第13講三重積分及其計(jì)算

1、第三節(jié)第三節(jié) 三重積分三重積分一一. 三重積分的定義三重積分的定義二二. 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)四四. 三重積分的換元法三重積分的換元法三三. 三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)系）三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)系）一一. . 三重積分的定義三重積分的定義 ),( 3的有界函數(shù)。是定義在有界閉區(qū)域設(shè)rzyxf ) , 2 , 1 ( ，個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的小區(qū)域任意分割為將nini 1。的體積為，并記則iiniiv ),( ，極限若iiiiniiiiivf10 ),(lim ),( 上的三重積分，在區(qū)域函數(shù)存在，則稱(chēng)該極限值為zyxf )d( ),d( max1的直徑。為其中，iiini )(),( ),(

2、。上可積，記為在區(qū)域此時(shí)稱(chēng)函數(shù)rzyxfzyxf 三重積分記為： , ),(limd),(10niiiiivfvzyxf 式中： ),(被積函數(shù)；zyxf 三重積分號(hào)； 積分區(qū)域； ; ) ( d或幾何體體積元素積分元素v 積分變量；，zyx ) ( ),(1。黎曼和積分和niiiiivfniiiiivf10 ,),(lim ) 1 (的分割方式與對(duì)區(qū)域存在與否極限 ),( ii在與否取決于函數(shù)在的選擇無(wú)關(guān)。此極限存以及點(diǎn)i 上是否可積。三重積分的幾點(diǎn)說(shuō)明：三重積分的幾點(diǎn)說(shuō)明： )2(數(shù)可積。有界閉區(qū)域上的連續(xù)函內(nèi)有限條上有界，且僅在在區(qū)域若函數(shù) ),( ) 3(zyxf上可積。在則連續(xù)曲線(xiàn)或

3、有限張曲面上不 ),( ,zyxf 4劃分區(qū)域用平行于坐標(biāo)面的平面在直角坐標(biāo)系中，通常）（ )( 幾何體體積元素元素，故直角坐標(biāo)系下積分 dddd。zyxv ，三重積分寫(xiě)為相應(yīng)地，直角坐標(biāo)系下 ddd),(。zyxzyxf )5(區(qū)域，取決于被積函數(shù)和積分三重積分是一個(gè)數(shù)，它 字母）無(wú)關(guān)：而與積分變量的記號(hào)（ ddd),(ddd),(wvuwvufzyxzyxf二二. . 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1 三重積分均存在假設(shè)以下出現(xiàn)的性質(zhì)性質(zhì) 2zyxzyxgzyxfddd),(),( ddd),( ddd),(。zyxzyxgzyxzyxf，則除邊界點(diǎn)外無(wú)公共部分與若) ( 2121

4、zyxzyxfddd),(。21 ddd),(ddd),(zyxzyxfzyxzyxf性質(zhì)性質(zhì) 3性質(zhì)性質(zhì) 4 ),( 0),( ，則若zyxzyxf 0ddd),(。zyxzyxf ddd| ),(| |ddd),(|。zyxzyxfzyxzyxf性質(zhì)性質(zhì) 5 | , | ddd對(duì)應(yīng)的體積。為區(qū)域zyx）。的情形這就是（ ),( , 1),( zyxzyxf性質(zhì)性質(zhì) 6 )(中值定理 )(),( 3，則至少存在為有界閉區(qū)域，設(shè)czyxfr ),( ，使得一點(diǎn) | ),(ddd),(。fzyxzyxf )(估值定理 ),(min),(max ，則，設(shè)zyxfmzyxfm |ddd),( |。m

5、zyxzyxfm性質(zhì)性質(zhì) 5解解例 ，其質(zhì)量體密度為的物體設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布 ),(。，求該物體的質(zhì)量mzyxf 取極限的方法，可知求和代替采用分劃 ,),(lim10niiiiivfm ddd),( 。即zyxzyxfm 式。計(jì)算物體質(zhì)量的一般公該式也是直角坐標(biāo)系下xyzoxyd),(2yxzz ),(1yxzz 平面上的投影在 xy ),( ),(21，以和yxzzyxzz且， )(),(),(21xydcyxzyxz 平面上的投影為平面在 xy 是由曲面設(shè)有界閉區(qū)域 軸的柱面圍成。及母線(xiàn)平行于 z。區(qū)域 xyd。 ),( ),(),(21xydyxyxzyxz三三. 直角坐標(biāo)系下三重積

6、分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 分來(lái)計(jì)算。個(gè)二重積分與一個(gè)定積三重積分可以歸結(jié)為一 . 1且，平面上的投影區(qū)域?yàn)樵谌魠^(qū)域xydxy , ),( , ),(),( | ),(21xydyxyxzzyxzzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。則yxzyxzdzzyxfyxzyxzyxfxy z . 2且，平面上的投影區(qū)域?yàn)樵谌魠^(qū)域xzdx , ),( , ),(),( | ),(21xzdzxyxyyyxyzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。則zxyzxydyzyxfzxzyxzyxfxz z . 3且，平面上的投影區(qū)域?yàn)樵谌魠^(qū)域yzdy , ),( ,

7、),(),( | ),(21yzdzyyxxxyxxzyx d),(ddddd),( ),( ),( 21。則zyxzyxdxzyxfzyzyxzyxfyz 確定三重積分限的方法 ) 1 (：平面上，得到投影區(qū)域投影到將區(qū)域dxy )()( , | ),(21。xyyxybxayxd )2(軸的直線(xiàn)，該直線(xiàn)內(nèi)任取一點(diǎn)，作平行于在zd ),( ),( 21則，和相交于且與穿過(guò)yxzyxz , ),(),( , )()( , | ),(2121yxzzyxzxyyxybxazyx )3( 三重積分化為累次積分dzdd),(yxzyxf d),(dd),( ),( )( )( 2121。yxzyxz

8、xyxybazzyxfyx或其它坐標(biāo)面上 . 1的積分順序問(wèn)題，選擇什么樣三重積分也有一個(gè)積分 進(jìn)行分析確定。順序，要根據(jù)具體問(wèn)題 , )()()(),( . 2zyxzyxf若 , , , | ),(hzedycbxazyx d)(d)(d)(dzdd),( 。則hedcbazzyyxxyxzyxf解解 1 dzdd 222與為球面，其中求zyxyxxyz 一卦限中的區(qū)域。三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的第 平面上的投影區(qū)域?yàn)樵?xy 0 , 0 , 1 | ),(22。yxyxyxd 確定積分限： , 10 | ),(xzyx , 1 0 , 1 0222yxzxy dddddd 2221 0 1 0

9、1 0 yxxzxyzyxzyxxyz故21 0 221 0 d)1 (d21xyyxxyx 481d)1 (811 0 22。xxx例xyzod21 xy221 yxz1例解解 , )1 (ddd 3是由三個(gè)坐標(biāo)面及其中計(jì)算zyxzyx 1 所圍成的四面體。平面zyxoxyz 1zyx1dxy1 平面上的投影區(qū)域?yàn)樵?xy 0 , 0 , 1 | ),(。yxyxyxd 確定積分限： , 10 | ),(xzyx , 10 , 10yxzxyyxxzyxzyxyxzyx1 0 31 0 1 0 3)1 (ddd)1 (ddd d 41)1 (1 21d1 0 21 0 xyyxx ) 852

10、ln (21d4311 1 0 。xxx例解解 , d),(dd 1 1 1 1 1 2222xzzyxfyxyxxx換成先對(duì)將積分 , 變量的積分。最后對(duì)再對(duì)zy 由原積分xyzo1 , 11 | ),(xzyx 1 , 1 1 2222zyxxyx 1 22。所圍成與由圓錐面即zyxz。平面上投影，得往將 , 10 | ),( *zyzzzydyz 22222，從而，得到得，由yzxyxz , , 10 | ),(2222，yzxyzzyzzzyx*d d),(ddd),(dd22222222 1 0 1 1 1 1 1 。yzyzzzyxxxxzyxfyzzzyxfyx三重積分也可化為一

11、個(gè)二重積分和一個(gè)定積分三重積分也可化為一個(gè)二重積分和一個(gè)定積分zyxzyxfddd),(zyxzyxfzdzzddd),()(21)(dd),(d21zdzzyxzyxfz :(x, y)d(z), z1zz20 xzyz2zz1d(z)計(jì)算,dddzyxz其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01d(z)1解解：d(z): x2+y2zz0, 110ddddzzzyxz)(ddzdyx10dzzz1033z3zz2)(例計(jì)算,ddd2zyxz其中 是由橢球面所圍成的閉區(qū)域.解解：,1| ),(222222czcczbyaxzyx練1222222czbyaxxydccyx

12、zzzyxzdddddd22)1(d222czabzzcc.1543abc四四. 三重積分的換元法三重積分的換元法 三重積分的換元法 )(),( 3。為有界閉區(qū)域，設(shè)rzyxfr ),( , ),( , ),( : wvuzzwvuyywvuxxt變換 *空間中的閉一對(duì)一地變成空間中的閉區(qū)域?qū)yzuvw , 且滿(mǎn)足：區(qū)域 ; )(),( , ),( , ),( . 1*1cwvuzwvuywvux ,),( , 0),(),( . 2*wvuwvuzyxjzyxzyxfddd),( 則 ddd |),( , ),( , ),(*。wvujwvuzwvuywvuxf 雅可比行列式的絕對(duì)值雅可比

13、行列式的絕對(duì)值 , 為常常將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換在進(jìn)行三重積分計(jì)算時(shí) 。系柱面坐標(biāo)系或球面坐標(biāo) 積分利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重 ),( ),( 3。平面上的投影點(diǎn)為在中點(diǎn)設(shè)yxpxyzyxmr ),( , ),( ),( zrrpxyyxp則稱(chēng)平面上的極坐標(biāo)為在若點(diǎn) ),( 。的柱面坐標(biāo)為點(diǎn)zyxm 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)點(diǎn)m , cosrx , sinry 。zz , sin , cos : 的雅可比行列式變換zzryrxt 1000sinsin0sincos ),(),(。rrrzzzyzxzyxrzryrxzrzyxj 的關(guān)系式為 三重積分計(jì)算公式該公式為柱面坐標(biāo)下的 , 0 , , sin , co

14、s 1外且除由于rczzryrx , , , 0),(),(*則有設(shè)從而tzrzyxj ddd),(zyxzyxf ddd ),sin,cos(*。zrrzrrf , ddd , 故有體積元素為在柱面坐標(biāo)下zrr ) | ( ddd |的體積為。zrr | |rrj例解解 0 , 1 | ),( , ddd 222。計(jì)算zzyxzyxzyxz 運(yùn)用柱面坐標(biāo)系。 平面上的投影區(qū)域?yàn)樵?xy 20 , 10 | ),( 1 | ),(22。rryxyxd , 1 1 0 , 222故此時(shí)ryxz 1 0 , 10 , 20 | ),(2*。rzrzr*ddddddzrrzzyxz d)1 ( 21

15、dddd1 0 22 0 1 0 1 0 2 0 2rrrzzrrr 4d 42 212 0 1042。rrrr例解解 , 1 222所圍成的區(qū)域及平面是由錐面設(shè)zzyx 1ddd 22。計(jì)算yxzyx 平面上的投影區(qū)域?yàn)樵?xy 20 , 10 | ),( 1 | ),(22。rryxyxd , 1 , 10 22故即而zrzyx 運(yùn)用柱面坐標(biāo)系。 1 , 10 , 20 | ),(*。zrrzr d d1d1 ddd 1ddd1 1 0 2 0 222*rzrrrrzrryxzyx1 0 221 0 21 0 2d1 11 2d1 2d1 )1 ( 2rrrrrrrrrr )222(ln

16、)arctan(2 ) 1ln(10102。rrr , d , 或被積函數(shù)中為圓型區(qū)域的投影當(dāng)積分區(qū)域一般說(shuō)來(lái) , )( 22。則可考慮采用柱面坐標(biāo)時(shí)出現(xiàn)yx , cosrx , sinry 。zz zrrzyxddd ddd 積分利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重 。極坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系又稱(chēng)為空間xyzo),(zyxm . 的距離坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)mr . 軸正向間的夾角與zom 平面上的投影向量在xyom . 的角度到軸正向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，opxop)0 ,(yxp r . , 的球面半徑為坐標(biāo)面是原點(diǎn)為中心常數(shù)rr . 2 , 的圓錐面錐頂角為坐標(biāo)面是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)常數(shù) . 軸的半平面坐標(biāo)面是過(guò)常數(shù)z : ),

17、( ),( 間的關(guān)系與球坐標(biāo)的直角坐標(biāo)點(diǎn)rzyxm , cossinrx , sinsinry . cosrz . 20 , 0 , 0 , r其中 換元法的雅可比行列式 . sin 0cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossin ),(),(2rrrrrrrzyx . sin |sin| ).,(),( |22rrrzyxj :的積分積分換成球面坐標(biāo)系下將直角坐標(biāo)系下的三重 ddd),(zyxzyxf , dddsin )cos , sinsin , cossin(2*rrrrrf . * , t其中 , dddsin , 2故體積元素為在球面坐標(biāo)系中

18、rr) | ( . dddsin |2的體積為rr例解解 , , ddd)( 22為兩個(gè)上半球面其中計(jì)算zyxyx 222222平面所圍成與和xyyxazyxbz . 0 , , ab其中的區(qū)域 x z o a b . 運(yùn)用球面坐標(biāo)系 r , 20 , 20 , | ),(* brar轉(zhuǎn)換為 0 , | ),(22222zbzyxazyx dddsinsinddd)( *22222rrrzyxyx故 )(51 ! ! 3! ! 1)(32ddsind55 42 0 32 0 abrrba . )(15455ab xyzo例解解 )0( 2 222與內(nèi)接求由通過(guò)原點(diǎn)的球面aazzyx . , 2 圍成的體積頂點(diǎn)位于原點(diǎn)的錐面所于球面的錐頂角為 , cossin :rx 運(yùn)用球坐標(biāo)系 . cos , sinsinrzry , cos2 2 222arzazyx由 , cos20 | ),(r, * ar 于是 . 20 , 0dddsinddd 2rrzyxv故 dsincos38dddsind 0 332 0 cos2 0 2 0 2 0 arra . )cos1 (3443a性質(zhì)性質(zhì)上連續(xù)。在有界閉區(qū)域設(shè)),( zyxf平面對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于若xy),(),(ddd ),(2),(),(0ddd ),(1zyxfzyxfzyxzyxfzyxfzyxfzyxzyxf若若01z其