2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(課堂PPT）

1、2.32.3等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 泰姬陵坐落于印泰姬陵坐落于印度距首都新德里度距首都新德里200200多公里外的北方邦的多公里外的北方邦的阿格拉市，是十七世阿格拉市，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的白大理石砌建而成的主體建筑令人心醉神主體建筑令人心醉神迷，陵寢以寶石鑲嵌，迷，陵寢以寶石鑲嵌，圖案細(xì)致圖案細(xì)致, ,絢麗奪目、絢麗奪目、美麗無比，令人叫絕美麗無比，令人叫絕. .成為世界八大奇跡之成為世界八大奇跡之一一. .問題呈現(xiàn) 傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大傳說陵寢中有

2、一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有小的圓寶石鑲飾而成，共有100100層（見左層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？問題問題1 1： 一個(gè)堆放鉛筆的一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最形架的最下面一層放一支鉛筆，往下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放多放一支，最上面一層放100支支.這個(gè)這個(gè)V形架上共放著形架上共放著多少支鉛筆？多少支鉛筆？ 問題就是問題就是 求求“1+2+3+4+100=？” 德國古代著名數(shù)學(xué)家高斯德國古代著名數(shù)學(xué)家高斯10歲的時(shí)

3、候很快就解決了這個(gè)問題：歲的時(shí)候很快就解決了這個(gè)問題：123100=？你知道高斯？你知道高斯是怎樣算出來的嗎？是怎樣算出來的嗎？高斯（高斯（Gauss,17771855），德國著名數(shù)學(xué)），德國著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是歷數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王數(shù)學(xué)王子子”.問題問題2:2:求和求和:1+2+3+4+n=?記記:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1)1(2 nnS上述求解過程帶給我們什么啟示？上述求解過程帶給我們什么啟示？(

4、1)所求的和可以用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)來表示；所求的和可以用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)來表示；(2)等差數(shù)列中任意的第等差數(shù)列中任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和。等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和。2)1( nnS問題問題3 3：設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a1，公差為，公差為d，如，如何求等差數(shù)列的前何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn= a1 +a2+a3+an?解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閍1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS 兩式左右分別相加，得兩式左右分別相加，得倒序相加倒序相加S=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anS=an+an-1+an

5、-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)變式：能否用變式：能否用a a1 1,n,d,n,d表示表示S Sn n？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 111()1) nSaadand（()(1) nnnnSaadand)(21nnaanS1()12nnn aaS公式dnaan) 1(11(1)22nn nSnad公式問題4： ?nnan如何求等差數(shù)列的前 項(xiàng)和S求和公式求和公式1()2nnn aaS等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：項(xiàng)和的公式：

6、1(1)2nn nSnaddnaan) 1(1公式的記憶公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前列前 n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式.na1an1()2nnn aaS 例例1:根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列 的的 nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda.32,7.0,5.14)3(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010 SdnnnaSn2) 11（2550)2(2) 150501005050（Sdnaan) 1(1,2617 . 05 .1432n.5 .6042)325 .

7、14(2626 S 例例2 2、20002000年年1111月月1414日教育部下發(fā)了日教育部下發(fā)了關(guān)于在關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施中小學(xué)實(shí)施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市據(jù)此提出，某市據(jù)此提出了實(shí)施了實(shí)施“校校通校校通”工程的總目標(biāo)：從工程的總目標(biāo)：從20012001年起用年起用1010年年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測算，算，20012001年該市用于年該市用于“校校通校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為工程的經(jīng)費(fèi)為500500萬萬元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加都比上

8、一年增加5050萬元。那么，從萬元。那么，從20012001年起的未來年起的未來1010年內(nèi)，該市在年內(nèi)，該市在“校校通校校通”工程中的總投入是多少？工程中的總投入是多少？分析：找關(guān)鍵句；分析：找關(guān)鍵句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由題意，該市在解：由題意，該市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列的資金構(gòu)成等差數(shù)列an，且，且a1=500,d=50,n=10.故，該市在未來故，該市在未來10年內(nèi)的總投入為：年內(nèi)的總投入為：101010 110 5005072502S萬元答答 例例3 求集合求集合 的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.10

9、0,7|mNnnmmM且解：解：1007 n72147100 n所以集合所以集合M中的元素共有中的元素共有14個(gè)個(gè).將它們從小到大列出，得將它們從小到大列出，得,7, 72, 73, 74, 714即即 7，14，21，28，98這個(gè)數(shù)列是成等差數(shù)列，記為這個(gè)數(shù)列是成等差數(shù)列，記為 na14,98, 7141naa.7352)987(1414S2)1nnaanS（答：集合答：集合M共有共有14個(gè)元素，它們的和等于個(gè)元素，它們的和等于735.例例4、已知一個(gè)等差數(shù)列的前、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是310，前前20項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前，由此可以確定求其前n項(xiàng)項(xiàng)

10、和的公式嗎？和的公式嗎？解：由于解：由于S10310，S201220，將它們代，將它們代入公式入公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn 例例4、已知一個(gè)等差數(shù)列的前、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是310，前前20項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前，由此可以確定求其前n項(xiàng)和項(xiàng)和的公式嗎？的公式嗎？1101011010()310622aaSaa1202012020()12201222aaSaa201060aa1060d6d14a 21132nn nSa ndnn（）另解： 兩式

11、相減得 兩個(gè)等差數(shù)列兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，190和和2，8，14，200,由這兩個(gè)等差由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列的順序組成一個(gè)新數(shù)列,求求這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和.解法：通項(xiàng)公式分別是an=2+(n1)4 bn=2+(n1)6觀察： 2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，50， 2，8，14，20，26，32，38，77，50，39，43，47，51，因此，這兩個(gè)數(shù)列相同項(xiàng)組成一個(gè)首項(xiàng)c1=2, 公差 d=12的等差數(shù)列cn 因?yàn)椋嗤捻?xiàng)不大于190和200中的較小者，所以， cn=2+(n1

12、)12190 得 n16 又 nN* 故這兩個(gè)數(shù)列中相同的項(xiàng)共有16個(gè)。從而這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為 3114721221516216S練習(xí)練習(xí)1 1、計(jì)算、計(jì)算（1 1） 5+6+7+79+80（2 2） 1+3+5+1+3+5+ +（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+ +（2 2n-1-1）-2-2n-nn2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn 3230提示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn練習(xí)練習(xí)2.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn， 若若a4+a5=18，則則S8等于（等于（ ） A.18 B.36 C.54 D.72 D課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1 1等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的公式；項(xiàng)和的公式； 2 2等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法倒序相加法；倒序相加法； 3. 3.公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用( (知三求一知三求一) )。（兩個(gè)）（兩個(gè)）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad1.教材P52 A組1(3)(4),2,3,4,5,6課后作業(yè)課后