01第八章第1節(jié)多元函數(shù)的基本概念

1、2（1）鄰域）鄰域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念 3（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)設(shè)epepuppe .ee 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于ep .為開(kāi)集為開(kāi)集則稱則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集ee41),(221 yxyxe例如，例如，即為開(kāi)集即為開(kāi)集4的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于也有不屬于的點(diǎn)，的點(diǎn)，于于

2、的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)epeepeepep 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 ee是連通的是連通的開(kāi)集開(kāi)集，則稱，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來(lái)，連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開(kāi)集如果對(duì)于是開(kāi)集如果對(duì)于設(shè)設(shè)dddd 5連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo60| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo例

3、如，例如，則稱為無(wú)界點(diǎn)集則稱為無(wú)界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否為有界點(diǎn)集，否成立，則稱成立，則稱對(duì)一切對(duì)一切即即，不超過(guò)不超過(guò)間的距離間的距離與某一定點(diǎn)與某一定點(diǎn)，使一切點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集eepkapkapaepke 41| ),(22 yxyx7（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) e 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，p 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) p 的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 e，則則稱稱 p 為為 e 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn).1 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；2 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| )

4、,(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)83 點(diǎn)集點(diǎn)集e的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于e，也可以不屬于，也可以不屬于e10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合9（4）n維空間維空間1 n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為;nr2 n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 10),(21nxxxp),(21nyyyq.)()()(|2222211nnxyxyxypq 3 n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nrpp

5、pppu ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為11（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義:長(zhǎng)方形面積長(zhǎng)方形面積xysxys 00yx,:上半單位球面方程上半單位球面方程221yxzxzyo),(),(122yxyxdyx12當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元

6、以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù):定義定義13:說(shuō)明說(shuō)明;會(huì)求函數(shù)的定義域會(huì)求函數(shù)的定義域xyz 0 xyd:xyoyxz111 yxd:xy14例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxd 15二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.的圖形的圖形二元函數(shù)二元函數(shù)),()(yxfz 616xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxd 222yxaz

7、 .222yxaz 單值分支單值分支:17圖形圖形)(221yxzxyzo221yxzxyz18二、多元函數(shù)的極限:一元函數(shù)一元函數(shù)axfxx)(lim0語(yǔ)言）語(yǔ)言）( 為一常數(shù)，為一常數(shù)，點(diǎn)某去心鄰域內(nèi)有定義點(diǎn)某去心鄰域內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè)axxf0)(, 0 恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)總總,0, 00 xx.)( axf的極限，的極限，當(dāng)當(dāng)叫做叫做則稱則稱0)(xxxfa:類類似似),(yxfz 對(duì)對(duì),),(,),(),(ayxfyxpyxp點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí)如果當(dāng)如果當(dāng)000為極限為極限以以時(shí)時(shí)則稱當(dāng)則稱當(dāng)ayxfyyxx),(,0019 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,(,000yxp

8、d是其聚點(diǎn)， 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)， 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ， 總存在正， 總存在正數(shù)數(shù) ， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxpp的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有 |),(|ayxf成立，則稱成立，則稱 a a 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，時(shí)的極限， 記為記為 ayxfyyxx ),(lim00 定義1)(語(yǔ)言語(yǔ)言 apfpp)(lim0或或:多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限20說(shuō)明：說(shuō)明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函數(shù)的極限也叫二

9、重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxxapfppapfpp)(,)(lim)(時(shí)時(shí)以任意方式趨于以任意方式趨于0030p21例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx012222yxyxsin)(22221sinyxyx 22yx , 0 , 取取當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立 012222yxyxsin)(要使要使, 22yx只要只要22;)(法求二元函數(shù)的極限法求二元函數(shù)的極限用一元函數(shù)求極限的方用一元函數(shù)求極限的方411300 xyxyyxlim例例xyxyxyyx)(l

10、im11002yxxyxx21140)(lim例例yxxxyxx)(lim110e23例例5 5 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 24apfapfpppp)(lim,)(,)(005不能斷定不能斷定時(shí)時(shí)只取某些特殊路徑趨于只取某些特殊路徑趨于如果點(diǎn)如果點(diǎn):由此知由此知.,則函數(shù)極限不存在則函數(shù)極限不存在若存在兩路徑

11、極限不同若存在兩路徑極限不同在的方法在的方法判別多元函數(shù)極限不存判別多元函數(shù)極限不存25.lim不存在不存在證明證明例例2222006yxyxyx000yoxyxp此時(shí)此時(shí)軸趨于軸趨于沿沿當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)解解),(),(:222200yxyxyxlim220 xxx lim1000 xoyyxp此時(shí)此時(shí)軸趨于軸趨于沿沿當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)),(),(222200yxyxyxlim220yyylim1極限不存在極限不存在26例例7 7 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變

12、化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在27（1） 令令),(yxp沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxp，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxp處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：288例例?)ln(lim是否存在是否存在yxxyxyx100:解解xxy 取取yxxyxyx)ln(lim100yxyxyx200lim xxxx320lim)(

13、lim 320 xxx33031 ,.極限不存在極限不存在29三、多元函數(shù)的連續(xù)性)(xfy 對(duì)對(duì):連續(xù)連續(xù))()(lim00 xfxfxx)()(lim00pfpfpp或或),(yxfz 對(duì)對(duì):連續(xù)連續(xù))()(lim00pfpfpp或或),(),(lim0000yxfyxfyyxx30 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, pd是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且dp 0，如果，如果)()(lim00pfpfpp 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(pf在點(diǎn)在點(diǎn)0p處連續(xù)處連續(xù). . 定義定義3 331:說(shuō)明說(shuō)明下三條同時(shí)成立下三條同時(shí)成立點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在),(),()(0001yxpyxfz點(diǎn)

14、有定義。點(diǎn)有定義。在在),(),()0001yxpyxfz 存在存在),(lim)yxfyyxx002),(),(lim)00003yxfyxfyyxx上三條至少有一不成立上三條至少有一不成立點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)在在),(),()(0002yxpyxfz32.),(,),()(內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)是是稱稱內(nèi)各點(diǎn)都連續(xù)內(nèi)各點(diǎn)都連續(xù)在在如果如果dyxfzdyxfz3無(wú)裂縫的曲面。無(wú)裂縫的曲面。一個(gè)無(wú)孔洞、一個(gè)無(wú)孔洞、二元連續(xù)函數(shù)的圖形是二元連續(xù)函數(shù)的圖形是)(4)(221yxz如如33例例9 9討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在

15、在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解,),(),(點(diǎn)有定義點(diǎn)有定義在在00yxf),(limyxfyx00223300yxyxyxlim)sin(coslimsincos 330rrryrx0),(),(lim0000fyxfyx即連續(xù)即連續(xù)34例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)35閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

16、 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在d d上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在d d上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理36 多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)所表