偏導(dǎo)數(shù)在何中的應(yīng)用

1、第十四章第十四章 多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的微分學(xué)二、曲面的切平面與法線 一、空間曲線的切線和法平面一、空間曲線的切線和法平面 5 偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用三、曲面的參數(shù)方程形式設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程( )( ) (1)( )xx tyy tzz t ozyx(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).m.),(0000tttzzyyxxm 對應(yīng)于對應(yīng)于;),(0000ttzyxm 對應(yīng)于對應(yīng)于設(shè)設(shè)m 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同

2、除以上式分母同除以, t ozyxmm 割線割線 的方程為的方程為mm ,000zzzyyyxxx ,0,時時即即當(dāng)當(dāng) tmm曲線在曲線在m處的處的切線方程切線方程000000.( )( )( )xxyyzzx ty tz t在在m處的處的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. 000( ),( ),( )tx ty tz t 在在m處的處的法平面方程法平面方程：過：過m點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.000000( )()( )()( )()0 x txxy tyyz tzz解解當(dāng)當(dāng)0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,

3、sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1. 空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxm,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程法平面方程為為:特殊地：特殊地：(相當(dāng)于x=x)切線方程切線方程為為:2. 空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxgzyxf 1,( ),( ) .ty x z x 也可以利用前面的公式得到得到切向量求

4、出求出( ),( )y x z x( )( )0( )( )0 xyzxyzffy xf z xggy xg z x 通過方程組通過方程組(,)(,)( ),( , )( , )f gf gy xz xy z (,)(,)( ),( , )( , )f gf gz xx yy z 切線方程切線方程為為000,(,)(,)(,)( , )( , )( , )xxyyzzf gf gf gy zz xx y法平面方程法平面方程為為000(,)(,)(,)()()()0.( , )( , )( , )f gf gf gxxyyzzy zz xx y切向量為切向量為 1,( ),( )ty x z x

5、 (,)(,)(,),( , )( , )( , )f gf gf gty zz xx y 或或可以表為這兩個向量的線性組合。可以表為這兩個向量的線性組合。 關(guān)（即非平行）的向量確定一張過該點的平面（稱關(guān)（即非平行）的向量確定一張過該點的平面（稱為這兩個向量張成的平面），平面上的任一向量都為這兩個向量張成的平面），平面上的任一向量都由空間解析幾何知道，由一點及兩個線性無由空間解析幾何知道，由一點及兩個線性無證明證明：000(,)(,)(,)(),(),()( , )( , )( , )f gf gf gpppy zz xx y 于是于是0000000(,)grad()()( , )(,)(,)

6、()()()()( , )( , )xyzf gf(p )fppy zf gf gfppf ppz xx y 000000000()()()()()()0.()()()xyzxyzxyzfpfpf pfpfpf pgpgpg p 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz , 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求所求切線方程切線方程為為,110211 zyx法平面方程法平面方程為為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx解222222,xyrxzr關(guān)于x求偏導(dǎo)得1,1xxyzyz 1,

7、 1, 1t ()()222rrrxyz ()()0222rrrxyz所求所求切線方程切線方程為為法平面方程法平面方程為為設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxf),(),(),(000tttt 曲線在曲線在m處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點m的曲線的曲線,)()()(: tztytx ntm二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 令令則則,tn 切平面方程切平面方程為為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx法線方程法線方程為為),

8、(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 曲面曲面在在m處的法向量處的法向量即即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.特殊地：空間曲面方程形為特殊地：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在m處的處的切平面方程切平面方程為為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m處的處的法線方程法線方程為為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令 , 1xynff

9、 ,1xynff 或或)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在m處的切平面方程為處的切平面方程為),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在點在點),(000zyx處的處的切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量.,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 222cos,xxyzffff 222cos,yxyzffff 222cos,zxyzffff 解

10、解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx解解, 32),( xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面

11、方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 10 x所求切點為所求切點為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 2(1)8(2)12(2)0 xyz2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)三、曲面的參數(shù)方程形式三、曲面的參數(shù)方程形式曲面也可以表示成參數(shù)方程的形式：曲面也可以表示成參數(shù)方程的形式：曲面的

12、法向量為曲面的法向量為(, 1)ffnxy 或為或為( , )( , )( , ),( , )( , )( , )y zz xx ynu vu vu v 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向量注意采用量注意采用推導(dǎo)法推導(dǎo)法）（求法向量的方向余弦時注意（求法向量的方向余弦時注意符號符號）四、小結(jié)思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .思考題解答思考題解答,2,2,6000zyxn 設(shè)切點設(shè)切點),(000zyx依題意知切向

13、量為依題意知切向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點滿足曲面和平面方程切點滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 一、一、 填空題填空題: :1 1、 曲線曲線2,1,1tzttyttx 再對應(yīng)于再對應(yīng)于1 t的點的點處切線方程為處切線方程為_； 法平面方程為法平面方程為_._.2 2、 曲面曲面3 xyzez在點在點)0 , 1 , 2(處的切平面方程為處的切平面方程為_； 法線方程為法線方程為_._.二、二、 求出曲線求出曲線32,tztytx 上的點上的點, ,使在該點的切使在該點的切線平行于平面線平行于平面42 zyx. .三、三、 求球面求球面6222 zyx與拋物面與拋物面22yxz 的交線的交線在在)2 , 1 , 1(處的切線方程處的切線方程 . .練練 習(xí)習(xí) 題題四、求橢球面四、求橢球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. .