【創(chuàng)新方案】高考數學理一輪突破熱點題型：第4章 第3節(jié)　平面向量的數量積及平面向量的應用

1、高考數學精品復習資料 2019.5第三節(jié)平面向量的數量積及平面向量的應用 考點一平面向量數量積的概念及運算 例1(1)(20xx·湖北高考)已知點a(1,1)、b(1,2)、c(2，1)、d(3,4)，則向量在方向上的投影為()a. b. c d(2)如圖，在矩形abcd中，ab，bc2，點e為bc的中點，點f在邊cd上，若·，則·的值是_自主解答(1)a(1,1)，b(1，2)，c(2，1)，d(3,4)，(2,1)，(5,5)，因此cos，向量在方向上的投影為|·cos，×.(2)以a為坐標原點，ab，ad所在的直線分別為x，y軸建立直角坐

2、標系，則b(，0)，e(，1)，d(0,2)，c(，2)設f(x，2)(0x)，由·xx1，所以f(1,2)，·(，1)·(1，2).答案(1)a(2)【互動探究】在本例(2)中，若四邊形abcd是邊長為1的正方形，點e是ab上的動點，求·的值及·的最大值解：以a點為原點，ab邊所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則正方形各頂點坐標分別為a(0,0)、b(1,0)、c(1,1)、d(0,1)，設e(a，0)，0a1.·(a，1)·(0，1)a×0(1)×(1)1.·(a，1)·

3、(1,0)a(1)×0a1，故·的最大值為1. 【方法規(guī)律】平面向量數量積的類型及求法(1)平面向量數量積有兩種計算公式：一是夾角公式a·b|a|b|cos ；二是坐標公式a·bx1x2y1y2.(2)求較復雜的平面向量數量積的運算時，可先利用平面向量數量積的運算律或相關公式進行化簡1若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，滿足條件(8ab)·c30，則x_.解析：a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又c(3，x)，(8ab)·c183x30，x4.答案：42已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a

4、e12e2，bke1e2，若a·b0，則實數k的值為_解析：e1，e2的模為1，且其夾角.a·b(e12e2)·(ke1e2)kee1·e22ke1·e22ek(12k)cos22k.又a·b0，2k0，即k.答案：高頻考點考點二 平面向量的夾角與模的問題1平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純热?，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題2高考對平面向量的夾角與模的考查常有以下幾個命題角度：(1)求兩向量的夾角；(2)兩向量垂直的應用；(3)已知數量積求模；(4)知模求模例2(1)(20xx·湖南高考)已知a，b是單位向

5、量，a·b0.若向量c滿足|cab|1，則|c|的最大值為()a.1 b. c.1 d.2(2)(20xx·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(3)(20xx·山東高考)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實數的值為_(4)(20xx·天津高考)在平行四邊形abcd中， ad1，bad60°，e為cd的中點若·1, 則ab的長為_ 自主解答(1)建立如圖所示的直角坐標系，由題意知ab，且a與b是單位向量，可設a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1

6、)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即點c(x，y)的軌跡是以m(1,1)為圓心，1為半徑的圓而|c|，|c|的最大值為|om|1，即|c|max1. (2)由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2|a2b|2|a|24|b|24a·b，所以a·b|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(3)，·0，()·0，即()·()·22·0.向量與的夾角為120°，|3，|2，(1)| |·cos 120°940，解得.(4)法一：由題意可知，.因為·1，所以()·1，即2

7、·21.因為|1，bad60°，所以|，即ab的長為.法二：以a為原點，ab為x軸建立如圖所示的直角坐標系，過d作dmab于點m.由ad1，bad60°，可知am，dm.設|ab|m(m>0)，則b(m,0)，c，d.因為e是cd的中點，所以e.所以，.由·1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故ab的長為.答案(1)c(2)(3)5(4)平面向量的夾角與模問題的常見類型及解題策略(1)求兩向量的夾角cos ，要注意0，(2)兩向量垂直的應用兩非零向量垂直的充要條件是：aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模利用數量積求解長度

8、問題的處理方法有：a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，則|a|.1若a(1,2)，b(1，1)，則2ab與ab的夾角等于()a b. c. d.解析：選c2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)·(ab)9，|2ab|3，|ab|3.設所求兩向量夾角為，則cos ，又0，故.2已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數，若向量ab與向量kab垂直，則k_.解析：a與b是不共線的單位向量，|a|b|1.又kab與ab垂直，(ab)·(kab)0，即ka2ka·ba·bb2

9、0.k1ka·ba·b0，即k1kcos cos 0(為a與b的夾角)(k1)(1cos )0，又a與b不共線，cos 1，k1.答案：13已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，則|2|的值為_解析：(2,0)，|2，又(2)，·(2)22·12·0.·.(2)24224·44210.|2|.答案：考點三平面向量數量積的應用 例3(20xx·江蘇高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設c(0,1)，若abc，求，的值自主解

10、答(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22a·bb22.又因為a2b2|a|2|b|21，所以22a·b2，即a·b0，故ab.(2)因為ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos()，由0<<，得0<<，又0<<，故.代入sin sin 1，得sin sin ，而>，所以，.【方法規(guī)律】平面向量與三角函數的綜合問題的命題形式與解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解(2)給出用三角函數表示的向

11、量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等.設向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos，4sin )(1)若a與b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求證：ab.解：(1)由a與b2c垂直，得a·(b2c)a·b2a·c0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)bc(sin cos ，4cos 4sin )，|bc|2sin22sin cos cos216cos232cos sin 16sin21730

12、sin cos 1715sin 2，故最大值為32，所以|bc|的最大值為4.(3)證明：由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4cos ·4cos sin sin 0，所以ab.課堂歸納通法領悟1個條件兩個非零向量垂直的充要條件兩個非零向量垂直的充要條件為：aba·b0.2個結論與向量夾角有關的兩個結論(1)若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0°；(2)若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或180°.4個注意點向量運算中應注意的四個問題(1)在求abc的三邊所對應向量的夾角時，要注意是三角形的內角還是外角如在等邊abc中，與的夾角應為120°而不是60°.(2)在平面向量數量積的運算中，不能從a·b0推出a0或b0成立實際上由a·b0可推出以下四種結論：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(3)實數運算滿足消去律：若bcca，c