高等數(shù)學(xué)課件——函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、3-4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 l函數(shù)的單調(diào)性l曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調(diào)性( )( )0;( )( )0.f xfxf xfx已觀察：單調(diào)增加，則 單調(diào)減少，則問題：反之，是否成立？1:( ) , ( , ).(1)( )0,( , ).( ) , (1)( )0,( , ).( ) , .thf xa ba bfxxa bf xa bfxxa bf xa b 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo) 在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞減注：定理中的閉區(qū)間換成其它各種區(qū)間，仍成立.3.yx例：討論的單調(diào)性( )(1,2, ),( )0, ( )0( )0. ( ). fiiff xdx in

2、fxfxfxf xd注：若在內(nèi)有限個點(diǎn)有其它點(diǎn)處均有或則函數(shù)在上仍是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,( )0,( ),( )0,( )ffffxdfxf xdxdfxf xd 即：對則在上遞增； 對則在上遞減.1.sin0 2.yxx討論在，上的單調(diào)性2.-1.xyex討論的單調(diào)性233.yx討論的單調(diào)性( )( )0( ).yf xfxfx注：單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)可能是 使的點(diǎn)(即駐點(diǎn))； 或者不存在的點(diǎn)( )( )fxf x用來給出單調(diào)區(qū)間的方法：(1)( );ff xd求出的定義域(2)( )0( )fxfx求出及不存在的點(diǎn)；(3), ( ).fiidifxi以這些點(diǎn)將定義區(qū)間進(jìn)行劃分，得到小區(qū)間在 上

3、的符號固定，從而來判定單調(diào)性324.( )29123.f xxxx討論函數(shù)的單調(diào)性21212. ( )61812. ( )01,2. 1,2(- ,1,1,2,2,). (- ,1)( )0.( )(- ,1(12)( )0.( )1,2(2,)( )0.( )ffdrfxxxfxxxxxdfxf xfxf xfxf x解：令得：將劃分為在內(nèi)，在上單調(diào)遞增； 在 ，內(nèi)，在上單調(diào)遞減； 在內(nèi)，2,).在上單調(diào)遞增6.(0,)sin.2xxx證明：當(dāng)時， 應(yīng)用：利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明f(x)g(x),x a,b的步驟：(1)構(gòu)造函數(shù)f(x)=f(x)g(x)；(2)由f(x)的符號判斷

4、出f(x)的單調(diào)性；(3)求出f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)或f(b)， 再與f(x)加以比較，從而得證。注意對f(x)在端點(diǎn)a或b處連續(xù)性的強(qiáng)調(diào)。7.0sintan2 .2xxxx證明：當(dāng)時，二、曲線的凹凸性121212:( ),()() .22( )() ( ).deff xix xixxf xf xff xiyf x設(shè)在 上連續(xù)，對有 稱在 上的圖形是 向上 凹的的圖形稱為凹弧1212()().22xxf xf xf()向上凸的凸弧2:( ) , ( , ).(1)( )0,( , ).( ) , (1)( )0,( , ).( ) , .thf xa ba bfxxa bf xa

5、bfxxa bf xa b 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)則 在上的圖形是凹的； 在上的圖形是凸的1.lnyx討論曲線的凹凸性.32.yx討論曲線的凹凸性.00:(,(), defxf x曲線上有一點(diǎn)曲線在該點(diǎn)一邊是上凸的，在另一邊是上凹的.稱該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).33.yx討論曲線的凹凸性.( )( )0( ).yf xfxfx注：凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)可能是 使的點(diǎn)； 或者不存在的點(diǎn)( )yf x尋找曲線凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的方法：(1)( );ff xd求出的定義域0(2)( )0( )fxfxx求出及不存在的點(diǎn) ；000(3)( )(,(). .fxxxf x檢查在 兩側(cè)的符號， 若符號相反，則是拐點(diǎn)；

6、否則，不是同時，可以給出凹凸區(qū)間324.(1)yxx討論曲線的凹凸性及拐點(diǎn).應(yīng)用：利用曲線凹凸性證明不等式1().(0,0,1)22nnnxyxyxyxy n證明：-1-2( )(1,0). ,( ),( )( -1). ,( )0. ( ).( )( )0,0,.221 ()22nnnfnnnf ttntdrftntftn nttrftf ttxyf xf yxyfxyxy 證明：構(gòu)造函數(shù)則對于是，曲線是凹的 故，對即. n內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別ixxf,0)()(xf在 i 上單調(diào)遞增ixxf,0)()(xf在 i 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別ixxf ,0)(上向上凹在曲

7、線ixfy)(ixxf ,0)(+上向上凸在曲線ixfy)(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.不等式的證明思考與練習(xí) 1 ,0上,0)( xf則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffa)0()0() 1 () 1 ()(ffffb)0() 1 ()0() 1 ()(ffffc)0() 1 ()0() 1 ()(ffffd提示提示: 利用)(xf 單調(diào)增加 ,) 10()()0() 1 (fff及b1. 設(shè)在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)0(,0)( fxf設(shè) 證明對任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf證證：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx不妨設(shè) )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x機(jī)動 目錄 上頁 下頁