【跨越一本線】高三數(shù)學(xué)誤區(qū)：3.2三角函數(shù)圖象變換失誤含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5高三數(shù)學(xué)跨越一本線精品誤區(qū)二：三角函數(shù)圖象變換失誤三角函數(shù)的圖象變換,是三角函數(shù)考查熱點(diǎn)之一,也是易錯(cuò)點(diǎn)之一,雖然說圖象變換不外乎平移、伸縮、翻折(對(duì)稱)這三類,但考生在變換過程中出現(xiàn)的差錯(cuò)卻比比皆是,究其原因,是對(duì)函數(shù)性質(zhì)及其圖象特征認(rèn)識(shí)不夠深入,因此在變換中,對(duì)變換的數(shù)據(jù)無法完全把握,從而造成失誤.本文重點(diǎn)從高考中涉及較多的伸縮變換和平移變換加以辨析.一、伸縮變換伸縮變換是容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的一個(gè)類型,是因?yàn)檫@類變換體現(xiàn)在橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)上的變化似乎不一樣,比如：將函數(shù)yf(x)的圖象變換為y2f(x)的圖象,需要將yf(x)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)擴(kuò)大為

2、原來的2倍；而將函數(shù)yf(x)的圖象變換為yf(2x)的圖象,則需要將yf(x)的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小為原來的.之所以出現(xiàn)這個(gè)差異(一個(gè)是擴(kuò)大,一個(gè)是縮小),原因很簡(jiǎn)單,注意到后一個(gè)關(guān)于橫坐標(biāo)的變化中,系數(shù)2就是x的系數(shù),而前一個(gè)關(guān)于縱坐標(biāo)的變換,系數(shù)2并不是y的系數(shù),如果要將這個(gè)系數(shù)寫到y(tǒng)身上,則是yf(x),這樣以來,變換的“拉伸”和“壓縮”與系數(shù)的關(guān)系就統(tǒng)一起來了.【例1】【山西省運(yùn)城市高三上學(xué)期期中】把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半,縱坐標(biāo)保持不變,再把圖象向右平移個(gè)單位,這是對(duì)應(yīng)于這個(gè)圖象的解析式為（ ）ab cd【分析】本題的第一步變換容易出現(xiàn)失誤,題

3、目要求“把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半(縱坐標(biāo)不變)”,不少考生將x的系數(shù)由1變?yōu)?,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤【解析】函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半,縱坐標(biāo)保持不變得到,再把圖象向右平移個(gè)單位,得到.【答案】a【小試牛刀】把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象所表示的函數(shù)為 【分析】本題與例1及極其相似,關(guān)鍵是后一步伸縮變化時(shí),不要將系數(shù)誤寫為2.【答案】. 二、平移變換相對(duì)來說,平移變換似乎問題少一些,因?yàn)榇蠹叶加涀×艘粋€(gè)口訣：左加右減,上加下減.卻很少有人追問：為什么向y軸正方向(上方)平移就是加,而向x軸正方

4、向(右方)平移卻是減？其實(shí),理由與伸縮變換的理由很類似,yf(x)變換為yf(x)1,確實(shí)是縱坐標(biāo)增大了一個(gè)單位,所以向上平移；而將yf(x)變換為yf(x1),對(duì)應(yīng)的x應(yīng)該減小1個(gè)單位,函數(shù)式才能保持等量關(guān)系,所以需要向左(負(fù)方向)平移1個(gè)單位.【例2】【20xx湖北省荊州市高三上學(xué)期第一次質(zhì)檢】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小值為( )a b c. d【分析】先得到平移后的解析式y(tǒng),再根據(jù)所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,寫出m的表達(dá)式,找出最小值.【答案】c【點(diǎn)評(píng)】(1)平移變換中,記住“左加右減,上加下減”的口訣是沒有錯(cuò),但這只能確定平移方向,還需要注意平移的幅

5、度,否則也是很容易出現(xiàn)差錯(cuò)的.(2)函數(shù)yasin(x)的圖象與x軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其對(duì)稱中心,經(jīng)過該圖象上坐標(biāo)為(x,±a)的點(diǎn)與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對(duì)稱軸【小試牛刀】【福建省師大附中高三上學(xué)期期中】要得到函數(shù)的圖象,只需要將函數(shù)的圖象（ ）a向左平移個(gè)單位 b向右平移個(gè)單位c向左平移個(gè)單位 d向右平移個(gè)單位【答案】b【點(diǎn)評(píng)】利用圖象的變換作圖象時(shí),提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形,請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少先周期變換（伸縮變換）再平移變換：先將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮ǎ?再沿軸

6、向左（）或向右平移個(gè)單位可得到的圖象三、平移與伸縮綜合問題現(xiàn)在的試題中,三角函數(shù)圖象變換通常是平移與伸縮變換同時(shí)進(jìn)行,即將ysinx變換為yasin(x)的形式,此類問題有兩條路線可走：一是先平移,平移量為個(gè)單位,然后橫向伸縮變化,伸縮量為倍,最后做縱向伸縮變換,伸縮量為a倍.二是先橫向伸縮,伸縮量為倍,然后橫向平移,此時(shí)要特別小心,平移量為個(gè)單位(這往往也是命題者考查學(xué)生的關(guān)鍵點(diǎn)),最后做縱向伸縮變換,伸縮量為a倍.【例3】【天津六校高三上學(xué)期期中聯(lián)考】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象則圖象一條對(duì)稱軸是（ ）a b c d【分析】先確定,再由確

7、定對(duì)稱軸.【解析】函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,得,再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,對(duì)稱軸為,所以選c.【答案】c【點(diǎn)評(píng)】在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí),提倡“先平移,后伸縮”,而“先伸縮,后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中,所以也必須熟練掌握,但要注意：先伸縮后平移時(shí)要把x前面的系數(shù)提取出來【小試牛刀】【20xx河南省豫北名校聯(lián)盟高三年級(jí)精英對(duì)抗賽】若將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）,再將所得圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（ ） a b c. d【答案】d遷移運(yùn)用1.【20xx中原名校豫南九校第四次質(zhì)量考評(píng)】要得到函數(shù)的圖象,只需將圖象上的所有點(diǎn)（ ）a

8、向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 b向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度c.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 d向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】d【解析】,向右平移個(gè)單位得.選d.2.【20xx福建廈門一中上學(xué)期期中】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,若所得圖像與原圖像重合,則的值不可能等于（ ）a4 b6 c8 d12【答案】b【解析】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位若所得圖象與原圖象重合,所以是已知函數(shù)周期的整數(shù)倍,即（）,解得（）,a,c,d正確故選b3.【20xx山東濰坊高三上學(xué)期期中聯(lián)考】為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象（ ）a向左平移個(gè)單位 b向右平移個(gè)單位 c向左平移個(gè)單位 d向右平移個(gè)單位【答案】a4.【20xx山東

9、省棗莊市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù),將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的圖象與原圖象重合,則的最小值為（ ）a b c. d【答案】b【解析】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,又因?yàn)樗玫膱D象與原圖象重合,所以,即,所以=65.【20xx遼寧盤錦市高中11月月考】已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是（ ）a導(dǎo)函數(shù)為b函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱c函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)d函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】c【解析】,故a錯(cuò)誤；b當(dāng)時(shí),不是最值,故的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱,故b錯(cuò)誤；c當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞增函數(shù),故c正確；d函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到,則不能得到函數(shù)的圖象,故d錯(cuò)誤,故選c.6.【

10、20xx山西運(yùn)城上學(xué)期期中】把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來的一半,縱坐標(biāo)保持不變,再把圖象向右平移個(gè)單位,這是對(duì)應(yīng)于這個(gè)圖象的解析式為（ ）abcd【答案】a【解析】函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半,縱坐標(biāo)保持不變,可以得到函數(shù)的圖象,再把圖象向右平移個(gè)單位,以得到函數(shù)的圖象.故選a7（湖北武漢華中師大第一附中高三上期中）函數(shù)的圖象如圖所示,為了得到的圖象,可以將的圖象（ ）a向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 b向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度c向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 d向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】b8.為了得到函數(shù)的圖像,可以將函數(shù)的圖像( )a. 向右平移個(gè)單位 b.向左平移個(gè)單位 c.向右平移個(gè)單位

11、 d.向左平移個(gè)單位 【解析】ysin3xcos3xsin(3x)sin3(x),故需將ysin3x的圖象向左平移【答案】d9將函數(shù)的圖象按向量平移后,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的解析式為( )a. b.c. d.【答案】a【解析】將函數(shù)的圖象按向量平移后,得到函數(shù)的圖象,即函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位.即即可得.故選a.10函數(shù)的部分圖象如圖示,則將的圖象向右平移個(gè)單位后,得到的圖象解析式為( )a b c d【答案】d11.【20xx湖北孝感高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象關(guān)于對(duì)稱,

12、則的最小值為（ ）a b c. d【答案】b【解析】向左平移個(gè)單位后得到,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到,此函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱,所以令,得,所以,得,則的最小值為.12.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像,若對(duì)滿足的,有,則（ ）.a. b. c. d.【答案】d【解析】依題意向右平移個(gè)單位后,得到,又因?yàn)?,所以不妨設(shè),所以. 又因?yàn)?所以.故選d.13（江西省南昌二中高三上第三次考試）將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半,縱坐標(biāo)不變,再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,則 【答案】14.【20xx浙江杭州地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高三上學(xué)期期中】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)

13、縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）,再把得到的圖象向右平移個(gè)單位,得到的新圖像的函數(shù)解析式為 ,的單調(diào)遞減區(qū)間是 【答案】；,【解析】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,得,再把得圖象向右平移個(gè)單位,得；由,即,所以的單調(diào)遞減區(qū)間是15.【20xx江蘇徐州豐縣民族中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考】如圖所示函數(shù)（,）的部分圖像,現(xiàn)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的解析式為 【答案】16.【20xx廣西南寧、梧州高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考】函數(shù)的部分圖象如圖3所示,則的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移 個(gè)單位得到【答案】【解析】由圖象可得,解得,由得.因?yàn)閳D象過點(diǎn),所以,則,得,由,得,所以將的圖象

14、向右平移個(gè)單位得到函數(shù).17.【20xx中原名校高三上學(xué)期第三次質(zhì)量考評(píng)】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖像,求當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,再將其向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象.因?yàn)?所以,所以,所以即函數(shù)的值域?yàn)?18已知向量,函數(shù)f(x),且yf(x)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)(1)求m,n的值；(2)將yf(x)的圖象向左平移(0)個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x)的圖象,若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間【答案

15、】(1)m,n1；(2),kz.【解析】試題分析：(1)利用數(shù)量積列出等式,利用圖象經(jīng)過已知兩點(diǎn),可解出m,n的值；(2)設(shè)出平移后的最高點(diǎn),利用最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求出最高點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而解得平移量,求出單調(diào)區(qū)間.試題解析：(1)由題意知,f(x)a·bmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖像過點(diǎn)()和點(diǎn)(,2),所以即解得m,n1.(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x)由題意知,g(x)f(x)2sin(2x2)設(shè)yg(x)的圖像上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)由題意知,x0211,所以x00,即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高

16、點(diǎn)為(0,2)將其代入yg(x)得,sin(2)1.因?yàn)?<<,所以.因此,g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k,kz得kxk,kz,所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kz.19已知函數(shù)的周期為,且 ,將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像.(1)求函數(shù)與的解析式；(2)是否存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在,請(qǐng)求出的值,若不存在,說明理由；(3)求實(shí)數(shù)與正整數(shù),使得在內(nèi)恰有20xx個(gè)零點(diǎn)【答案】(1)；(2)假設(shè)存在,當(dāng)時(shí),又,則,所以,即,化簡(jiǎn)得或與矛盾,所以不存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列；(3),.【解析】(1)由函數(shù)的周期為可得,又由,得,所以；將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(保持縱坐標(biāo)不變)后可得的圖像,再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到