微分方程一階11

1、當一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來的37按照牛頓冷卻定律(物體的溫度的變化率與該物體與周圍介質(zhì)溫度之差成正比)開始變涼。假設(shè)兩小時后尸體溫度變?yōu)?5，并且假定周圍空氣的溫度保持20不變。(1)求出自謀殺發(fā)生后尸體的溫度h是如何作為時間t(以小時為單位)的函數(shù)隨時間變化的；(2)畫出溫度時間曲線；(3)最終尸體的溫度如何?用圖像和代數(shù)兩種方式表示這種結(jié)果；(4)如果尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度是30，時間是下午4時，那么謀殺是何時發(fā)生的? 微分方程微分方程引例1分析：要建立尸體的溫度分析：要建立尸體的溫度 與時間與時間 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系ht已知：物體冷卻的速度與當時的物體溫度和周圍環(huán)境已知：物體冷卻的

2、速度與當時的物體溫度和周圍環(huán)境溫度之差成正比。溫度之差成正比。得到得到(20)dhk hdt-微分方程微分方程解解)(xyy 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為 xdxy22,1 yx時時其中其中,2cxy 即即, 1 c求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為xdxdy2 由已知由已知-微分方程微分方程解方程，方程兩邊積分解方程，方程兩邊積分凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy 2()0,xy dxydy230 x yxyy一、定義一、定義第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的概念微分方程的概念220 xyyyx30y一階一階一階一階二階二階

3、一階一階一階一階微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)恒等式的函數(shù) (1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導 數(shù)的階數(shù)數(shù)的階數(shù).的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. .二、微分方程的階與解二、微分方程的階與解一階微分方程的初始條件一階微分方程的初始條件:00 x xyy0000,x xx xyyyy二階微分方程的初

4、始條件二階微分方程的初始條件:(3)(3)初始條件初始條件: :用來確定通解中任意常數(shù)取值的條件用來確定通解中任意常數(shù)取值的條件.g( y)dyh( x )dx 稱為可分離變量的微分方程稱為可分離變量的微分方程. .解法解法設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(yg和和h( x)是連續(xù)的是連續(xù)的, g( y)dyh( x )dx 若滿足若滿足一階微分方程一階微分方程yf( x,y) 一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程( )( )h xg y若滿足若滿足dydx例例 求微分方程求微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端

5、積分,2 xdxydy21ln yxc.2為所求通解為所求通解xcey 21cxye e 21xcye .xyy 例例求求微微分分方方程程通通解解通解為通解為解解分離變量分離變量,ydyxdx 兩端積分兩端積分,ydyxdx2211122yxc 22xyc（可以是隱式解，即用方程表示）（可以是隱式解，即用方程表示）20 xdyydx例：求微分方程的通解2dydxyx1ln2lnln,yxc 2dyydxx 解：2,x yc分離變量分離變量兩端積分兩端積分通解為通解為2dydxyx 2cyx或220(0)1yxyy例：求微分方程滿足的特解22dyxydx111,cc ，2211xcyyxc解解

6、:分離變量分離變量兩端積分兩端積分22dyxdxy22dyxdxy通解為通解為(0)1y由：由：211yx特解為特解為)()(xqyxpdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式的標準形式:,0)( xq當當方程稱為方程稱為齊次的齊次的.方程稱為方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xq當當線性：指的次數(shù)都是一次線性：指的次數(shù)都是一次,dyydx二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程. 0)( yxpdxdy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy1ln( )lnyp x dxc齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxpcey1. 解線性齊次方程解線性齊次方程一階線性微分

7、方程的一階線性微分方程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)采用常數(shù)變易法采用常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .設(shè)設(shè) 是非齊次方程的解是非齊次方程的解p( x )dxyc( x )e p( x )dxp( x )dxyc ( x )ec( x )p( x )e,2. 解線性非齊次方程解線性非齊次方程).()(xqyxpdxdy 代代入入原原方方程程得得和和將將yy p( x )dxc( x )q( x )edxc, p( x )dxc ( x )eq( x ), 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方

8、程的通解為:( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxcdxexqecedxxpdxxpdxxp )()()()(對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy 例例原方程的通解為：原方程的通解為：cos xcyx 解解1：01yy.x 先先求求齊齊次次方方程程的的通通解解齊次通解為齊次通解為cyx 常數(shù)變易法設(shè)常數(shù)變易法設(shè)c( x )yx 帶入原方程求得帶入原方程求得c( x )cos xc 為非齊次的解為非齊次的解例例05dy2y( x1).dxx1 求求方方程程的的通通解解解解1：dy2y0.dxx1 先先求求齊

9、齊次次方方程程的的通通解解通解為通解為2yc( x1)常數(shù)變易法設(shè)常數(shù)變易法設(shè)2y = c(x)(x+ 1)帶入原方程求得帶入原方程求得41c( x )( x1)c4原方程的通解為：原方程的通解為：241y( x1) ( x1)c )4為非齊次的解為非齊次的解,1)(xxp ,sin)(xxxq 11sindxdxxxxeedxcx cdxexxexxlnlnsin cxdxxsin1 .cos1cxx 解解2.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy 例例( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc通解：例例05dy2y( x1).dxx1 求求方方程程= = 的的通通解

10、解解解2：2( ),1p xx 5( )1) ,q xx（22511(1)dxdxxxexedxc2ln(1)52ln(1)(1)xxexedxc23(1)(1)xxdxc42(1)(1)4xxc( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc通解：112ln9xxyyxxy練習：求微分方程滿足=-22( ln)dxdxxxexedxc221(ln)xxdxcx322111(ln)33xxx dxcx332111(ln)39xxxcx11ln39xxxc的特解2lnyyxx解：一階線性一階線性( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc通解：11 ln39yxxxc代入11ln39yxxx所以特解為119xy由已知=-0c 得2(1)20 xyxy221dyxydxx 解：dxxxydy)1(22 dxxxydy)1(22)1()1(1