高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：正弦定理和余弦定理教學(xué)案含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第七節(jié)正弦定理和余弦定理知識(shí)能否憶起1正弦定理分類內(nèi)容定理2r(r是abc外接圓的半徑)變形公式a2rsin_a，b2rsin_b，c2rsin_c，sin asin bsin cabc，sin a，sin b，sin c解決的問(wèn)題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角2余弦定理分類內(nèi)容定理在abc中，有a2b2c22bccos_a；b2a2c22accos_b；c2a2b22abcos_c變形公式cos a；cos b；cos c解決的問(wèn)題已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角3三角形中常用的面積

2、公式(1)sah(h表示邊a上的高)；(2)sbcsin aacsin babsin c；(3)sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)小題能否全取1(20xx·廣東高考)在abc中，若a60°，b45°，bc3，則ac()a4b2c. d.解析：選b由正弦定理得：，即，所以ac×2.2在abc中，a，b1，c2，則a等于()a30° b45°c60° d75°解析：選ccos a，又0°<a<180°，a60°.3(教材習(xí)題改編)在abc中，若a18，b24，a45

3、76;，則此三角形有()a無(wú)解 b兩解c一解 d解的個(gè)數(shù)不確定解析：選b，sin bsin asin 45°，sin b.又a<b，b有兩個(gè)4(20xx·陜西高考)在abc中，角a，b，c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若a2，b，c2，則b_.解析：由余弦定理得b2a2c22accos b4122×2×2×4，所以b2.答案：25abc中，b120°，ac7，ab5，則abc的面積為_(kāi)解析：設(shè)bcx，由余弦定理得4925x210xcos 120°，整理得x25x240，即x3.因此sabcab×bc×

4、sin b×3×5×.答案：(1)在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在abc中，a>ba>bsin a>sin b.(2)在abc中，已知a、b和a時(shí)，解的情況如下：a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin absin a<a<baba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形典題導(dǎo)入例1(20xx·浙江高考)在abc中，內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsin aacos b.(1)求角b的大??；(2)若b3，sin c2sin a，求a，c的值自主

5、解答(1)由bsin aacos b及正弦定理，得sin bcos b，所以tan b，所以b.(2)由sin c2sin a及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos b，得9a2c2ac.所以a，c2.在本例(2)的條件下，試求角a的大小解：，sin a.a.由題悟法1應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷2已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷以題試法1abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c

6、，asin asin bbcos2aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求b.解：(1)由正弦定理得，sin2asin bsin bcos2a sin a，即sin b(sin2acos2a)sin a.故sin b sin a，所以 .(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos b.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2b，又cos b>0，故cos b，所以b45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀典題導(dǎo)入例2在abc中a，b，c分別為內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊，且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.(1)求a的大?。?2)若sin bsin c

7、1，試判斷abc的形狀自主解答(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)·b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos a，故cos a，0<a<180°，a120°.(2)由(1)得sin2asin2bsin2csin bsin c.又sin bsin c1，解得sin bsin c.0°<b<60°，0°<c<60°，故bc，abc是等腰的鈍角三角形由題悟法依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化

8、為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用abc這個(gè)結(jié)論注意在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解以題試法2(20xx·安徽名校模擬)已知abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m(4，1)，n，且m·n.(1)求角a的大?。?2)若bc2a2，試判斷abc的形狀解：(1)m(4，1)，n，m·n4cos2cos 2a4·(2cos2

9、a1)2cos2a2cos a3.又m·n，2cos2a2cos a3，解得cos a.0<a<，a.(2)在abc中，a2b2c22bccos a，且a，()2b2c22bc·b2c2bc.又bc2，b2c，代入式整理得c22c30，解得c，b ，于是abc ，即abc為等邊三角形與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題典題導(dǎo)入例3(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知a，b，c分別為abc三個(gè)內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊，acos casin cbc0.(1)求a；(2)若a2，abc的面積為，求b，c.自主解答(1)由acos casin cbc0及正弦定理得sin acos c

10、sin asin csin bsin c0.因?yàn)閎ac，所以sin asin ccos asin csin c0.由于sin c0，所以sin.又0a，故a.(2)abc的面積sbcsin a，故bc4.而a2b2c22bccos a，故b2c28.解得bc2.由題悟法1正弦定理和余弦定理并不是孤立的解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理選用，有時(shí)還需要交替使用2在解決三角形問(wèn)題中，面積公式sabsin cbcsin aacsin b最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呉灿薪?，容易和正弦定理、余弦定理結(jié)合應(yīng)用以題試法3(20xx·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在abc中，cos 2acos2acos a.(1)求角a的大

11、?。?2)若a3，sin b2sin c，求sabc.解：(1)由已知得(2cos2a1)cos2acos a，則cos a.因?yàn)?<a<，所以a.(2)由，可得2，即b2c.所以cos a，解得c，b2，所以sabcbcsin a×2××.1在abc中，a、b分別是角a、b所對(duì)的邊，條件“a<b”是使“cos a>cos b”成立的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析：選ca<ba<bcos a>cos b.2(20xx·泉州模擬)在abc中，a，b，c分別是角a，b，c所

12、對(duì)的邊若a，b1，abc的面積為，則a的值為()a1 b2c. d.解析：選d由已知得bcsin a×1×c×sin，解得c2，則由余弦定理可得a2412×2×1×cos3a.3(20xx·“江南十?！甭?lián)考)在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a2，c2，1，則c()a30° b45°c45°或135° d60°解析：選b由1和正弦定理得cos asin bsin acos b2sin ccos a，即sin c2sin ccos a，所以cos a，則a6

13、0°.由正弦定理得，則sin c，又c<a，則c<60°，故c45°.4(20xx·陜西高考)在abc中 ，角a，b，c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若a2b22c2，則cos c的最小值為()a. b.c. d解析：選c由余弦定理得a2b2c22abcos c，又c2(a2b2)，得2abcos c(a2b2)，即cos c.5(20xx·上海高考)在abc中，若sin2 asin2b<sin2c，則abc的形狀是()a銳角三角形 b直角三角形c鈍角三角形 d不能確定解析：選c由正弦定理得a2b2<c2，所以cos c&

14、lt;0，所以c是鈍角，故abc是鈍角三角形6在abc中，角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c.若b2asin b，則角a的大小為_(kāi)解析：由正弦定理得sin b2sin asin b，sin b0，sin a，a30°或a150°.答案：30°或150°7在abc中，若a3，b，a，則c的大小為_(kāi)解析：由正弦定理可知sin b，所以b或(舍去)，所以cab.答案：8(20xx·北京西城期末)在abc中，三個(gè)內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.若b2，b，sin c，則c_；a_.解析：根據(jù)正弦定理得，則c2，再由余弦定理得b2a2c22acc

15、os b，即a24a120，(a2)(a6)0，解得a6或a2(舍去)答案：269(20xx·北京高考)在abc中，若a2，bc7，cos b，則b_.解析：根據(jù)余弦定理代入b24(7b)22×2×(7b)×，解得b4.答案：410abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，asin acsin casin cbsin b.(1)求b；(2)若a75°，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos b.故cos b，因此b45°.(2)sin asin(30°45°

16、)sin 30°cos 45°cos 30°sin 45°.故ab×1，cb×2×.11(20xx·北京朝陽(yáng)統(tǒng)考)在銳角三角形abc中，a，b，c分別為內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊，且滿足a2bsin a0.(1)求角b的大小；(2)若ac5，且a>c，b，求·的值解：(1)因?yàn)閍2bsin a0，所以 sin a2sin bsin a0，因?yàn)閟in a0，所以sin b.又b為銳角，所以b.(2)由(1)可知，b.因?yàn)閎 .根據(jù)余弦定理，得7a2c22accos，整理，得(ac)23ac7.由已知ac5

17、，得ac6.又a>c，故a3，c2.于是cos a，所以·|·|cos acbcos a2××1.12(20xx·山東高考)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin b(tan atan c)tan atan c.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若a1，c2，求abc的面積s.解：(1)證明：在abc中，由于sin b(tan atan c)tan atan c，所以sin b·，因此sin b(sin acos ccos asin c)sin asin c，所以sin bsin(ac)sin as

18、in c.又abc，所以sin(ac)sin b，因此sin2bsin asin c.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比數(shù)列(2)因?yàn)閍1，c2，所以b，由余弦定理得cos b，因?yàn)?<b<，所以sin b，故abc的面積sacsin b×1×2×.1(20xx·湖北高考)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且a>b>c，3b20acos a，則sin asin bsin c為()a432 b567c543 d654解析：選d由題意可得a>b>c，且為連續(xù)正整數(shù)，設(shè)cn

19、，bn1，an2(n>1，且nn*)，則由余弦定理可得3(n1)20(n2)·，化簡(jiǎn)得7n213n600，nn*，解得n4，由正弦定理可得sin asin bsin cabc654.2(20xx·長(zhǎng)春調(diào)研)在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知4sin2cos 2c，且ab5，c，則abc的面積為_(kāi)解析：因?yàn)?sin2cos 2c，所以21cos(ab)2cos2c1，22cos c2cos2c1，cos2ccos c0，解得cos c.根據(jù)余弦定理有cos c，aba2b27,3aba2b22ab7(ab)2725718，ab6，所以abc的面積sab

20、cabsin c×6×.答案：3在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(2bc)cos aacos c0.(1)求角a的大??；(2)若a，sabc，試判斷abc的形狀，并說(shuō)明理由解：(1)法一：由(2bc)cos aacos c0及正弦定理，得(2sin bsin c)cos asin acos c0，2sin bcos asin(ac)0，sin b(2cos a1)0.0<b<，sin b0，cos a.0<a<，a.法二：由(2bc)cos aacos c0，及余弦定理，得(2bc)·a·0，整理，得b2c2a2bc，cos a，0<a<，a.(2)sabcbcsin a，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos a，a，a，b2c26，由得bc，abc為等邊三角形1已知a，b，c分別是abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊若a1，b，ac2b，則sin c_.解析：在abc中，ac2b，b60°.又sin a，a30°或150°(舍)，c90°，sin c1.答案：12在abc中，a2b