第三節(jié)：偏導數(shù)

1、第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)偏導數(shù) 一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法 二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù) 三、小結(jié)三、小結(jié)定義：設(shè)定義：設(shè) y = f (x) 在點在點 0 x的某個鄰域內(nèi)有定義，的某個鄰域內(nèi)有定義， 當當自變量自變量 x 在在0 x處處取得增量取得增量 x)(0仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)xx 相應(yīng)的函數(shù)也取得增量相應(yīng)的函數(shù)也取得增量)()(00 xfxxfy 如果比值的極限如果比值的極限xxfxxfxyxx )()(limlim0000存在存在則則稱稱 y = f (x) 在在 處可導，處可導， 0 x并稱該并稱該極限為極限為 y = f (x) 在點在點 處的導數(shù)，記為

2、處的導數(shù)，記為 即即 ),(0 xf 0 xxxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000一元函數(shù)導數(shù)概念的回顧一元函數(shù)導數(shù)概念的回顧考慮二元函數(shù)考慮二元函數(shù) z = f ( x , y ) 若將若將 y 固定（看作常量），則它成為一個關(guān)于固定（看作常量），則它成為一個關(guān)于 x 的的一元函數(shù)，可將其對一元函數(shù)，可將其對 x 求導。求導。同同理，可定義理，可定義 z = f ( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 y 的偏導數(shù)。的偏導數(shù)。所以，所以，z = f ( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 x , y 的偏導數(shù)，實際上就的偏導數(shù)，實際上就是兩個一元函數(shù)的導數(shù)（將其中一個變量固定，函是兩個一元

3、函數(shù)的導數(shù)（將其中一個變量固定，函數(shù)則成為另一個變量的一元函數(shù)）數(shù)則成為另一個變量的一元函數(shù)）這個關(guān)于這個關(guān)于 x 的一元函數(shù)對的一元函數(shù)對 x 的導數(shù)，稱為二元函數(shù)的導數(shù)，稱為二元函數(shù) z = f (x , y ) 關(guān)于關(guān)于 x 的偏導數(shù)的偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法00yyxxxz ， 00yyxxxf ， ,xz 記為記為),(yxfzxx或或,xf 同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導數(shù)，的偏導數(shù)， 上述關(guān)于二元函數(shù)偏導數(shù)的定義，可推廣到上述關(guān)于二元函數(shù)偏導數(shù)的定義，可推廣到 n 元函數(shù)的情形。元函數(shù)的情形。例如：例如：

4、u = f ( x , y , z ) xu,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy xzyxfzyxxfx ),(),(lim0 例例 1 1 求求 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導數(shù)處的偏導數(shù)解解: xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 先求偏導先求偏導函數(shù)，再將點函數(shù)，再將點 ( 1 , 2 ) 代入。代入。證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例 3 3 設(shè)設(shè)22arcsinyxxz ，求，求 xz ，yz

5、. 解解 xz 22211yxx322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy xyxx22例例 3 3 設(shè)設(shè)22arcsinyxxz ，求，求 xz ，yz . 解解 yz22211yxx 32222)()(|yxxyyyx 0,0,2222yyxxyyxx00 yxyz不存在不存在 yyxx22解解xxxfarctan2cos)1,(2 分析下列解法是否正確？分析下列解法是否正確？2x 2)()1,(xxxxf x2 2)()1,(yyxxf 0 例例 4 4 設(shè)設(shè),arctan2cos),(2yxyyxyxf 求求 )1,(xfx, )1,(xfy. 解解),(yxfy2

6、x yxyarctan2sin2 )(112cosyyxyxy 2x yxyarctan2sin2 2cos)(2yyyxx )1,(xfy2x xarctan2 偏導數(shù)偏導數(shù)xu 是一個整體記號，不能拆分是一個整體記號，不能拆分;有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明：、3、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；定義求；2、對于多元函數(shù)，在某點處，即使各偏導數(shù)、對于多元函數(shù)，在某點處，即使各偏導數(shù)都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。).0, 0(),0, 0(,),(, 6yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例 解解0)0,

7、0()0,(lim)0 , 0(0 xfxffxx0 . 0)0 , 0( yf同理同理xxx0|0|lim0 3、偏導數(shù)的幾何意義、偏導數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上一點上一點為曲面為曲面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxm 如圖如圖),(,000yxfzyym 截截此此曲曲面面得得一一曲曲線線作作平平面面過過 ),(00yxfx則則0),(0 xxxxdyxfd 對對即即為為切切線線xtm0軸軸的的斜斜率率x幾何意義幾何意義: :二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)),(yxfxzx ),(yxfyzy 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)，它們?nèi)允莾?nèi)，它們?nèi)允?x , y 的二元函數(shù)，可繼的二元函數(shù)，可繼續(xù)求偏

8、導數(shù)。續(xù)求偏導數(shù)。 xzx,22xz 記為記為,22xf 或或,xxz或或).,(yxfxx或或 xzy,2yxz 記為記為,2yxf 或或,yxz或或).,(yxfyx或或 yzx,2xyz 記為記為,2xyf 或或,xyz或或).,(yxfxy或或類似地，可以定義三階或更高階的偏導數(shù)。類似地，可以定義三階或更高階的偏導數(shù)。),(yxfxzx ),(yxfyzy xzx,22xz 記為記為,22xf 或或,xxz或或).,(yxfxx或或 xzy,2yxz 記為記為,2yxf 或或,yxz或或).,(yxfyx或或 yzx,2xyz 記為記為,2xyf 或或,xyz或或).,(yxfxy或或

9、 yzy,22yz 記為記為,22yf 或或,yyz或或).,(yxfyy或或 二階二階混合混合偏導偏導數(shù)數(shù)定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù). .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 33xz ,62y )(xzx )33(322yyyxx )(22xzx )6(2xyx 22yz ;1823xyx )(yzy )92(23xxyyxy yxz 2, 19622 yyx)(xzy )(yyyxy32233解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx xyz 2, 19622 yyx

10、)(yzx )(xxyyxx2392xyzyxz 22例例 7 7 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求二階偏導數(shù)，求二階偏導數(shù). 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax xyuyxu 22問題：問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導數(shù)相等？偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導純偏導混合偏導混合偏導（相等的條件）（相等

11、的條件）三、小結(jié)三、小結(jié)習題習題6-3: 1 ， 5, 6作業(yè)作業(yè) p19若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點在 點),(000yxp連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxp的偏導數(shù)必定存在？的偏導數(shù)必定存在？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0(, )0 , 0(yxff不存在不存在. 例如例如,一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè) xzyxezxy則則

12、),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 設(shè)設(shè),zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 設(shè)設(shè),arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習習 題題 5 5、設(shè)、設(shè)zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數(shù)的偏導數(shù)求下列

13、函數(shù)的偏導數(shù): : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲線曲線 4422yyxz, ,在點在點(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ?四、四、 設(shè)設(shè)xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、設(shè)五、設(shè))ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、 驗證驗證: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. . 七、設(shè)七、設(shè) 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. . 一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;練習題答案練習題答案 2 2、zzyxy