曲面及其方程27034

1、湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5第三節(jié)第三節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面. .解解rmm |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 rzzyyxx 202020 2202020rz

2、zyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222rzyx 湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化簡(jiǎn)得所求方程化簡(jiǎn)得所求方程. 07262 zyx解解湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5例例3 3 方程方程 042222 yxzyx解解 通過(guò)配方，原方程可以改寫成通過(guò)配方，原方程可以改寫成5)2()1(222 zyx原方程表示球心在點(diǎn)原方程表示球心在點(diǎn))0 , 2, 1(0 m、半徑為、半徑為5 r的球面的球面.表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5

3、以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題：（2 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程返回返回湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸xozy0),( zyf), 0

4、(111zym md湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.51)1(zz |122yyxd 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf),(zyxm設(shè)設(shè)湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程 . 0,22 zxyf湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5xozy解解 cotyz ), 0(111zym ),(zyxm圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5122222 czyax122222 czayx例例5 5 將將xoz坐

5、標(biāo)面上的坐標(biāo)面上的旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解解 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面:繞繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面:湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5 xyoz z單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形雙葉雙曲面圖形雙葉雙曲面圖形返回返回xyoz湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5定義定義三、柱面三、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成所形成的曲面稱為柱面的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，

6、動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫柱面叫柱面的的母線母線. .cloyxzm222ryx 湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5xyzocf (x, y)=0 xyzox -z=0湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y返回返回湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方

7、程所表示的曲面稱之三元二次方程所表示的曲面稱之相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的截痕法截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面四、二次曲面四、二次曲面湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5oxyz(1) 橢圓錐面橢圓錐面:22222zbyax 湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5ozyx (2)(2)橢球面：橢球面：

8、1222222 czbyax122222 czayx12222 czax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5橢球面的幾種特殊情況橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別區(qū)別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓. .1zz )| (1cz 湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面

9、上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.51222222 czbyax(3)單葉雙曲面單葉雙曲面:12222 czax122222 czayx繞繞z軸軸沿沿y軸伸縮軸伸縮ab湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5(4)雙葉雙曲面：雙葉雙曲面：1222222 czbyax12222 czax122222 czayx繞繞x軸軸沿沿y軸伸縮軸伸縮cb湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5（5 5）橢圓拋物面）橢圓拋物面: :zbyax 2222xyzozax 22繞繞z軸軸沿沿y軸伸縮軸伸縮abzayax 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2005.5zbyax 2222(6)雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面