新課標(biāo)高中數(shù)學(xué) 3.2.2一元二次不等式的解法的應(yīng)用一教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修5

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料3.2.2一元二次不等式的解法的應(yīng)用(一)從容說課本節(jié)課由師生共同分析日常生活中的實(shí)際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法,通過具體例題的分析和求解,在這些例題中設(shè)置思考項(xiàng),讓學(xué)生探究,層層鋪設(shè),在學(xué)生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關(guān)系和一元二次不等式解法的步驟、一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系的基礎(chǔ)上,再輔以新的例題鞏固.一元二次不等式的解法的應(yīng)用(一)這節(jié)課通過對(duì)一元二次不等式的概念

2、、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關(guān)系和一元二次不等式解法的步驟、一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系的正確理解.用可以直接或間接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式、二次函數(shù)的知識(shí)來解決的問題,作為對(duì)一元二次不等式的概念、解法以及解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系的知識(shí)能力的延伸和補(bǔ)充.本節(jié)課通過復(fù)習(xí)引入課題,通過例題的講解和學(xué)生的練習(xí),不斷地發(fā)現(xiàn)、深入、探究,步步為營.層層鋪墊既有利于一元二次不等式的概念、解法和解法與二次函數(shù)的關(guān)系以及一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系知識(shí)的鞏固和延伸,更有利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí),充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念

3、.整個(gè)教學(xué)過程,更深入揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系本質(zhì),繼續(xù)一元二次不等式解法的步驟和過程,及時(shí)加以鞏固,同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重點(diǎn) 1.從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型.2.圍繞一元二次不等式的解法展開,突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.3.分式不等式與簡單的高次不等式如何根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則,把它們轉(zhuǎn)化為與其等價(jià)的兩個(gè)或多個(gè)不等式(組)(由表示成的各因式的符號(hào)所有可能的組合決定),于是原不等式的解集就是各個(gè)不等式組的解集的并集.同時(shí)注意分式不等式的同解變形有如下幾種:(1)0f(x)·g(x)0;(2) 0f(x)·g(x)0;

4、(3) 0f(x)·g(x)0且g(x)0;(4) 0f(x)·g(x)0且g(x)0.解簡單的高次不等式一般有兩種思路,即轉(zhuǎn)化法和數(shù)軸標(biāo)根法.其中轉(zhuǎn)化法就是運(yùn)用實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì),把高次不等式轉(zhuǎn)化為低次的不等式組.數(shù)軸標(biāo)根法的基本思路是:整理(分解)標(biāo)根畫線選解.教學(xué)難點(diǎn) 1.深入理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系.2.分式不等式與簡單的高次不等式在轉(zhuǎn)化為一次或二次不等式組時(shí),每一步變形,都應(yīng)是不等式的等價(jià)變形.在等價(jià)變形時(shí),要注意什么時(shí)候取交集,什么時(shí)候取并集.帶等號(hào)的分式不等式,要注意分母不能為零.由于各個(gè)不等式組的解集是本組各不等式解集的交集,計(jì)算較繁

5、,且容易出錯(cuò),同學(xué)們一定要細(xì)心.另外,在取交集、并集時(shí),可以借助數(shù)軸的直觀效果,這樣可避免出錯(cuò).教具準(zhǔn)備 多媒體及課件三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.鞏固一元二次不等式的解法和解法與二次函數(shù)的關(guān)系、一元二次不等式解法的步驟、解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系；2.能熟練地將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式(組),正確地求出分式不等式的解集；3.會(huì)用列表法,進(jìn)一步用數(shù)軸標(biāo)根法求解分式及高次不等式；4.會(huì)利用一元二次不等式,對(duì)給定的與一元二次不等式有關(guān)的問題,嘗試用一元二次不等式解法與二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解題.二、過程與方法1.采用探究法,按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；2.

6、發(fā)揮學(xué)生的主體作用,作好探究性教學(xué)；3.理論聯(lián)系實(shí)際,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.進(jìn)一步提高學(xué)生的運(yùn)算能力和思維能力；2.培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力；3.強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 上節(jié)課我們已經(jīng)知道,一元二次不等式的解與相應(yīng)的一元二次方程的解和二次函數(shù)的圖象的關(guān)系.如果一個(gè)一元二次方程ax 2+bx+c=0有兩個(gè)根x1x 2,則x 1、x 2就把實(shí)數(shù)（x軸）分成了三部分,要解ax2+bx+c0,就要找這三部分中使ax 2+bx+c大于0的部分；同樣,解ax 2+bx+c0,就是要找這三部分中使ax2+bx+c小于0的部分.解一元

7、二次不等式的程序是什么？生 (1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：y=ax2+bx+c0(或0)(a0).(2)計(jì)算判別式,分析不等式的解的情況：0時(shí),求根x1x2,若y0,則xx1或xx2;若y0,則x1xx2;=0時(shí),求根x1=x 2=x0,若y0,則xx0的一切實(shí)數(shù)；若y0,則x;若y=0,則x=x0；0時(shí),方程無解,若y0,則xr;若y0,則x.(3)寫出解集.師 利用這種思想,我們來研究一元二次不等式的應(yīng)用.【例1】 某種牌號(hào)的汽車在水泥路面上的剎車距離（剎車距離是指汽車剎車后由于慣性往前滑行的距離）s m和汽車車速x km/h有如下關(guān)系：.在一次交通事故中,測得這種車的剎車距離大于39.5

8、 m,那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少？（精確到0.01 km/h）生 由題設(shè)條件應(yīng)列式為,移項(xiàng)、整理、化簡得不等式x 2+9x-7 1100.推進(jìn)新課師 因此這個(gè)問題實(shí)際就是解不等式x2+9x-7 1100的問題.因?yàn)?,方程x2+9x-7 110=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即x1-88.94,x279.94.然后,畫出二次函數(shù)y=x 2+9x-7 110,由圖象得不等式的解集為x|x-88.94或x79.94.在這個(gè)實(shí)際問題中x0,所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94 km/h.師 【例2】 一個(gè)車輛制造廠引進(jìn)一條摩托車整車裝配流水線,這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值y（元）之間

9、有如下的關(guān)系：y=-2x 2+220x.若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6 000元以上,那么他在一星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？生 設(shè)在一星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車.根據(jù)題意,能得到-2x2+220x6 000.移項(xiàng)、整理得x2-110x+3 0000.教師精講因?yàn)?1000,所以方程x2-110x+3 000=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1=50,x2=60,然后,畫出二次函數(shù)y=x 2-110x+3 000,由圖象得不等式的解集為x|50x60.因?yàn)橹荒苋≌麛?shù)值,所以,當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51到59輛之間時(shí),這家工廠能夠獲得6 000元以上的收益.知識(shí)

10、拓展【例3】 解不等式(x-1)(x+4)0.思路一：利用前節(jié)的方法求解.思路二：由乘法運(yùn)算的符號(hào)法則可知,若原不等式成立,則左邊兩個(gè)因式必須異號(hào),原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組與的解集的并集,即 x|-4x1=x|-4x1.書寫時(shí)可按下列格式：解：(x-1)(x+4)0或x或-4x1-4x1,原不等式的解集是x|-4x1.思路三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系,因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)表示出來即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0,解得x（從小到大排列）分別為-4,1,這兩根將x軸分為三部分：（-,-4）,（-4,1）,（1,+）.分析這三部分中原不等式左

11、邊各因式的符號(hào)：（-,-4）（-4,1）（1,+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知,原不等式的解集是x|-4x1.點(diǎn)評(píng)：此法叫區(qū)間法,解題步驟是：將不等式化為(x-x1)(x-x 2)(x-xn)0(0)的形式（各項(xiàng)x的符號(hào)化“+”）,令(x-x 1)(x-x2)(x-x n)=0,求出各根,不妨稱之為分界點(diǎn),一個(gè)分界點(diǎn)把（實(shí)數(shù)）數(shù)軸分成兩部分,兩個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成三部分按各根把實(shí)數(shù)分成的幾部分,由小到大橫向排列,相應(yīng)各因式縱向排列（由對(duì)應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào),下面是乘積的符號(hào)；看下面積的符號(hào)寫出不等式的解集（你會(huì)發(fā)現(xiàn)符號(hào)的規(guī)律嗎

12、）.練習(xí)1：解不等式：(1)x 2-5x-60；(2)(x-1)(x+2)(x-3)0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)0.答案：(1)x|x2或x3；(2)x|-2x1或x3；(3)x|-1x0或2x3.教師書寫示范：如第(2)題：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)0.解：檢查各因式中x的符號(hào)均正；求得相應(yīng)方程的根為-2,1,3；列表如下：（-,-2）（-2,1）（1,3）（3,+）x+2-+x-1-+x-3-+各因式積-+-+由上表可知,原不等式的解集為x|-2x1或x3.思路四：上面的區(qū)間法實(shí)際上是把看相應(yīng)函數(shù)圖象上使y0或y0的x的部分?jǐn)?shù)值化列成表了,我們?cè)囅肴裟墚嫵鰣D象（此

13、時(shí)我們只注意y值的正負(fù)不注意其他方面）,那么它相對(duì)于x軸的位置應(yīng)是什么呢？可把表上各部分函數(shù)值的正負(fù)情況用下圖表示,由圖即可寫出不等式的解集.由此看出,如果不像上面那樣列表,就用這種方法也可以求這個(gè)不等式的解.你能總結(jié)一下用這種方法解不等式的規(guī)律嗎？將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-x n)0(0)的形式,并將各因式x的系數(shù)化“+”；求根,并在數(shù)軸上表示出來；由右上方穿線,經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么）；若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.這種方法叫數(shù)軸標(biāo)根法.練習(xí)2：用數(shù)軸標(biāo)根法解上述練習(xí)1中不等式（1）

14、（3）.教師書寫示范：如第（2）題：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)0.解：將原不等式化為x(x-3)(x-2)(x+1)0；求得相應(yīng)方程的根為-1,0,2,3；在數(shù)軸上表示各根并穿線（自右上方開始）,如右圖：原不等式的解集為x|-1x0或2x3.合作探究師【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)0.解：檢查各因式中x的符號(hào)均正；求得相應(yīng)方程的根為-1,2,3（注意：2是二重根,3是三重根）；在數(shù)軸上表示各根并穿線,每個(gè)根穿一次（自右上方開始）,如下圖：原不等式的解集為x|-1x2或2x3.說明：3是三重根,在c處穿三次,2是二重根.在b處穿兩次,結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出

15、,當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x 1)n,n為奇數(shù)時(shí),曲線在x 1點(diǎn)處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時(shí),曲線在x 1點(diǎn)處不穿過數(shù)軸,不妨歸納為“奇穿偶不穿”.【練習(xí)3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)0.解：將原不等式化為(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相應(yīng)方程的根為-2（二重）,-1,3；在數(shù)軸上表示各根并穿線,如右圖：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.點(diǎn)評(píng)：注意不等式若帶“=”,點(diǎn)畫為實(shí)心,解集邊界處應(yīng)有等號(hào)；另外,線雖不穿-2點(diǎn),但x=-2滿足“=”的條件,不能漏掉.教師精講師 由分式方程的定義不難聯(lián)想到：分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.例如,等都是分式不

16、等式.師 分式不等式的解法.由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù),不等號(hào)方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù),不等號(hào)方向要變；分母中有未知數(shù)x,不等式兩邊同乘以一個(gè)含x的式子,它的正負(fù)不知,不等號(hào)方向無法確定,無從解起,若討論分母的正負(fù),再解也可以,但太復(fù)雜.因此,解分式不等式,切忌去分母.解法是：移項(xiàng)、通分,右邊化為0,左邊化為f(x)g(x)的形式.【例5】 解不等式：.解法一：化為兩個(gè)不等式組來解.0或x或-7x3-7x3,原不等式的解集是x|-7x3.解法二：化為二次不等式來解.-7x3,原不等式的解集是x|-7x3.點(diǎn)評(píng)：若本題帶“=”,即(x-3)(x+7)0,則不等式解集中應(yīng)注意x

17、-7的條件,解集應(yīng)是x|-7x3.【例6】 解不等式：.解法一：化為不等式組來解(較繁).解法二：原不等式的解集為x|-1x1或2x3.練習(xí)：解不等式.答案：x|-13x-5.方法引導(dǎo)講練結(jié)合法通過講解強(qiáng)化訓(xùn)練題目,加深對(duì)分式不等式及簡單高次不等式解法的理解,提高分析問題和解決問題的能力.針對(duì)不同類型的不等式,使學(xué)生能靈活有效地進(jìn)行等價(jià)變形.上述過程以學(xué)生自主探究為主,教師起引導(dǎo)作用,充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用,新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作用,激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,勇于探索的精神.課堂小結(jié)1.關(guān)于一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用題,要注意其實(shí)際意義.2.求解一般的高次不等式的解法

18、.特殊的高次不等式即右邊化為0,左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式,一般用區(qū)間法解,注意：左邊各因式中x的系數(shù)化為“+”,若有因式為二次的（不能再分解了）二次項(xiàng)系數(shù)也化為“+”,再按我們總結(jié)的規(guī)律做；注意邊界點(diǎn)（數(shù)軸上表示時(shí)是“?！边€是“ .”）.3.分式不等式,切忌去分母,一律移項(xiàng)通分化為 (或的形式,轉(zhuǎn)化為,（或,即轉(zhuǎn)化為一次、二次或特殊高次不等式形式.布置作業(yè)完成第90頁習(xí)題3.2a組第5、6題,習(xí)題3.2b組第4題.板書設(shè)計(jì)一元二次不等式的解法的應(yīng)用（一）例題例題 練習(xí)一元高次不等式解題步驟備課資料備用例題【例1】 已知關(guān)于x的方程2x 2+4mx+3m-1=0有兩個(gè)負(fù)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.探路:列出方程有兩個(gè)負(fù)根的等價(jià)條件（不等式組）,然后解不等式組.解:已知方程有兩個(gè)負(fù)根的等價(jià)條件是m或m1.m的取值范圍是（, 1,）.點(diǎn)評(píng):1.方程有兩個(gè)負(fù)根包含兩個(gè)負(fù)根相等的情形,故0,因此列成0是錯(cuò)誤的.又若只列成0也是錯(cuò)誤的,0只能保證方程有實(shí)根,而不能保證有兩個(gè)負(fù)根,所以還要聯(lián)立x1x20,x 1+x 20的條件.2.利用不等式討論方程的根的情況,是不等式的重要應(yīng)用.【例2】 已知a=x|x2-3