxmyynymd)( )(22高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-2-分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè)設(shè) y (x) 是方程是方程的解的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分兩邊積分, 得得 yygd)(xxfd)(cxfy

2、g)()(則有恒等式則有恒等式 )(yg)(xf當當g(y) 與與f(x) 可微且可微且 g(y) g(y)0 時時, 說明由說明由確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù) y (x) 是是的解的解. 則有則有稱稱為方程為方程的的隱式通解隱式通解, 或或通積分通積分.同樣同樣,當當f(x)= f (x)0 時時,上述過程可逆上述過程可逆,由由確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù) x (y) 也是也是的解的解. 高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-3-例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積

3、分兩邊積分xxyyd3d2得得13lncxycxylnln3即即13cxey31xcee3xecy 1cec令( c 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此可能增、因此可能增、減解減解.( 此式含分離變量時丟失的解此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-4-例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得兩邊積分得cxyln11lnln2即即cxy12由初始

4、條件得由初始條件得 c = 1,112xy( c 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )故所求特解為故所求特解為 1)0(y高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-5-例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu則則yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2cxutan解得解得cxyx) 1tan( c 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )所求通解所求通解:高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-6-練習練習:.dd的通解求方程yxexy

5、解法解法 1 分離變量分離變量xeyexyddceexy即即01)(yxece( c 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有故有ueu1積分積分cxeuu1dcxeuu)1 (ln( c 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )所求通解所求通解:cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-7-例例4. 子的含量子的含量 m 成正比成正比,0m求在求在衰變過程中鈾含量衰變過程中鈾含量 m(t) 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有)0(ddmtm00mmt(初始條件初始

6、條件)對方程分離變量對方程分離變量, mmd,lnlnctm得即即tecm利用初始條件利用初始條件, 得得0mc 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.0temmm0mto然后積分然后積分:td)(已知已知 t = 0 時鈾的含量為時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-8-例例5.成正比成正比,求求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為初始條件為對方程分離變量對方程分離變量,mtvkmgvdd然后

7、積分然后積分 :得得cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件利用初始條件, 得得)(ln1gmkc代入上式后化簡代入上式后化簡, 得特解得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為速度為0,)1 (tmkekgmvmgvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. kmgv t 足夠大時足夠大時高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-9-cm100例例6. 有高有高 1m 的半球形容器

8、的半球形容器, 水從它的底部小孔流出水從它的底部小孔流出,.cm12s開始時容器內(nèi)盛滿了水開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中從小孔流出過程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度 h 隨時間隨時間 t 的變的變r解解: 由水力學知由水力學知, 水從孔口流出的流量為水從孔口流出的流量為tvqddhgs262. 0即即thgvd262. 0d求水求水小孔橫截面積小孔橫截面積化規(guī)律化規(guī)律.流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度設(shè)在設(shè)在d,ttt內(nèi)水面高度由內(nèi)水面高度由 h 降到降到 ),0d(dhhhhhdhho高 等 數(shù) 學 china university of mini

9、ng and technology-10-cm100rhhdhho對應(yīng)下降體積對應(yīng)下降體積hrvdd222)100(100hr2200hhhhhvd)200(d2因此得微分方程定解問題因此得微分方程定解問題:hhhthgd)200(d262. 021000th將方程分離變量將方程分離變量:hhhgtd)200(262. 0d2321高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-11-gt262. 0兩端積分兩端積分, 得得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hc利用初始條件利用初始條件, 得得510151426

10、2. 0gc因此容器內(nèi)水面高度因此容器內(nèi)水面高度 h 與時間與時間 t 有下列關(guān)系有下列關(guān)系:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-12-內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解條件定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一個解但不包含前一個解 .例如例如, 方程方程分離變量

11、后積分分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù)根據(jù)定解條件定常數(shù) .解解; 階階;通解通解; 特解特解 y = x 及及 y = c 高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-13-(1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如如: p263,5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如如: 例例4 , 例例 5 )3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 ( 如如: 例例6 )(2)

12、 利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-14-思考與練習思考與練習 求下列方程的通解求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分離變量分離變量(2) 方程變形為方程變形為yxysincos2cxysin22tanln高 等 數(shù) 學 china university of mining and technology-15-,0) 1 ,0(,1fcf課堂練習課堂練