高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第9章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第4節(jié) 相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例學案 文 北師大版

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第四節(jié)相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例考綱傳真1.會做兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.4.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應用(對應學生用書第141頁) 基礎知識填充1相關(guān)性(1)通常將變量所對應的點描出來，這些點就組成了變量之間的一個圖，通常稱這種圖為變量之間的散點圖(2)從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點會有一個集中的大致趨

2、勢，這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似，這樣近似的過程稱為曲線擬合(3)若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關(guān)的，若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關(guān)是非線性相關(guān)的如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的2線性回歸方程(1)最小二乘法 如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2來刻畫這些點與直線yabx的接近程度，使得上式達到最小值的直線yabx就是所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法(2)線性回歸方程方程ybxa是兩個具有

3、線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)3回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)稱為樣本點的中心(3)相關(guān)系數(shù)r當r0時，表明兩個變量正相關(guān)；當r<0時，表明兩個變量負相關(guān)；當r0時，表明兩個變量線性不相關(guān)|r|值越接近于1，表明兩個變量之間的線性相關(guān)程度越高|r|值越接近于0，表明兩個變量之間的線性相關(guān)程度越低4獨立性檢驗設a，b為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量a：a1，a

4、2；變量b：b1，b2.2×2列聯(lián)表：b ab1b2總計a1ababa2cdcd總計acbdnabcd構(gòu)造一個統(tǒng)計量 2.利用統(tǒng)計量2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗當22.706時，沒有充分的證據(jù)判定變量a，b有關(guān)聯(lián)，可以認為變量a，b是沒有關(guān)聯(lián)的；當2>2.706時，有90%的把握判定變量a，b有關(guān)聯(lián)；當2>3.841時，有95%的把握判定變量a，b有關(guān)聯(lián)；當2>6.635時，有99%的把握判定變量a，b有關(guān)聯(lián)基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的

5、水平成正相關(guān)關(guān)系()(2)某同學研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x()之間的關(guān)系，得回歸方程2.352x147.767，則氣溫為2時，一定可賣出143杯熱飲()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗()(4)若事件x，y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的2的觀測值越小()答案(1)(2)×(3)×(4)×2(教材改編)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()a0.4x2.3b2x2.4c2x9.5d0.3x4.4a因為變量x和y正相關(guān)，排除選項c，d又樣本中心(3,3

6、.5)在回歸直線上，排除b，選項a滿足3(20xx·全國卷)根據(jù)下面給出的2004年至我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()圖9­4­1a逐年比較，減少二氧化硫排放量的效果最顯著b我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效c以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢d以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)d對于a選項，由圖知從到二氧化硫排放量下降得最多，故a正確對于b選項，由圖知，由到矩形高度明顯下降，因此b正確對于c選項，由圖知從以后除稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以c正確由圖知以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，故選d4為了評價某個電視欄目的改革

7、效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算20.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是 ()a有99%的人認為該電視欄目優(yōu)秀b有99%的人認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系c有99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系d沒有理由認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系d只有26.635才能有99%的把握認為“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”，而即使26.635也只是對“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有99%的人等無關(guān)，故只有d正確5(20xx·西安模擬)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試

8、驗根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程0.67x54.9.零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_68由30，得0.67×3054.975.設表中的“模糊數(shù)字”為a，則62a75818975×5，a68.(對應學生用書第142頁)相關(guān)關(guān)系的判斷(1)(20xx·湖北高考)已知變量x和y滿足關(guān)系y0.1x1，變量y與z正相關(guān)下列結(jié)論中正確的是() 【導學號：00090333】ax與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)cx與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)dx與y負相

9、關(guān)，x與z正相關(guān)(2)對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖9­4­2所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()圖9­4­2ar2r40r3r1br4r20r1r3cr4r20r3r1dr2r40r1r3(1)c(2)a(1)因為y0.1x1的斜率小于0，故x與y負相關(guān)因為y與z正相關(guān)，可設zy，>0，則zy0.1x，故x與z負相關(guān)(2)由散點圖知，圖與圖是正相關(guān)，故有r10，r30，圖與圖是負相關(guān)，則r20，r40，且圖與圖中的樣本點集中在一條直線附近，因此有r2r40r3r1.規(guī)律方法1.利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡便的方法如果

10、所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān)，若點散布在左上角到右下角的區(qū)域，則負相關(guān)2利用相關(guān)系數(shù)判定，當|r|越趨近于1，相關(guān)性越強當殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)r2越大，相關(guān)性越強變式訓練1(1)四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個結(jié)論：y與x負相關(guān)且2.347x6.423；y與x負相關(guān)且3.476x5.648；y與x正相關(guān)且5.437x8.493；y與x正相關(guān)且4.326x4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是() 【

11、導學號：00090334】abcd(2)變量x與y相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量u與v相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示變量y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量v與u之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()ar2r10b0r2r1cr20r1dr2r1(1)d(2)c(1)由線性回歸方程x知當0時，y與x正相關(guān)，當0時，y與x負相關(guān)，一定錯誤(2)對于變量y與x而言，y隨x的增大而增大，故y與x正相關(guān)，即r10；對于變量v與u而言，v隨u的增大而減小，故v與u

12、負相關(guān)，即r20，故選c線性回歸方程及應用(20xx·全國卷)如圖9­4­3是我國至生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖圖9­4­3注：年份代碼17分別對應年份200820xx.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測我國生活垃圾無害化處理量參考數(shù)據(jù)：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程ab中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，ab.解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得4， (ti)228，

13、0.55，2分 (ti)(yi)tiyiyi40.174×9.322.89，所以r0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.5分(2)由1.331及(1)得b0.103.8分ab1.3310.103×40.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為y0.920.10t.10分將對應的t9代入回歸方程得y0.920.10×91.82. 所以預測我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸12分規(guī)律方法1.在分析實際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，也可計算相

14、關(guān)系數(shù)r進行判斷若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值2(1)正確運用計算b，a的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵(2)回歸直線bxa必過樣本點的中心(，)變式訓練2(20xx·全國卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值圖9­4­4(xi)2 (wi)2 (xi)(yi) (wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表

15、中wi，wwi.(1)根據(jù)散點圖判斷，yabx與ycd哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費x49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計分別為， .解(1)由散點圖可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.2分(2)令w，先建立y關(guān)

16、于w的線性回歸方程由于d68，4分cd 56368×6.8100.6，5分所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y100.668w，6分因此y關(guān)于x的回歸方程為y100.668.7分(3)由(2)知，當x49時，年銷售量y的預報值y100.668576.6，8分年利潤z的預報值576.6×0.24966.32.9分根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預報值z0.2(100.668)xx13.620.12.10分所以當6.8，即x46.24時，z取得最大值故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.12分獨立性檢驗(20xx·全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法

17、的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： 圖9­4­5(1)記a表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計a的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較 附：2.解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62.2分因此，事件a的概率估計值為0.62.4分(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分

18、布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法34665分2的觀測值15.705.7分由于15.7056.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).8分(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.12分規(guī)律方法1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關(guān)系，則應滿足adbc0.|adbc|越小，說明兩個變量之間關(guān)系越弱；|adbc|越大，說明兩個變量之間關(guān)系越強2解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式2計算2的觀測值k；(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系，作