16極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限一一 、準(zhǔn)則、準(zhǔn)則i及第一個(gè)重要極限及第一個(gè)重要極限二、準(zhǔn)則二、準(zhǔn)則ii及第二個(gè)重要極限及第二個(gè)重要極限山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂一、準(zhǔn)則i及第一個(gè)重要極限 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 準(zhǔn)則 i 準(zhǔn)則i 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)a lim h(x)a 那么lim f(x)存在 且lim f(x)a (2)aynnlim aznnlim 那么數(shù)列xn

2、的極限存在 且axnnlim 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),2 aznnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng) 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 準(zhǔn)則 i (2)aynnlim aznnlim 那么數(shù)列xn 的極限存在 且axnnlim 上兩式同時(shí)成立, ayan即即, azan恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nn , azxyannn,成成立立即即 axnlim.nnxa取n= maxn1 , n2,山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂1sincosxxx圓扇形aob的面積1si

3、nlim. 10 xxx證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有aob 的面積aod的面積dcbax1oxxxcos1sin1故有注注第一個(gè)重要極限山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注返回山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂注: 這是因?yàn)?令u=a(x) 則u0 于是 在極限)()(sinlimxx中 只要(x)是無(wú)窮小 就有 1)()(sinlimxx )()(sinlimx

4、x1sinlim0uuu 第一個(gè)重要極限1sinlim0 xxx 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例1. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例2. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂20cos1limxxx 解 例3 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20

5、cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx 例4 3231limsin21xxxxx 解 3231limsin21xxxxx22(31)1limsin21xxxxx22(31)1 1lim(sin/)21xxxxx32山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂二、準(zhǔn)則ii及第二個(gè)重要極限m準(zhǔn)則ii 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 準(zhǔn)則ii的幾何解釋x1x5x4x3x2xna 以單調(diào)增加數(shù)列為例 數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng) 或者無(wú)限向右移動(dòng) 或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)a 而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生

6、準(zhǔn)則準(zhǔn)則.)()()(000必定存在必定存在的左極限的左極限在在則則且有界且有界的某個(gè)左領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)并的某個(gè)左領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)并在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xfxxfxxf山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂第二個(gè)重要極限exxx)11 (lim 我們還可以證明這就是第二個(gè)重要極限根據(jù)準(zhǔn)則ii 數(shù)列xn必有極限, 此極限用e來(lái)表示, 即ennn)11 (lim 可以證明 (2)xn3 (1)xnxn+1 nn 設(shè)nnnx)11 ( 注: 在極限)(1)(1limxx中 只要(x)是無(wú)窮小 就有 exx)(1)(1lim 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 解 exxx)11 (lim exx)(1

7、)(1lim(x)0) 例5 例例 3 求xxx)11 (lim 令t=-x 則x 時(shí) t 于是 xxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1lim 或 ) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx11)11 (limexxx) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx 11)11 (limexxx 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂exxx)11 (lim exx)(1)(1lim(x)0) 例6 10lim(1 sin2 )xxx 解: 10lim(1 sin2 )xxx1sin2sin20lim(1 sin2 )xxxxx2.e練習(xí)練習(xí) 1.