16極限存在準則兩個重要極限

1、山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂第六節(jié)極限存在準則第六節(jié)極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限一一 、準則、準則i及第一個重要極限及第一個重要極限二、準則二、準則ii及第二個重要極限及第二個重要極限山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂一、準則i及第一個重要極限 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 準則 i 準則i 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)a lim h(x)a 那么lim f(x)存在 且lim f(x)a (2)aynnlim aznnlim 那么數(shù)列xn

2、的極限存在 且axnnlim 山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn時恒有時恒有當當,2 aznnn時恒有時恒有當當 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 準則 i (2)aynnlim aznnlim 那么數(shù)列xn 的極限存在 且axnnlim 上兩式同時成立, ayan即即, azan恒有恒有時時當當,nn , azxyannn,成成立立即即 axnlim.nnxa取n= maxn1 , n2,山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂1sincosxxx圓扇形aob的面積1si

3、nlim. 10 xxx證證: 當即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有aob 的面積aod的面積dcbax1oxxxcos1sin1故有注注第一個重要極限山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂當20 x時xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注返回山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂注: 這是因為 令u=a(x) 則u0 于是 在極限)()(sinlimxx中 只要(x)是無窮小 就有 1)()(sinlimxx )()(sinlimx

4、x1sinlim0uuu 第一個重要極限1sinlim0 xxx 山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂例例1. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例2. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂20cos1limxxx 解 例3 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20

5、cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx 例4 3231limsin21xxxxx 解 3231limsin21xxxxx22(31)1limsin21xxxxx22(31)1 1lim(sin/)21xxxxx32山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂二、準則ii及第二個重要極限m準則ii 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 準則ii的幾何解釋x1x5x4x3x2xna 以單調(diào)增加數(shù)列為例 數(shù)列的點只可能向右一個方向移動 或者無限向右移動 或者無限趨近于某一定點a 而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生

6、準則準則.)()()(000必定存在必定存在的左極限的左極限在在則則且有界且有界的某個左領域內(nèi)單調(diào)并的某個左領域內(nèi)單調(diào)并在點在點設函數(shù)設函數(shù) xfxxfxxf山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂第二個重要極限exxx)11 (lim 我們還可以證明這就是第二個重要極限根據(jù)準則ii 數(shù)列xn必有極限, 此極限用e來表示, 即ennn)11 (lim 可以證明 (2)xn3 (1)xnxn+1 nn 設nnnx)11 ( 注: 在極限)(1)(1limxx中 只要(x)是無窮小 就有 exx)(1)(1lim 山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂 解 exxx)11 (lim exx)(1

7、)(1lim(x)0) 例5 例例 3 求xxx)11 (lim 令t=-x 則x 時 t 于是 xxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1lim 或 ) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx11)11 (limexxx) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx 11)11 (limexxx 山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂exxx)11 (lim exx)(1)(1lim(x)0) 例6 10lim(1 sin2 )xxx 解: 10lim(1 sin2 )xxx1sin2sin20lim(1 sin2 )xxxxx2.e練習練習 1.