113傅里葉Fourier級(jí)數(shù)

1、11.3 傅里葉（傅里葉（fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)2傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理三三 函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)四四 以以2t為周期的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一一 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且f (x) 在在 ,上可積，則上可積，則f (x) 的的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)定義為如下的三角級(jí)數(shù)：定義為如下的三角級(jí)數(shù)：10)sincos(2nnnnxbnxaa1( )cosdnaf xnxx (0,1,2,)n 1( )sind(1, 2,)nbf xnxxn 其中其

2、中稱為稱為f (x) 的的傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)。解解: : 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為), xxxxf0,00,)(求求 f (x) 的傅的傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). 例例1 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 xxfad)(10 0d1 xx 0221x2 0dcos1 xxnx xnxxfandcos)(10sin1nxxdnsin|sin100nxdxnxxn xnxxfbndsin)(1nn 1)1( 0dsin1 xnxx112sin) 1(cos) 1(1nnnnxnnxn4 所以所以 f (x) 的傅的傅里里葉級(jí)數(shù)為：葉級(jí)數(shù)為： 2) 1(1nn0

3、sin1nxdxn02|cos1nxn注：（注：（1）當(dāng)）當(dāng)f (x) 為偶函數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)時(shí)，0dcos)(2xnxxfanf (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)：的傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)：10cos2nnnxaa（2）當(dāng)）當(dāng)f (x) 為奇函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)時(shí)，0dsin)(2xnxxfbnf (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)：的傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)：1sinnnnxb, 0cos)(1nxdxxfan, 0sin)(1nxdxxfbn二二 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理, )(xf(0)(0),2f xf x x 為為f (x)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) x 為為f (x)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)(1)在區(qū)間在區(qū)

4、間- , 上連續(xù)或者上連續(xù)或者僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);(2)在區(qū)間在區(qū)間- , 上上僅有有限個(gè)極值點(diǎn)僅有有限個(gè)極值點(diǎn);定理定理1 （狄利克雷狄利克雷( dirichlet )收斂定理收斂定理）周期為周期為2 的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，且在區(qū)間且在區(qū)間- , 上上滿足條件：滿足條件：設(shè)設(shè) f (x) 是是 01cossin2nnnaanxbnx 則則 f (x) 的傅的傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù)收斂，收斂，其和函數(shù)其和函數(shù))(xs例如，例例如，例1中的傅立葉級(jí)數(shù)中的傅立葉級(jí)數(shù) 112)sin)1(cos)1(1(nnnnxnnxn 4 xoy2332)(xf, )(xf, 2, 1,

5、 0,) 12(,kkxx,2, 2, 1, 0,) 12(kkx例例2 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為,(解解:s (x)為為f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)，的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)， 求求).5(),(),1 (sss2323oxxxf0, 10, 1)(, 1) 1 (s, 0)(s1)5(s三三 函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)1 1 以以2 2 為周期為周期 的周期函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的周期函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) oyx0a xxfd)(1 0d2xx 解解:na xnxxfdcos)(1 0dcos2xnxx

6、 02cossin2 nnxnnxx22( 1)1 )nn ( ) |()f xxx將函數(shù)將函數(shù)(2 )( ),f xf x 且且( )f x展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。例例3 3 設(shè)設(shè) )(xf2 ()x 2 12cos1)1(2nnnxn xkkk) 12cos() 12(1412注：注： 當(dāng)取當(dāng)取0 x時(shí)，得時(shí)，得8) 12(1212kk記記,112nn,) 12(1121kk,)2(1122kk則則,21,42821.62即即61212nn例例4 將定義在將定義在, 上函數(shù)上函數(shù)20( )00 xf xx 展開(kāi)成傅展開(kāi)成傅里里葉級(jí)數(shù)。葉級(jí)數(shù)。解解01( )af x dx 02d

7、x 2 1( )cosnaf xnxdx 02cosnxdx 0 xy0232322 定義在定義在 上的上的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) ,( )f x 1141sin(21)21kkxk ,0 xx( )1( )sinnbf xnxdx 02sinnxdx 02cosnxn 1( 1)2nn 2nk 4(21)k 21nk01xyo解解: 先求正弦級(jí)數(shù)先求正弦級(jí)數(shù). 0dsin)(xnxxf 2 nb 0dsin)1(2xnxx) 1)(1(1 2nn 1x 1sin)1)(1(12nnnxn )0( x3 定義在定義在0, 上的函數(shù)展開(kāi)成正弦、余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展開(kāi)成正弦、余弦級(jí)

8、數(shù))0(1)( xxxf分別展成正弦級(jí)分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) . 例例5 將函數(shù)將函數(shù)再求余弦級(jí)數(shù)再求余弦級(jí)數(shù).x1yo 0a 0d)1(2xx na 0dcos)1(2xnxx2 1) 1(22nn12,)12(42 knk kn2,0 121 x 12)12(14kk xk)12cos( )0( x設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2t 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且f (x) 在在,tt上可積，則上可積，則f (x) 的的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)定義為如下的三角級(jí)數(shù)：定義為如下的三角級(jí)數(shù)：10)sincos(2nnntxnbtxnaa(0,1,2,)n 其中其中ttnxtxnxftadcos)(1), 3 , 2 , 1(dsin)(1nxtxnxftbttn4 以以2t為周期的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù), )(xf(0)(0),2f xf x x 為為f (x)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) x 為為f (x)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)(1)在區(qū)間在區(qū)間-t, t上連續(xù)或者上連續(xù)或者僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)則則 f (x) 的傅的傅里里葉級(jí)數(shù)收斂，且葉級(jí)數(shù)收斂，且(2)在區(qū)間在區(qū)間-t,