66方向?qū)?shù)與梯度

1、第六節(jié)第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)oyxlp xyp（如圖）（如圖）00( , )(,)( )zf x yp xyu p設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，l是給定的方向函數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)在一點(diǎn)p沿某一方向的變化率就是方向?qū)?shù)沿某一方向的變化率就是方向?qū)?shù).),(yxfz tyxftbytaxflflflptyxftbytaxflbaelyxpyxfztyxyxtl),(),(lim,),(),(lim,),(,),(),(0000000000000000 ），（），（，即即方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，記記為為的的沿沿方方向向則則稱稱這這極極

2、限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)存存在在如如果果極極限限方方向向的的單單位位向向量量同同是是與與是是一一非非零零向向量量域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義1、定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxp是是可可微微分分的的，則則對(duì)對(duì)于于任任一一單單位位向向量量),(bael 函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿任任意意方方向向 l l 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有 byfaxflfyxyxyx),(),(),(000000 ， 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)p沿沿著著x軸軸正正向向)0 , 1(1 e、y軸軸正正向向)1 , 0(2 e的的

3、方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,； 2、計(jì)算、計(jì)算2(1,2,1)(1, 1,2)pl 例例2 2、求求u=x +xyzu=x +xyz在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)。二、梯度二、梯度定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)dyxp ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxp的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .(或或 f(x,y)點(diǎn)點(diǎn)p處有無(wú)窮多個(gè)方向處有無(wú)窮多個(gè)方向,問題問題:f

4、沿哪個(gè)方向的方沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大向?qū)?shù)最大?最大值最大值=? 梯度梯度方向方向是是 z=f(x,y)在在(x,y)處處取得最大方取得最大方向?qū)?shù)的方向向?qū)?shù)的方向,而它的模而它的模就是就是方向?qū)?shù)的最大方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf. 結(jié)論結(jié)論1)2)f(x,y)在在(x,y)處沿處沿-grad f方向的方向?qū)?shù)最小方向的方向?qū)?shù)最小,為為|gradf|;沿垂直于沿垂直于grad f方向的方向?qū)?shù)為方向的方向?qū)?shù)為0. 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)

5、于每一點(diǎn)gzyxp ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)3.,.ygradfx例例設(shè)設(shè)f(x,y)=arctanf(x,y)=arctan求求22f,yz2 2例例4.4.設(shè)設(shè) (x,y,z)= x(x,y,z)= x求求gradf(1,-1,2).gradf(1,-1,2).例例5.設(shè)某金屬

6、板上電壓分布為設(shè)某金屬板上電壓分布為22v5024xy(1)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,-2) 處處,沿哪個(gè)方向電壓升高最快沿哪個(gè)方向電壓升高最快?(2)沿哪個(gè)方向電壓下降最快沿哪個(gè)方向電壓下降最快?(3)上升或下降的最大速率是多少上升或下降的最大速率是多少?(4)沿哪個(gè)方向電壓變化得最慢沿哪個(gè)方向電壓變化得最慢?五五.有勢(shì)場(chǎng)與梯度場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)與梯度場(chǎng)1.數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng):若空間區(qū)域若空間區(qū)域 v上上,定義了一個(gè)數(shù)量值函數(shù)定義了一個(gè)數(shù)量值函數(shù)f(m),就稱就稱f(m)在在 v上確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)上確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng).2. 向量場(chǎng)向量場(chǎng):若空間區(qū)域若空間區(qū)域v上上,定義了一個(gè)向量值函數(shù)定義了一個(gè)向量值函數(shù)f(m)=(p(m),q(m),r(m),就稱就稱f(m)在在v上確定了一上確定了一個(gè)向量場(chǎng)個(gè)向量場(chǎng).3.梯度場(chǎng)梯度場(chǎng):數(shù)量值函數(shù)數(shù)量值函數(shù)f(m)產(chǎn)生的向量值函數(shù)產(chǎn)生的向量值函數(shù)gradf(m)稱為稱為f(m)的梯度場(chǎng)的梯度場(chǎng).4.若向量值函數(shù)若向量值函數(shù)f(m)是數(shù)量值函數(shù)是數(shù)量值函數(shù)f(m)的梯度場(chǎng)的梯度場(chǎng),稱稱f(m)為有勢(shì)場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng),f(m)稱為是勢(shì)場(chǎng)稱為是勢(shì)場(chǎng)f(m)的勢(shì)函數(shù)的勢(shì)函數(shù).1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所