固體物理習(xí)題帶答案

1、第一章：晶體結(jié)構(gòu)1.證明：立方晶體中，晶向hkl垂直于晶面(hkl)。證明：晶向hkl為 hQi + kE + lE ， 其倒格子為百=2兀仝雖& = 2兀環(huán)瓦_(dá)=2兀一。可以知道英倒格子矢鼠示 (a3 x a3)- 需 (a2 x a3)務(wù) (a3 x a3)dh)d半行晶向。同時(shí)對(duì)JSIAlfti (hkl) nJ以得到倒格子矢杲與其眶仏證明如卜：因?yàn)?bj = 2 , 6耽=陽(yáng)+迅+幅，如圖所示：-> a aa aCA= h 1 CB= k 1 "上圖屮分別對(duì)應(yīng)閔)很容易證明 CA=Q. CB = 0o因此色訊與晶面族(hkl)正交。所以得出結(jié)論晶向hkl 垂宜于

2、晶面(hkl)o2.晶面族(hkl)的面間距d與倒格矢K = 1山+匪+曬的關(guān)系是d =備 lKl證明：因?yàn)?血+迅+ 10)" = 2加，11取不同值代衷一個(gè)一族晶而系屮，不同的晶面。0因此，苴面間距為hbj + kb2 +3試寫(xiě)出簡(jiǎn)單立方，面心立方，體心立方的初基矢量以及相應(yīng)的倒格矢。解：簡(jiǎn)單的初基矢量和倒格矢相同，面心和體心立方的初從欠最和倒格 矢分別是面心立方的倒格矢為體心立方，體心立方的倒格矢為而心立方。具體討 論見(jiàn)黃昆版固體物理P178.4. 寫(xiě)出晶體有幾大晶系，幾個(gè)布拉菲格子，幾個(gè)點(diǎn)群，幾個(gè)空間群。解：晶體中7大晶系，14種布拉伐格子，32個(gè)點(diǎn)群，230個(gè)空間群。5.

3、寫(xiě)出七大晶系解：七人晶系分別為：三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、 六角晶系、立方晶系。6. 證明：立方晶系中，面指數(shù)（hikili）和（h2k2l2）的兩個(gè)晶面夾角為1山+哄+ 1山葉 + 沖+1：)"血+ ©+£)"解：面指數(shù)為flnkili）的晶而與倒格矢編站相互庭匕面指數(shù)為（11火12）的晶而與倒格 矢&3山垂直因此兩個(gè)晶而的夾角即為兩個(gè)倒格矢的夾角。因此苴夾角為W 00、7. 證明立方對(duì)稱晶體中，介電常數(shù)張量為對(duì)角張量：£= 00<° 0 0解：（詳見(jiàn)黃昆固體物理P26 ）介電常數(shù)按照一般表示為

4、：Da =（£afi = ）. Jt屮Q, 0表示沿x, y , z軸的分杲，我們選取x, y , zp沿立方晶體的三個(gè)立方軸的方向。顯然，一般地講，如果把電場(chǎng)E和晶體同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，D也將做和同轉(zhuǎn)動(dòng)，我們將以D'表示轉(zhuǎn)動(dòng)后的欠彊。設(shè)E沿y軸，這時(shí)，上面一般表達(dá)式將歸結(jié)為：Dx = E,Dy =考偲把晶體和電場(chǎng)同時(shí)繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)龍/2,使z軸轉(zhuǎn)到x軸，x軸轉(zhuǎn)到-z軸，D將做相同轉(zhuǎn)動(dòng)，因此D ； = DX =嘉 EDy =Dy = fED Z = -Dx = 7yE但是，轉(zhuǎn)動(dòng)是以E方向?yàn)檩S的，所以，實(shí)際上電場(chǎng)并未改變，同時(shí)，上述轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)立方晶體 的一個(gè)対稱操作，所以轉(zhuǎn)動(dòng)前后晶體應(yīng)沒(méi)仃任何差

5、別，所以電位移矢昴實(shí)際上應(yīng)半不變，即D =Do將其帶入轉(zhuǎn)動(dòng)后的變換式就得到 = %,% = -勺。表明 = = 0。如果取E沿z方向并繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)龍/2,顯然將可以按相同的辦法證明 W = 0°這樣我們就證明了，° 的罪對(duì)角尤都等J- 0 J -是一般農(nóng)達(dá)式將化為Da = %Ea（Q= x,y,z）。再取沿電場(chǎng)1 1 1方向，則。* = £“。=務(wù),。2 =乙，皆為吉E，繞1 1 1轉(zhuǎn)動(dòng)2兀/3,便z軸轉(zhuǎn)到原x軸，x軸轉(zhuǎn)到原y軸，y軸轉(zhuǎn)到原z軸，電位移欠磺轉(zhuǎn)動(dòng)后應(yīng)寫(xiě)成 1Dx = Dz = £=, D y = Dx =» Dz = Dy = &#

6、163;療，也皆為希E。和前面論證一樣，電場(chǎng)實(shí)際木變，晶體所經(jīng)歷的是一個(gè)對(duì)稱操作，晶體也完全不變，所以D'應(yīng)和D相同。從而町乙0 0、以得到* =知=£二=5。由此得到介電常數(shù)張鼠為對(duì)角張民 " 0心 0 1° 0 %8. 證明：在晶體的x射線衍射中0為布拉格角，（1）如果波長(zhǎng)改變，則反射線偏轉(zhuǎn)-個(gè)角度。專訃（2）當(dāng)晶體發(fā)生體膨脹時(shí)，反射線將偏轉(zhuǎn)角度 & = 牛詔，“為體脹系數(shù)解：（1）、布拉格衍射公式為2dsiii=A,吒然波長(zhǎng)改變，則兩邊同時(shí)求導(dǎo)，有 A 22dA（9cos = AA,將兩式組合,則可得48=tg。A（2）、當(dāng)晶體發(fā)牛膨脹時(shí)，則

7、為d改變，將布拉格衍射公式2dsin（9= A左右兩邊同時(shí)対d求導(dǎo)，則2Adsiii = AA0又有0為體膨脹系數(shù)：/? = -o所以得 0=£前。d39.證明簡(jiǎn)單立方平面族（hkl）的面間距為d = . （晶格常數(shù)為aVh2 + k2 + l2解：與第二題同。此處略。10證明晶體點(diǎn)陣轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱軸只有1, 2, 3, 4, 6。解：（詳見(jiàn)黃昆固體物理P30）設(shè)想有一個(gè)對(duì)稱軸垂苴于平面，平面內(nèi)晶面的格點(diǎn)可以用區(qū)i+l並來(lái)描述。如圖所示繞轉(zhuǎn)軸的任意對(duì)稱操作，轉(zhuǎn)過(guò)角度為：&；B點(diǎn)轉(zhuǎn)到B'點(diǎn)，從而得知，該點(diǎn)必冇一個(gè)格點(diǎn);A點(diǎn)和B點(diǎn)是等價(jià)的,以通過(guò)B點(diǎn)的軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)A點(diǎn)轉(zhuǎn)到A點(diǎn),

8、從而得知該點(diǎn)必有 一個(gè)格點(diǎn)；且冇B A = n AB ,苴中n 為整數(shù)。從而冇B A = （l-2cos） AB , l-2cos = n cos&=Q-n）/2 , cos=1,0.5,0,-0.5-1 <> 所以 n 只能取值一 1QU3，相應(yīng)的角度:& = 60°90°20°80°60°,由此得出結(jié)論：任何胡體的宏觀對(duì)稱性只能有以卜兒種対稱素:1.23.4.61.2.3.4.6計(jì)算面心立方和體心立方的衍射結(jié)構(gòu)因子，并說(shuō)明它們的消光條件。解：消光條件為：» =工e''（=0a第二章：原子

9、的結(jié)合i.設(shè)原子間的互作用能表示為i)=-詈+£。證明：要使兩原子處于平衡狀 態(tài)，則n>m解：原子間的相互作用能為：吩)=-為+ £。若兩原子處尸卜衡狀態(tài)時(shí)，則其柑互 作用能處于極小值：這時(shí)存色® =各+(-n)- =0 o所以白drr小嚴(yán)ina m+lroP111an-m所以有j)= _(一m)(一m -1)+ (-n)(-n -1)> 0P、m(m+l) n-m> *0a n(n + l)結(jié)合上面兩式,所以得n>m°第三章：晶格振動(dòng)1.證明：由兩種不同質(zhì)量M,m (M>m)的原子所組成的一維復(fù)式原子鏈中， 如果波矢取邊界

10、值q = ±l/(2a) (2a為晶格常數(shù))，則在聲學(xué)支上，質(zhì)量為m的輕原子全部保持不動(dòng)，在光學(xué)支上，質(zhì)量為M的重原子保持不動(dòng)。 證明：關(guān)于一維復(fù)式晶格振動(dòng)：質(zhì)量為 M 的原子位 J 211-1,211 + 1,211 + 3 * -O質(zhì)吊為m的原子位J：2n,2n + 2,2n + 4。牛頓運(yùn)動(dòng)方私 呼口八仔一如1 一九4)體系“個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方民 =-血+2 -心)方程解的形式：dn =血3«小】，=映0帶回到運(yùn)動(dòng)方程得到：(2“-mft/)A- (2/?cosaq)B = 0- (20 cos aq)A+ (20 - Mcer)B = 0若A、B有非冬的解，系

11、數(shù)行列式滿足lpmar -20cosa=o。 - ip cosaq ip - Mdr所以解得” = 0(m+M)±一_sinq"。一維復(fù)式品格的結(jié)果與一維單原niM(m+ M)-子晶格的情形比較，e與qZ間存在著兩種不同的色散關(guān)系。一維復(fù)式晶體中町以存在兩種獨(dú)立的格波。兩種不同的格波的色散關(guān)系：2 門(m+ M),“ 4niM .=丿門、4niM(m+ M)3sill2 aq1/2將示和國(guó)分別代入上而運(yùn)動(dòng)方程'得到+叢爲(wèi)和ina)J - ip2/?cosaq(£)=s。所以對(duì)j：聲學(xué)支(邑).=s是輕原子保持在波矢去邊界值時(shí),(£)+ = 0,不

12、動(dòng)，光學(xué)支(-)+ = 0上是重原子保持不動(dòng)。2.如果將一維單原子鏈中的原子的振動(dòng)位移寫(xiě)成如下形式： (t) = Acos(6d- 2iiaq)。試求格波的色散關(guān)系。解：一維單原子鏈中，牛頓方程為：nKn = Z?(xn+1+xn_1-2xn)若將It振動(dòng)位移寫(xiě)成(t)= Acos(at-2iiaq)代入牛頓方程，則有ar = l-cos(2q)M此其色散關(guān)系為11169 =一 cos(2aq)。3設(shè)有一縱波耳©= Acos3-勿naq)沿一維單原子鏈傳播，原子間距為a ,最近鄰互作用的恢復(fù)常數(shù)為0,試證明：每個(gè)原子對(duì)時(shí)間平均的總能量為e= -nw2A2, m為原子的質(zhì)量。2解：fl

13、體解答見(jiàn)圖：解題步驟一樣。解答<1)絡(luò)波的總能扯為各原子能笛的總和，其中第刀個(gè)原子的 動(dòng)能為1叫 R而該原子與第n + 1個(gè)原子之間的勢(shì)能為寺0( %H)I若只考慮最近鄰相互作用，則格波的總能量為E =工 *皿詈)+ S 一 如并M將uM = Ac os（5 qna ）代入上式得E =；一 qna）R+訓(xùn)s設(shè)f為原子按動(dòng)的周期利用4sinz wt（2n + 1 ）qa J sin2 晉可得mtu2A2sin2（cut qna）dt2 4 寺sf - *（2n + l）ga1一- 1 fT=ma）LAiN+pyVNsin?羚.式中N為原子總數(shù).<2)每個(gè)原子的時(shí)間平均總能量則為1 /

14、?/l2sin2 晉.再利用色散關(guān)系22/ ,、鎚 2 理勿=jl 一 ?？?=崇亦專便得到每個(gè)原子的時(shí)間平均能軸£ 】2-2百=嚴(yán)A注：在上I衍計(jì)算屮用到了和差化枳公式：cos a -cosb = 2 sillsin -。2 24.證明：由N個(gè)質(zhì)量為m的相同原子組成的一維單原子晶格，每單位頻率間 隔內(nèi)的振動(dòng)方式數(shù)為g3) =迺(絲-”尸門式中0為恢復(fù)力常數(shù)。兀 m解：由N個(gè)質(zhì)最為m的柑同原子組成的一維單原子晶格，色散關(guān)系為0)=siii(aq)Jt振動(dòng)模式密度為割)唱存命dq式中L=Na o所以g(=xn?；?jiǎn)為 g(ty) = ar)1'2 兀 m5.推導(dǎo)一維和二維晶體在

15、德拜近似下的晶格振動(dòng)模式密度，以及德拜熱容量。 解：徳拜假設(shè)彈性波的色散關(guān)系為(O=Cq.首先考慮一維情況卜的晶格振動(dòng)模式密度：gi(e) = 2x(L/2”)x力 L/(;zC) 同理在二維情況下的晶格振動(dòng)模式密度為：g3(<») = I? /(2”)'x 2喫甘丁 x。在計(jì)算徳拜熱容時(shí)首先需?？紤]的是猛，根據(jù)©/町以得到如卜關(guān)系式：3.Jg她=0tw=2N1/2計(jì)算后得曲對(duì)應(yīng)丁一維和二維的情況，分別有：驗(yàn)=STC8NC-則利用徳拜溫度表達(dá)式®D =可以分別計(jì)算出在一維和二維情況下的徳拜溫（T A3®Drr"鳥(niǎo)）=9忖j度

16、74;W ©D2<>則，徳拜熱容即町利用徳拜溫度表達(dá)出來(lái)站。式屮？為§二方初kpT, R=NkB為氣體當(dāng)數(shù)。第四章：晶體缺陷1. 在單原子晶體中，原子在間隙位置上的能量比在格點(diǎn)位置上高1"。設(shè)間隙 位置數(shù)等于空位數(shù)，試求什么溫度下，有V1000的原子躍入間隙位置。解：n = Ne,kBT,式中上=丄，u = leV, 1<b為波爾茲曼常數(shù)。N 1000所湘出結(jié)樂(lè)-耐麗2.推導(dǎo)肖特基點(diǎn)缺陷和弗倫科爾點(diǎn)缺陷的平術(shù)點(diǎn)缺陷濃度。解：肖特基點(diǎn)缺陷：設(shè)在熱平衡狀態(tài)，其中肖特基缺陷的數(shù)目1】町由體系口山能F取極小值的條件得 到。設(shè)晶體有N個(gè)原子，從中產(chǎn)生&qu

17、ot;空位的方式數(shù)目為2*麗詢肖特基缺 陷使晶格中原子的兒何分布的組態(tài)增多，引起晶格組態(tài)爛(或稱混介爛)増加SukBlnP , 這里的1<b為波爾總曼滋數(shù).卄產(chǎn)生一個(gè)肖特某缺陷的能彊為,則n個(gè)空位便體系口由能 的該變鼠為AF=nuv-TAS ,由自由能極小條件 =0 ,再利用斯特令近似 lnN!«NhiN-N,可求得肖特基缺陷的平衡數(shù)目n = Ne,kBT。死倫克爾缺陷：設(shè)邦倫克爾缺陷數(shù)冃為n,晶體仃N個(gè)原子，N'個(gè)間隙位置。J：是I】個(gè)空位在晶體中. n |分布的方式冇cf,而n個(gè)填隙原子在N'個(gè)位置冇C? =J種分布方式。故11個(gè) n!(N - n)!卯倫克

18、爾缺陷*jP = C：cJ種組態(tài)，體系相應(yīng)爛増帚即混合爛為AS = kBliiP o若u為形成一個(gè)JI；倫克爾缺陷的能吊，則晶體冇n個(gè)舛倫克爾缺陷時(shí)的自由能改變駅為AF = ns-TAS ,有自由能極小條件 =0以及利用人數(shù)N的特斯令近似公式 館1iiN!«N1iiN-N ,町求得在熱T-衡時(shí)晶體屮的鴨倫克爾缺陷數(shù)目11 =（NN y/_ exp（- u / 2kBT）。3有限源擴(kuò)散中，求時(shí)間t之后擴(kuò)散粒子的均方位移。4.推導(dǎo)愛(ài)因斯坦關(guān)系妙T=qD第五章：1.已知一維金屬晶體共含有N個(gè)電子，晶體的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。設(shè)T=OK,試求:1）電子的能態(tài)密度2）晶體的費(fèi)密能級(jí)3）晶體電子的平均能量解：1）、一維金屬晶體的能態(tài)密度為："伍）=2字=還但）"。術(shù) k7th2）、晶體的OK卜的費(fèi)米能級(jí)由公式N= jN（E）dE確定，由此可計(jì)算出在OK卜的費(fèi)米能3）、電子的平均能屆為豆二=善，Jti|iE= jEN（E）dEo所以其平均能鼠為:- = (n£12111L22. 如忽略費(fèi)密能級(jí)隨溫度的變化，試證明，金屬中電子能級(jí)隨溫度的變化，試 證明，金屬中電子能級(jí)隨溫度的變化符合e-efT式中f為費(fèi)密分布函數(shù).對(duì)兩邊求導(dǎo)，則可得：=解：若忽略費(fèi)米能級(jí)隨溫度的變化，那么對(duì)丁費(fèi)米分布函數(shù)£（£）=