靜態(tài)誤差理論及數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)報(bào)告

1、靜態(tài)誤差理論及數(shù)據(jù)處理綜合應(yīng)用報(bào)告摘要：誤差理論從產(chǎn)生到發(fā)展，經(jīng)歷了很長一段時(shí)間。研究誤差的意義在于能夠正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，并且正確處理測量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果。本文主要針對靜態(tài)誤差，具體闡述了靜態(tài)誤差理論，以及靜態(tài)誤差理論在實(shí)際數(shù)據(jù)處理中的具體運(yùn)用。關(guān)鍵字：靜態(tài)誤差 數(shù)據(jù)處理一、靜態(tài)誤差理論1. 誤差的基本性質(zhì)1.1誤差的基本概念誤差是評定測量精度的尺度，誤差越小表示精度越高。1在測量中，誤差就是測量值與真值之差。若某物理量的測量值為y，真值為Y，則測量誤差dy = y - Y。雖然真值是客觀存在的，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)它一般無從得知。按照誤差的性質(zhì)，可分為隨機(jī)誤差，系統(tǒng)

2、誤差和粗大誤差三類。隨機(jī)誤差：是同一測量條件下，重復(fù)測量中以不可預(yù)知方式變化的測量誤差分量。系統(tǒng)誤差：是同一測量條件下，重復(fù)測量中保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測量誤差分量。粗大誤差：指超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。1.2隨機(jī)誤差1.2.1 定義測得值與在重復(fù)性條件下對同一被測量進(jìn)行無限多次測量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。1.2.2 特征在相同測量條件下，多次測量同一量值時(shí)，絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化的誤差。 1.2.3 關(guān)于隨機(jī)誤差的正態(tài)分布特征當(dāng)對同一量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測量，得到一系列的測量值，每個(gè)測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有特定的規(guī)律，但就誤差的總體而言，卻有統(tǒng)計(jì)規(guī)律

3、。多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。2分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性。設(shè)被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機(jī)誤差可表示為： 式中。正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為 式中：標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差） e自然對數(shù)的底，基值為2.7182。它的數(shù)學(xué)期望為： 它的方差為：由正態(tài)分布函數(shù)公式可知，即絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；隨機(jī)誤差只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即-k,+k,稱為誤差的有界性；隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零，這稱為誤差的補(bǔ)償性。31.2.4 算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算1.2

4、.4.1 算術(shù)平均值由于隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，正，負(fù)誤差的絕對值相等，因此，多次測量的算術(shù)平均值作為被測量的測量結(jié)果，能減小隨機(jī)誤差的影響。設(shè)x1,x2,x3, ,xn為n次測量值,則算術(shù)平均值x為x=1ni=1nxi1.2.4.2 實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差由于隨機(jī)誤差的存在，等精度測量中各測得值一般皆不相同，它們圍繞著測量列的平均值有一定的分散性，測量的標(biāo)準(zhǔn)差可用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差表征，由貝賽爾公式計(jì)算。s=1n-1i=1n(xi-x)2應(yīng)當(dāng)指出，標(biāo)準(zhǔn)差不是測量列中任何一個(gè)具體測得值的隨機(jī)誤差，標(biāo)準(zhǔn)差的大小說明在一定條件下的等精度測量隨機(jī)誤差的概率分布情況。標(biāo)準(zhǔn)差大，隨機(jī)誤差的分布范圍

5、寬，精密度低；標(biāo)準(zhǔn)差小，隨機(jī)誤差的分布范圍窄，精密度高。1.2.4.3 算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差如果在相同條件下對同一量值做多組測量，每一測量列都有一算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測量列的平均值各不相同，它們圍繞著真值有一定的分散性，因此可用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來表征算術(shù)平均值的分散性。sx=sn=1n(n-1)i=1n(xi-x)21.3系統(tǒng)誤差 1.3.1 定義在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。1.3.2 性質(zhì) 在相同條件下，多次測量同一量值時(shí)，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。1.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

6、方法如何發(fā)現(xiàn)測量中的系統(tǒng)誤差，是分析和處理系統(tǒng)誤差的首要問題。只有將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素全部找出，才能采取相應(yīng)的措施消除或減弱系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。由于產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素是多方面的，又很復(fù)雜，我們還不能找到一套適用于所有系統(tǒng)誤差的通用方法。但對于測量中存在的較為顯著的系統(tǒng)誤差，可以通過一些檢驗(yàn)方法和手段發(fā)現(xiàn)。4 1. 通過實(shí)驗(yàn)對比檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差為了驗(yàn)證某一測量儀器或測量方法是否存在系差，可用高一級精度的儀器或測量方法給出標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行對比檢驗(yàn)。這種檢定不僅能發(fā)現(xiàn)測量中是否存在系差，而且能夠確定具體數(shù)值。有時(shí)，由于測量精度高或被測參數(shù)復(fù)雜，難以找到高一級精度的測量儀器或測量方法提供的標(biāo)準(zhǔn)量。此時(shí)，可

7、用同精度的其它儀器或測量方法給出的測量結(jié)果作對比，若發(fā)現(xiàn)明顯差別，表明二者之間有系差。2. 通過理論分析判斷系統(tǒng)誤差對測量器具、測量原理、方法及數(shù)據(jù)處理等方面進(jìn)行具體分析，能夠找到測量中的各系差因素。3. 對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行直接判斷通過觀察測量數(shù)據(jù)的變化趨勢，直接發(fā)現(xiàn)測量中的系統(tǒng)誤差。這一方法較為粗略，但簡單易行。4. 用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行檢驗(yàn)按隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律做出某種統(tǒng)計(jì)判斷，如果不相符合，則說明包含系統(tǒng)誤差。由于這種判別方法不涉及測量本身，僅針對測量數(shù)據(jù)因而便于使用。但每種統(tǒng)計(jì)方法都不是完美的，其應(yīng)用是有限的，常用的有：殘差校驗(yàn)法、阿貝-赫梅特判別法、殘差總和判別法、標(biāo)準(zhǔn)差比較法等。1.4 粗大誤

8、差1.4.1 粗大誤差的產(chǎn)生原因測量數(shù)據(jù)中包含隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差是正常的，只要測量誤差在一定的范圍內(nèi)，測量結(jié)果就是正確的。但當(dāng)測量者在測量時(shí)由于疏忽造成錯(cuò)誤讀取示值，錯(cuò)誤紀(jì)錄測量值，錯(cuò)誤操作以及使用有缺欠的計(jì)量器具時(shí)，會(huì)出現(xiàn)粗大誤差，此數(shù)據(jù)的誤差分量明顯偏大，即明顯歪曲測量結(jié)果。任意一測量數(shù)據(jù)都含有測量誤差，并服從某一分布，它使測量結(jié)果具有一定的分散性。因此，任憑直觀判斷，難于區(qū)分含有粗大誤差的異常數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)。1.4.2 粗大誤差的判別方法在測量過程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理

9、上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測量完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。在判別某個(gè)測得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準(zhǔn)則予以確定。常用的判別準(zhǔn)則有：準(zhǔn)則；羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則；格羅布斯準(zhǔn)則等2. 測量不確定度2.1 定義測量不確定度是指測量結(jié)果變化的不肯定。5它是表征被測量的真值在某個(gè)量值范圍的一個(gè)估計(jì)，是測量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，用來表示被測量值的分

10、散度。從測量不確定度的定義中可知，一個(gè)完整的測量結(jié)果包括：被測量值的估計(jì)和分散性參數(shù)兩個(gè)部分。即：測量結(jié)果=被測量的估計(jì)值+不確定度。2.2 分類不確定度從評定方法上可分為兩類：A類分量和B類分量。用統(tǒng)計(jì)方法來評定的不確定度稱為A類不確定度評定，當(dāng)測量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，以標(biāo)準(zhǔn)差表示稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用符號u表示，u=s。由于標(biāo)準(zhǔn)差所對應(yīng)的置信概率通常不夠高，正態(tài)分布情況下僅為68.3%，因此還可用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)來表示不確定度，用符號UA表示。擴(kuò)展不確定度和標(biāo)準(zhǔn)不確定度的關(guān)系為UA=ku，式中k稱為包含因子（或覆蓋因子），是相對于置信概率p的置信系數(shù)。由于實(shí)際測量時(shí)一般為小樣本，u的可信程度較低

11、，所以應(yīng)按t分布確定k值，t分布系數(shù)由附錄中查找。不能由統(tǒng)計(jì)方法評定的不確定度稱為B類不確定度評定，A類以外的不確定度均屬B類不確定度。進(jìn)行B類不確定度評定時(shí)，須分析實(shí)際情況，利用生產(chǎn)部門或研究部門提供的技術(shù)說明文件，以及對測量儀器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)，對測量值B類不確定度做出評定。要求評定者有一定的分析能力和經(jīng)驗(yàn)，能根據(jù)不同的信息資料做出相應(yīng)的處理。如當(dāng)測量儀器檢定證書上給出準(zhǔn)確度等別時(shí)，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該等別的不確定度大小，按規(guī)定的分布（正態(tài)分布或t分布等）求出B類不確定度。當(dāng)量儀器檢定證書上給出準(zhǔn)確度等級時(shí)，可按平均分布利用儀器規(guī)定的最大儀器誤差進(jìn)行評定。2.3 直接測量不確定

12、度的評定直接測量就是用測量儀器直接獲得被測量的量值的方法，分為等精度和不等精度直接測量。2.3.1 等精度直接測量的不確定度評定等精度測量是指參與測量的要素均不發(fā)生改變的條件下進(jìn)行的多次重復(fù)測量。等精度測量是一個(gè)理想的條件。對等精度測量進(jìn)行不確定度評定，首先要判定是否存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，對系統(tǒng)誤差設(shè)法消除或加以修正，對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行粗大誤差的判別，確定為粗大誤差的應(yīng)予以刪除，不能夠消除的系統(tǒng)誤差應(yīng)進(jìn)行不確定度的B類評定。不確定度的A類評定:計(jì)算測量列的算術(shù)平均值x：x= 1ni=1nxi計(jì)算殘余誤差vi：vi=xi-x計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差sx， 及標(biāo)準(zhǔn)不確定度u=sx=1n(n-1)i=

13、1nvi2確定包含因子kp包含因子kp與測量列的分布特征，自由度及置信水準(zhǔn)p有關(guān)。計(jì)算擴(kuò)展不確定度UAUA=kpu 或UA=tpu不確定度的B類評定：已知置信水準(zhǔn)和包含因子根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和有關(guān)信息資料，由置信區(qū)間a和相應(yīng)的包含因子k按照公式求出標(biāo)準(zhǔn)B類不確定度：u=ak已知擴(kuò)展不確定度和包含因子如果儀器制造部門的說明書中明確給出擴(kuò)展不確定度U和包含因子K，則可求出標(biāo)準(zhǔn)B類不確定度：u=Uk已知使用儀器的等級如果儀器制造部門的說明書中明確給出測量儀器的準(zhǔn)確度等級，可按最大允許誤差A(yù)來求標(biāo)準(zhǔn)B類不確定度：u=A3已知重復(fù)性限和重復(fù)性限求不確定度如果儀器制造部門的說明書中明確給出重復(fù)性限r(nóng)和復(fù)現(xiàn)性限R，則

14、標(biāo)準(zhǔn)B類不確定度為：u=r2.83 或 u=R2.83考慮到包含因子，總的B類不確定度為：UB=kpu總的不確定度：U=UA2+UB2測量結(jié)果的表達(dá)X=x±U 并標(biāo)明置信水準(zhǔn)2.3.2 不等精度直接測量的不確定度評定計(jì)算不確定度時(shí)B類不確定度的求法與等精度測量相同，A類不確定度的計(jì)算如下：權(quán)值的確定不等精度測量是指在測量過程中，除被測對象不改變，其他的要素發(fā)生改變的測量。如儀器、測量方法、測量環(huán)境以及測量人員中任何一項(xiàng)發(fā)生改變，都可認(rèn)為是不等精度測量。不等精度測量中不確定度計(jì)算涉及權(quán)w，即測量的可信賴程度，權(quán)值越大可靠程度越高。在其他測量條件相同的情況下，測量次數(shù)越多，則測量結(jié)果越可

15、靠，其權(quán)值也越大，故可用測量次數(shù)來確定權(quán)值，即w=n。假定同一個(gè)被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一個(gè)系列測量值求得的算術(shù)平均值。因?yàn)閱未螠y量精度都相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為s，則算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為Si=Sni i=1,2,3, ,m由此得到n1s12=n2s22=nmsm2=s2，因?yàn)閣=n， 又可寫成w1s12=n2s22=nmsm2=s2或表示成 w1:w2: :wn=1s12:1s22:1sn2即測量結(jié)果的權(quán)值wi與其相應(yīng)的方差成反比測量列的算術(shù)平均值x：x=i=1nwixii=1nwi算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差sx：sx=1i=1n1si2上式是已

16、知si時(shí)的不確定度計(jì)算，如果權(quán)值已知，當(dāng)然也可根據(jù)權(quán)值計(jì)算不確定度，見下式：sx=i=1nwivi2(n-1)i=1nwi計(jì)算擴(kuò)展不確定度UAUA=kpu包含因子kp與測量列的分布特征、自由度及置信水準(zhǔn)P有關(guān)最后合成總不確定度U=UA2+UB2 并寫出結(jié)果表達(dá)式2.4 提高測量精度的途徑在擬定或設(shè)計(jì)測量方法時(shí)，需要確定測量的不確定度。測量的總不確定度應(yīng)根據(jù)被測量的精度要求恰當(dāng)?shù)慕o以規(guī)定。反過來，要想提高測量的精度，就應(yīng)盡可能的減小最后結(jié)果的總不確定度。根據(jù)不確定度的合成關(guān)系，可從下面幾方面著手。控制測量的誤差因素控制各誤差因素來減小各不確定度分量，這是提高測量精度的最基本方法。首先從根源上消除

17、或減小誤差的影響。對測量的環(huán)節(jié)進(jìn)行具體分析，找出產(chǎn)生誤差的原因，采取恰當(dāng)?shù)拇胧p小或消除。例如嚴(yán)格控制環(huán)境溫度，保證穩(wěn)定的測量環(huán)境，選擇好的測量儀器，提高儀器的測量精度等。再次選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ鼙苊饽承┱`差因素對測量結(jié)果的影響。例如：對稱測量可消除線性變化的誤差，對于周期性的系差采用一定的方法（半周期法）可減小或消除。選擇有利的測量方案在間接測量中，測量結(jié)果往往與很多因素有關(guān)，測量方案的選擇有多種，最佳的方案就是使測量結(jié)果的不確定度達(dá)到最小的方案。要做到這一點(diǎn)，應(yīng)從兩方面入手，首先選擇最佳的測量公式。一般說來，間接測量的函數(shù)公式可能不止一種，在間接測量的函數(shù)公式中，不確定度分量的個(gè)數(shù)越少，合成

18、的總不確定度就會(huì)越小。因此如果可由函數(shù)公式所涉及的直接測量的個(gè)數(shù)最少來確定函數(shù)公式，既確定測量方程的最佳形式。另外，間接測量的不確定度還與靈敏系數(shù)有關(guān)，應(yīng)遵循靈敏系數(shù)最小原則。根據(jù)不確定度的傳播公式，顯然，若靈敏系數(shù)越小，則相應(yīng)的直接測量量的不確定度分量與靈敏系數(shù)的乘積就越小。因此，若能使不確定度分量的靈敏系數(shù)最小，就可減小其對間接測量的總不確定度的貢獻(xiàn)?？刂普`差的最大分盤與微小誤差相反，在測量中，一個(gè)或幾個(gè)大的誤差對測量精度的影響舉足輕重。若能適當(dāng)減小這一個(gè)或幾個(gè)直接測量量的不確定度，就可大大減小最后測量的總不確定度，從而提高測量的精度。因此，為了有效的提高測量精度，還應(yīng)從大的誤差分量下手，

19、適當(dāng)控制最大誤差分量。3. 回歸分析在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常需要尋求相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)或多個(gè)變量之間的內(nèi)在聯(lián)系。根據(jù)測量得到的若干組兩個(gè)或多個(gè)變量的對應(yīng)數(shù)據(jù)，求表示這些變量間關(guān)系的解析式的過程稱為回歸。6最簡單的回歸分析就是線性回歸，又以兩個(gè)變量的線性回歸最簡單。3.1 直線擬合最小二乘法假定所研究的變量x和y之間存在線性關(guān)系，則函數(shù)形式可寫成y=a+bx由于自變量只有一個(gè)，故稱為一元線性回歸。利用測量的一組數(shù)據(jù)xi，yi，（i=1,2,n）來確定系數(shù)a和b。由于測得的xi，yi，不可能完全落在同一直線上，因此，對應(yīng)于每個(gè)xi，觀測值yi，和最佳經(jīng)驗(yàn)公式的y之間存在一個(gè)偏差，我們稱它為觀測值yi的殘差e

20、。7殘差的正負(fù)和大小表示了實(shí)驗(yàn)觀測點(diǎn)在回歸法求得的直線兩側(cè)的分散程度。為了使殘差的正負(fù)不抵消，且考慮所有實(shí)驗(yàn)值的影響，我們計(jì)算殘差的平方和RSS。如果a和b的取值使殘差的平方和RSS最小，a和b即為所求值。3.2 直線擬合最小一乘法一元線性回歸是處理兩變量關(guān)系的最簡單的模型。當(dāng)樣本中存在異常值時(shí),經(jīng)最小二乘法擬合的直線會(huì)偏離真實(shí)直線，出現(xiàn)偏差。這是因?yàn)樽钚《朔〝M合時(shí)，是利用殘差平方和最小進(jìn)行線性擬合，當(dāng)有異常值時(shí)，其殘差較大，殘差平方和會(huì)進(jìn)一步放大，為了使殘差平方和最小，必然把擬合直線拉向異常值，從而偏離真實(shí)直線。8但最小一乘法在線性擬合時(shí)，是利用偏離直線的絕對值之和最小為依據(jù)，因此異常值的

21、影響沒有最小二乘法那么顯著，是一種穩(wěn)健性的線性擬合方法。但在計(jì)算上，不像最小二乘法那樣，有明確的計(jì)算公式，并且會(huì)出現(xiàn)擬合直線不唯一的情況。由于最小一乘法的計(jì)算量大，它的使用不像最小二乘法那么普及。一些文獻(xiàn)中的最小一乘法是利用坐標(biāo)軸平移，把擬合直線的一般形式，變成無截距的形式，每個(gè)樣本點(diǎn)處找到過樣本點(diǎn)(帶約束)的最優(yōu)直線，在所有樣本點(diǎn)的最優(yōu)直線中比較它們的最小絕對值之和，找出最小的值，它所對應(yīng)的那條直線即為所求直線。當(dāng)為最優(yōu)直線時(shí)，每個(gè)樣本點(diǎn)處偏離直線的絕對值之和位于一折線凸函數(shù)的最低點(diǎn)上，在此最低點(diǎn)左側(cè)折線的斜率小于零，右側(cè)折線的斜率大于等于零。9利用此性質(zhì)，確定每個(gè)樣本點(diǎn)的最優(yōu)直線。本算法則

22、是利用最小一乘法的特點(diǎn)，最優(yōu)直線過其中的兩個(gè)樣本點(diǎn)，只要找到這兩個(gè)樣本點(diǎn)就可以確定直線方程，把直線確定轉(zhuǎn)化為樣本點(diǎn)的確定。二、數(shù)據(jù)處理綜合應(yīng)用1. 誤差的基本性質(zhì)與處理實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：對某一軸徑等精度測量8次，得到下表數(shù)據(jù)，求測量結(jié)果。序號1234567824.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674假定該測量列不存在固定的系統(tǒng)誤差，則可按下列步驟求測量結(jié)果。1、算術(shù)平均值2、求殘余誤差3、校核算術(shù)平均值及其殘余誤差4、判斷系統(tǒng)誤差5、求測量列單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差6、寫出最后測量結(jié)果實(shí)驗(yàn)過程：算術(shù)平均值根據(jù)：可得：x=i=18li8=24.674125求

23、殘余誤差根據(jù)：-計(jì)算可得：li24.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674vi-0.000130.000875-0.001130.001875-0.003130.003875-0.00212-0.00013校核算術(shù)平均值及其殘余誤差殘差和：=0.000375 殘余誤差代數(shù)和絕對值應(yīng)符合：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差=0.000843644=0.0022320712判別系統(tǒng)誤差對某量進(jìn)行10次測量，測得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.

24、1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：按貝塞爾公式 按別捷爾斯法 由 得 所以測量列中無系統(tǒng)誤差存在。3. 判別粗大誤差在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理過程中，一般不需判斷測量的原始數(shù)據(jù)是否正確，當(dāng)測量數(shù)據(jù)含有粗大誤差時(shí)，對測量結(jié)果將造成歪曲并影響不確定度的大小。在此，以鋼絲楊氏模量直徑測量數(shù)據(jù)為例，當(dāng)測量數(shù)據(jù)中含有粗大誤差時(shí)，用兩種數(shù)據(jù)處理方法分別求最佳值和不確定度并進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)如下表：測量次數(shù)n12345678直徑 D(mm)0.8960.9120.8890.8950.8930.9960.8970.893直接計(jì)算平均值及測量列的標(biāo)準(zhǔn)差D=i=1nDi8=0.909(mm)SD=I=

25、18(Di-D)28-1=0.035855(mm)進(jìn)行測量數(shù)據(jù)的分析判斷粗大誤差的判別方法很多，由于狄可遜準(zhǔn)則不需計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，可以快速的判別異常數(shù)據(jù)。因此此處利用狄可遜準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)。首先將測量數(shù)據(jù)按順序排序，排序如下：0.8890.8930.8930.8950.8960.8970.9120.996由于最后一個(gè)數(shù)據(jù)和它前一數(shù)據(jù)比較，出入較大，因此有理由懷疑最后一個(gè)是可疑數(shù)據(jù)。確定檢出水平a=0.05，剔除水平a*=0.01經(jīng)查表得到測量次數(shù)為8次時(shí)的狄可遜統(tǒng)計(jì)量r08,0.01=0.683r08,0.05=0.554當(dāng)測量次數(shù)為8時(shí)，用下式計(jì)算狄可遜統(tǒng)計(jì)量。r(n)=x(n)-x(n-1)xn-

26、x(2)得到：r8=0.996-0.9120.996-0.893=0.816由于r8>r0(8,0.01),可以確定測量數(shù)據(jù)中的0.996含有粗大誤差，為異常數(shù)據(jù)而且應(yīng)剔除并應(yīng)在原始數(shù)據(jù)中進(jìn)行標(biāo)識(shí)。原始數(shù)據(jù)整理為：測量測試n12345678直徑D(mm)0.8960.9120.8890.8950.8930.9960.8970.893剔除異常數(shù)據(jù)后，對剩下的原始數(shù)據(jù)重新分析判斷，發(fā)現(xiàn)已不存在粗大誤差。這時(shí)對剩下的原始數(shù)據(jù)計(jì)算最佳值及測量列的標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算如下：D=I=18DI-0.9967=0.896(mm)SD=I=18(DI-D)2-(0.996-0.896)26=0.0073(mm)4

27、. 不確定度的計(jì)算某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次測量得r±r =(3.132±0.005)cm，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為： 0.0314cm確定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：UKu3.25×0.03140.102求圓球的體積的測量不確定度圓球體積為：其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：確定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25最后確定的圓球的體積的測量不確定度

28、為UKu3.25×0.6162.0025. 最小二乘法的應(yīng)用以液體旋光率實(shí)驗(yàn)為例，進(jìn)行葡萄糖溶液濃度的反預(yù)測，計(jì)算葡萄糖溶液濃度的反預(yù)測值及其不確定度計(jì)算。葡萄糖溶液濃度及旋光度測量數(shù)據(jù)如下表：濃度(g/ml)0.1000.1250.1500.1750.2000.250未知零點(diǎn)誤差旋光度(*)左9.7012.3514.9017.1520.3025.3012.60-0.10右9.6512.3514.8517.1020.2025.2512.550測量條件：T=18.3 =589.3nm L=20cm經(jīng)過計(jì)算旋光度和濃度關(guān)系對應(yīng)如下：濃度(g/ml)0.1000.1250.1500.175

29、0.2000.250未知旋光度(。)9.7212.4014.9217.1820.3025.3212.62 直接預(yù)測不求不確定度 以濃度為自變量x，旋光度為因變量y，利用關(guān)系式=CL用最小二乘法直線擬合無截距形式y(tǒng)=bx進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得：旋光率的計(jì)算斜率 b=L=i=16xiyii=16xi2=100.18則 旋光率為：=50.09ºmlg.dm濃度反預(yù)測點(diǎn)的計(jì)算x=yb=12.62100.18=0.126 g/ml有不確定計(jì)算的預(yù)測旋光率的計(jì)算以濃度為自變量x，旋光度為因變量y，利用關(guān)系式=CL用最小二乘法直線擬合無截距形式y(tǒng)=bx進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得：斜率 b=L=i=16xiyii=16xi2=1