第7章電磁波的輻射

1、第七章 電磁波的輻射第七章 電磁波的輻射我們在第六章中已經(jīng)介紹了電磁波在不同的媒質(zhì)中的傳輸行為，然而，我們對電磁波如何產(chǎn)生的卻仍然不知道。這一章中，我們將詳細(xì)介紹電磁波如何從源（電荷、電流分布）區(qū)產(chǎn)生出來的，這個過程叫做電磁輻射。§7.1 勢、規(guī)范、及其滿足的方程一、勢的定義在這一章里，我們將討論電荷連續(xù)分布系統(tǒng)的輻射。原則上講，對確定的電荷分布和電流分布，我們求它的輻射電磁場就是求解Maxwell方程 直接求解場的方程通常比較麻煩，可以使用并矢格林函數(shù)的方法（參考J A Kong的書）。類似處理靜電、靜磁時的情況，我們在處理與源有關(guān)的輻射問題時解“勢”的問題更加方便。與靜電、靜磁時

2、不同，在一般情況下標(biāo)勢、矢勢的定義有所不同。根據(jù)Maxwell方程第三式，可定義矢勢A為 將其代入Maxwell方程第二式，可得 因此可以定義標(biāo)勢，其滿足 二、規(guī)范條件（Gauge）式與（式所定義的勢并不唯一。定義一個新的標(biāo)量函數(shù)，由此定義一對新的標(biāo)勢和矢勢：將上式代入式和式，我們發(fā)現(xiàn)給出與完全一樣的場。在經(jīng)典電動力學(xué)的范疇內(nèi)，對應(yīng)著真實的物理場，并不對應(yīng)真實物理場。因此對于同樣的物理體系，得選擇并不唯一，必須在某一個條件的約束下才可能為唯一確定下來。這個條件稱為規(guī)范條件。通常使用的規(guī)范是庫侖規(guī)范 和洛侖茲規(guī)范 值得注意的是：洛侖茲規(guī)范在靜電、靜磁條件下與庫侖規(guī)范一致。三、勢所滿足的方程將式與

3、式代入Maxwell方程中的第一和第四式，我們得到對勢的方程： 這組方程是耦合在一起的，使用起來不方便。利用Lorentz規(guī)范條件可以將其化兼成相當(dāng)對稱而標(biāo)準(zhǔn)的有源波動方程的形式因此，我們首先根據(jù)源的情況求解式得到勢，然后再由勢求出電磁場。§7.2 推 遲 勢由于和滿足同樣的方程，因此我們只要討論一個標(biāo)量方程 的解。求解上述方程的標(biāo)準(zhǔn)方法是定義一個格林函數(shù)，滿足 這個函數(shù)的物理意義就是當(dāng)時刻在處做一個單位強度的擾動時，空間所激發(fā)的場。定義，則勢可以用格林函數(shù)和源函數(shù)來表達(dá)： 證明式并不困難，只要對等式兩端都作用一個算符，再利用式，則發(fā)現(xiàn)式是式的正確解。下面求解格林函數(shù)。在R，T空間求

4、解非常不方便，利用 Fourier變換可得 代入式可以解得空間的格林函數(shù)為 其中， 因此，空間的格林函數(shù)為 先計算空間部分，對k的積分上面的積分中有奇點，若想得到收斂的結(jié)果，必須假設(shè)具有一個很小的虛部。但這個虛數(shù)的符號應(yīng)當(dāng)取 + 還是取 - 呢？選擇的依據(jù)是“因果關(guān)系”：在正常介質(zhì)中這個虛部必須為正?！耙蚬P(guān)系”要求電磁波在介質(zhì)中向前傳播（能流的方向）時應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生焦耳熱從而使得能量被耗散。而是介質(zhì)中向前傳播的波矢，假設(shè)，則，因此一定為正。Tips： 這里我們考慮的就是在實軸上的全積分，不是主值積分(P)，因此一定要選擇合適的路徑； 由可知，當(dāng)處于一定介質(zhì)中時（如空氣），因為介質(zhì)的，一定因為耗散而

5、有虛部，則一定帶有虛部！即是是真空，也會因為漲落而對電磁波有耗散。因此給一個小的虛部不僅是數(shù)學(xué)的要求，還是物理的必然！對上面的兩個積分分別選擇如下圖所示的閉合回路，將被積函數(shù)解析延拓到復(fù)平面，則利用留數(shù)定理容易推出 在式中加入時間振蕩因子，則發(fā)現(xiàn)這個解對應(yīng)這樣一個單頻波，其物理意義為一個點源的“出射波”-即從源點向外發(fā)射的球面波，顯然這是符合“因果關(guān)系”的解。若選擇的虛部為負(fù)，則結(jié)果為不符合因果關(guān)系的“會聚波”。進(jìn)而將式代入式可得最終的格林函數(shù) 這個解的物理意義更加明晰 在原點處0時刻作一個激發(fā)，則激勵的波以球面波的形式傳播出去 波振幅以形式衰減，且只在處有值。將其代入式得到 式中方括號 表示

6、，同理可得 我們注意到的表達(dá)式在形式上與靜態(tài)時的解一致，只是在動態(tài)時時刻的輻射場是由此時刻前的一個時刻的擾動貢獻(xiàn)的，而這個推遲的時間正是從源到觀測點光信號傳播所需的時間。這就是推遲勢，其物理的根據(jù)是因果關(guān)系。§7. 3 多 極 輻 射很多情況下輻射源電流、電荷分布于空間一很小區(qū)域內(nèi)，而我們則關(guān)心遠(yuǎn)場的行為，此時類似靜電、靜磁時的處理方法，我們可以作多極展開。一、推遲勢的多極展開我們討論的是遠(yuǎn)離源的場，即，為源的線度。被積函數(shù)是的函數(shù)，我們可以將它在處展開為級數(shù)，即 式中表示，以后為簡便起見，腳標(biāo)0不再寫出。同理可得故 我們下面分別研究展開式中各項的物理意義，以及它們所代表的輻射場的性

7、質(zhì)。二、電偶極輻射展開式中的第一項是系統(tǒng)的總電荷量，一般情況下不隨時間變化，沒有輻射。第二項 式中，表示系統(tǒng)總的電偶極矩。 展開式中的第一項（在靜磁的時候，直接去掉，但這是不能舍去）： 所以，電偶極矩系統(tǒng)所產(chǎn)生的和為式及式?？紤]源隨時間做單頻簡諧振蕩：（一般情況總可以展開成單頻結(jié)果的疊加）。從聯(lián)系和的勢的通常公式，我們得到電偶極輻射場中的磁場部分為 電場當(dāng)然也可以由勢推出。但在無源區(qū)，電場可以根據(jù)Maxwell方程由磁場導(dǎo)出 下面仔細(xì)分析一下在式和式中要用到的一項： 考慮第一項，因為，則微分運算可以代換成 再考慮第二項，因，最終，變?yōu)?因此，和的比較決定了哪一項大，哪一項小。下面我們分三個區(qū)域

8、來討論。 (1) 近區(qū)：，但滿足。這時和式中的旋度算子只要對分母運算即可。因為每對分母運算一次得到一個因子，而對分子運算，得到一個因子，顯然比貢獻(xiàn)大。于是我們得到近區(qū)的場強為 我們注意到此時電場和靜態(tài)時的電偶極子的電場形式上完全一樣，只不過時間上推遲了一個輻射時間而已事實上在這個條件下，“準(zhǔn)靜態(tài)”近似適用（參考第5章）。(2) 遠(yuǎn)區(qū)：不僅要求 ，而且 ，為輻射場的波長，此時，公式式中第一項遠(yuǎn)大于第二項。因此在計算電磁場時，只需計算算子作用到上即可，無需計算其作用到上。這等價于做代換式。因此，遠(yuǎn)區(qū)場強的公式為 (3) 中間區(qū)域：雖然 ，但 ，這時我們必須同時保留對分母運算的項和對分子運算的項，這

9、是因為對兩者運算得到的因子和 是同數(shù)量級。思考題：與遠(yuǎn)場區(qū)不同，在近場區(qū)電場與磁場差一個i，這有什么物理值得我們思考呢？聯(lián)系第四章準(zhǔn)靜態(tài)的知識，對上述事實作一番討論？例1如圖所示，兩個金屬小球分別帶電荷Q和-Q，它們之間距離為，兩小球的電荷的數(shù)值和符號同步地周期性變化，這就是所謂的赫茲振子。試分析赫茲振子輻射場的能流特點。解 取球坐標(biāo)系，+Q和-Q處在z軸上，設(shè)(用復(fù)場表示)，則體系的電偶極矩為 將它們代入偶極輻射的遠(yuǎn)區(qū)公式，有 由式可以看出，場正比于，電場只有 方向分量，磁場只有方向分量，且，而在偶極矩方向上場為零。輻射能流的平均值為 對這個結(jié)果討論如下：（1） 輻射能流的特點是正比于，偶極

10、矩的平方，的四次方;（2） 這說明輻射能力在低頻時較弱，而在高頻時高，這與我們第四章所討論的“準(zhǔn)靜態(tài)近似”的適用條件一致；（3） 輻射能流正比于是一個穩(wěn)定輻射問題的必然要求，如若不然，則必然在空間產(chǎn)生能量積累，從而輻射問題不穩(wěn)定。也正因為如此，輻射能流在某一個特定的立體角組成的通道內(nèi)保持相同。在討論輻射問題時，我們常用角分布的概念來描述體系向空間不同方向輻射能量的情況，其定義為 這表示在方向單位立體角內(nèi)的平均輻射能流，顯然，現(xiàn)在輻射角分布的情況如圖所示，在的方向幅射最強，在的方向無輻射。三、磁偶極輻射下面考慮磁偶極輻射，此時應(yīng)當(dāng)考慮項。在遠(yuǎn)場（）及單頻條件下，只保留對推遲勢的作用（作代換），

11、則有 上式第一項在靜磁條件下為0，當(dāng)電流隨時間諧變時，其為電四極子的貢獻(xiàn)（嚴(yán)格證明從略，但由可知，此項積分正比于）。第二項可改寫為（用到了：） 其中，正是磁偶極子的貢獻(xiàn)，其它多極展開式中沒有磁偶極子的貢獻(xiàn)。因此，磁偶極輻射所對應(yīng)的矢勢即為式，標(biāo)勢為0。帶入勢和場的關(guān)系，即可求出磁偶極子的和： 討論如下 （1） 我們注意到磁偶極子的輻射場與電偶極子輻射場非常相似。事實上，在講解靜電/靜磁理論時我們已經(jīng)了解到，之于場與之于場完全相同。現(xiàn)在，我們又看到了相同的依賴關(guān)系將式中場中的代換成，我們就得到了磁偶極子的場！因此這兩個場互為對偶場，記住一個就可以得到另一個。更一般地，當(dāng)我們作如下代換，即可由電偶

12、極子的場推出磁偶極子的場；（2） 磁偶極輻射與電四極輻射一個量級，均比電偶極輻射小，因此對一個體系若其有磁偶極輻射，應(yīng)當(dāng)同時檢查同一量級的電四極子是否存在。§ 7.4 線型天線輻射我們討論線型天線的輻射問題。線型天線是最典型也是最常見的天線結(jié)構(gòu)，它具有較強的輻射能力和較好的輻射方向性。要解決天線輻射的問題首先要知道天線中的電流分布。 我們考慮輸入到天線中的信號隨時間作簡諧變化，則天線中的電流線密度一定也隨時間作簡諧變化。假設(shè)天線由理想導(dǎo)體組成，則電流只在導(dǎo)體表面且滿足。進(jìn)一步考慮磁場，其滿足波動方程，故其解一定是的線性組合（可以取模為的所有值）。當(dāng)天線很細(xì)時，可只考慮的兩支波的貢獻(xiàn)，

13、故以及的形式一定只是的線性組合。設(shè)信號沿天線的中點輸入，取此點為坐標(biāo)的原點，電流對此點是對稱的，在天線的兩端點()處電流應(yīng)為零，故電流分布為知道了電流分布便可計算矢勢： 如圖所示，有 將式代入式，在遠(yuǎn)場條件下（）有可由求得?？紤]遠(yuǎn)場時作代換，則電場：平均輻射能流：平均角分布為它依賴于的值。討論如下：（1） 當(dāng)天線長度遠(yuǎn)小于波長時，可以將上式展開得與式對比發(fā)現(xiàn)，此時天線等價于一個電偶極子，強度為。顯然對短天線，天線越長，輻射能力越大。（2）當(dāng)天線再增長到條件不滿足時，天線的輻射能力隨做周期性振蕩。通常人們將信號發(fā)生器與天線中間空隙的兩端分別相連， 給定一個定幅的輸入信號，測量被反射回來的信號強度

14、（稱為反射損耗return loss，S11 等），顯然這個量越小，說明輻射出去的功率越強，因此S11的極小值就標(biāo)示著天線輻射的一個極大值。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，天線的輻射能力達(dá)到極值特別是半波電線（長度）輻射能力最強。（3）隨著的增大，輻射圖案與偶極子輻射圖案有了明顯的區(qū)別，開始有分叉出現(xiàn)，并開始朝天線方向集中。真正有用的天線就是既有很好的輻射效率（S11極?。钟泻芎玫妮椛鋱D案的半波天線。§ 7.5 天 線 陣天線最重要的兩個品質(zhì)是輻射圖案和輻射效率。 雖然半波天線的輻射效率比較高，但它在角上沒有任何的定向性，在角上有一定的定向性，但不是很好。在實際應(yīng)用中，為了獲得更好的輻射方向性，

15、我們常把一系列天線排布成天線陣，利用干涉效應(yīng)來獲得較好的方向性。最常用的是把半波天線當(dāng)作基元天線列陣。慣常的排布有：線性排列（圖（a）、橫向排列（圖（b）、方陣（圖（c）。我們只討論在線性排列的情況下，它的輻射方向性同單一的半波天線有什么不同。m個半波天線線性排列，它們所激發(fā)的場到達(dá)遠(yuǎn)處某點的路程不同，這就使它們彼此間有相位差，從而發(fā)生干涉使輻射具有方向性，如圖（d）所示。每個天線與其鄰近的天線之間的路程差為（a為兩天線間的距離），若第一個天線的輻射場為則第二個半波天線的輻射場為由于，在遠(yuǎn)場條件下（），有定義，則同理可得第三個半波天線的場為依次類推，得m個半波天線產(chǎn)生的總場為可見它的輻射角分布比單個半波天線的角分布多了一個因子：因此總的輻射角分布為即在