隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

1、 四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法由參數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法由參數(shù)0 方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) p78定義定義: :. )(0),(,0),(xfyyxfyxyxf 函函數(shù)數(shù)該該區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)確確定定了了一一個(gè)個(gè)隱隱在在那那么么就就說說方方程程的的值值存存在在唯唯一一的的相相應(yīng)應(yīng)地地總總有有滿滿足足這這方方程程間間內(nèi)內(nèi)的的任任意意值值時(shí)時(shí)取取某某區(qū)區(qū)當(dāng)當(dāng)中中設(shè)設(shè)在在方方程程.)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱

2、函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?例例1 1)1 1).,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解:求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).2)2)設(shè)設(shè) y=y(x) 由方程由方程 ey =xe f(y) 確定確定, f 二階可導(dǎo)二階

3、可導(dǎo), f 1, 求求 y .解解 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo): ey y = e f(y) + x e f(y) f (y) y 故故)()()(yfxeeeyyfyyf )(11yfx 22)(1 )()(1 yfxyyfxyfy 332)(1 )()(1 yfxyfxyfx 3) 函數(shù)函數(shù)y=y(x)由方程由方程0)sin(222 xyeyxx所確定所確定, dxdyxyyxyyxeyx2)cos(2)cos(222222 求求y 解：解：02)22()cos(222 yxyeyyxyxx例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線

4、的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn)上上求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線ccxyyxc 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(04)(122123222 yyy

5、yyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy2、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x1

6、42)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 3、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參

7、數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) p79.,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt d

8、tdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即2) 設(shè)設(shè) ),1(,

9、)(3tefyxfx 其中其中f 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且., 0)0(0 tdxdyf求求3)0()0(3)()1(30330 fftfefedxdytttt解：解：3) 求求 對(duì)數(shù)螺線對(duì)數(shù)螺線 e 在點(diǎn)在點(diǎn))2/,(),(2/ e處的切線的直角坐標(biāo)方程。處的切線的直角坐標(biāo)方程。.2/ eyx解：解： sinsin,coscoseyex曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為處的切線的斜率為1sincoscossin2/)2/,(2/ eeeeye因此，所求切線方程為因此，所求切線方程為),0(2 xey 即即)2/,(2/ e點(diǎn)點(diǎn)的直角的直角 坐標(biāo)為坐標(biāo)為)2/,(2/ e), 0(2/ e例例7 7解解

10、.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻求求其其運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計(jì)計(jì)空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時(shí)刻沿時(shí)刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020s