03第九章第3節(jié)三重積分

1、1三重積分第三節(jié)一、一、 三重積分的概念三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三、小結(jié)及作業(yè)2一、一、 三重積分的概念三重積分的概念采用kkkkvf),( ),(kkkkv 引例：引例：設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì)， 密度函數(shù)為,),(czyxf求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的質(zhì)量 m . 可得nk 10 limm“分割，近似，求和，取極限分割，近似，求和，取極限”3定義定義: 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim 10存在 ,),(zyxfvdzyxf),(稱為體積元素體積元素 vdzdydxd若對(duì) 作任意分割任意分割, 及任意取點(diǎn)任意取點(diǎn) , 下列“乘積和式”的極

2、限則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下也常寫作記作記作vdzyxf),(即即kkknkkvf),(lim 104性質(zhì)性質(zhì)中值定理中值定理: 設(shè) 在有界閉域 上連續(xù),),(zyxf),(使得dvzyxf),(其中v為 的體積.三重積分的性質(zhì)與二重積分相似 , 例如計(jì)算方法計(jì)算方法dvzyxf),(vf),(xyz),(則存在一點(diǎn).法法計(jì)算三重積分有四種方計(jì)算三重積分有四種方51、直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分、直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分二、三重積分的計(jì)算xyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如

3、圖，,dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在若閉區(qū)域若閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzsyxzzs ,),(作直線作直線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz在直角坐標(biāo)系下dxdydzdv dvzyxf),(dxdydzzyxf),(6化三重積分為三次積分xyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yxdxdydzzyxf),(dxdydzzyxfxydyxzyxz ),(),(),(21dxdydzzyxfbaxyxyyxzyxz ),()()(),(),(2121.),()()(),(),(baxyx

4、yyxzyxzdzzyxfdydx2121.其它公式類似其它公式類似7其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面例例1. 計(jì)算三重積分zdydxdx12zyx所圍成的閉區(qū)域 . 1xyz121解解:xdxdydz)()(xydyxxdx10102121yxdz2101032241xdxxx)(yxz210)(xy102110 x )(xdy102110 xdx4818解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx9故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxi10例例3 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfi

5、),(為為三三 次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積分區(qū)域 為由曲面為由曲面22yxz , 2xy ,1 y, 0 z所圍所圍 成的空間閉區(qū)域成的空間閉區(qū)域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxi.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，11z、截面法、截面法2計(jì)算公式計(jì)算公式)(3dvzyxf),(dzdxdyzyxfccdz 21),(.,),(無(wú)關(guān)時(shí)此法較簡(jiǎn)單無(wú)關(guān)時(shí)此法較簡(jiǎn)單與與當(dāng)當(dāng)yxzyxf12例例 1 1 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解（一）（一） z

6、dxdydz,10 zddxdyzdz1| ),(zyxyxdz )1)(1(21zzdxdyzd 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy11113例例 2 2 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zdccdxdydzzxyzozd解解14)1()1(222222czbczadxdyzd ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxdz 1222222czbyax

7、原式原式xyzozd15解解如圖如圖,平面得平面得投影到投影到將將xoz, 1:22 zxdxz積分，積分，積分，再對(duì)積分，再對(duì)先對(duì)先對(duì)xzy16dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 112221zxdydydxdzxxz原式原式17,0 r,20 . z3、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)mzrrpxoymzyxm,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxm)

8、,(rpr18 .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxm),(rprzxyzo19 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 20其中為由柱面例例1. 計(jì)算三重積分zdydxdyxz22xyx222,0z所圍成半圓柱體.解解: 在柱面坐標(biāo)系下: cos202rdrzdydxdyxz

9、22da2032cos34cos20 r20az 0及平面0, )0(yaazcos2raxyzo2zdrddrvd20 dazdz0zddrdrz2298a21例例2. 計(jì)算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下oxyhz:221yxzdydxdhrzd42hrdrhrr2022)4(124)41ln()41(4hhhhz hr2020hrdrr202120d,122yxzdydxdzyx422)0(hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42rzdrddrvd22例例3 計(jì)算計(jì)算 zdxdydzi，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體. 解解由由

10、zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為23 23242030rrzdzrdrdi.413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy .20, 3043:22 rrzr，24例例 4 計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxi)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體. 解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， 25:2d, 422 yx.222

11、020:22 zrr:1d,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2d1d26,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxiii 12821drfdzrdrdi,345 22222drfdzrdrdi,625 原式原式 i 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd271另解另解8220220dzrdrrdi 82422202rdzrdrrd 3362另解另解dxdyyxdzizd)(2282drrddzz2032082 336284、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的球面坐標(biāo)的

12、球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)點(diǎn)為為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來(lái)看自軸來(lái)看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來(lái)確定，其中來(lái)確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)mrxoympopxzzommorrmzyxm ),(pxyzo),(zyxmr zyxa29,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面

13、；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面30 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，pxyzo),(zyxmr zyxa，軸上的投影為軸上的投影為在在點(diǎn)點(diǎn)，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)axppxoym.,zpmyapxoa 則則31 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，32例例1. 計(jì)算三重積分,)(222zdydxd

14、zyx 其中為22yxz2222rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下:zdydxdzyx)(222rrdr04)22(515r所圍立體.40rr 02040sind20d錐面與球面xyzo4rr 22yxzddrdrvdsin233例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxi)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體. 解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar34 dxdydzyxi)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 3

15、5解解 2 采用柱面坐標(biāo)采用柱面坐標(biāo) ,:222ayxd dxdydzyxi)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr36例例 3 3 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍所圍 成的立體體積成的立體體積. 解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar37由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzv, adrrddv202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 38三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元