高考數(shù)學(xué)一輪必備考情分析學(xué)案：12.3幾何概型含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.512.3幾何概型考情分析以選擇題或填空題的形式考查與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的幾何概型的求法是高考對(duì)本內(nèi)容的熱點(diǎn)考法，特別是與平面幾何、函數(shù)等結(jié)合的幾何概型是高考的重點(diǎn)內(nèi)容新課標(biāo)高考對(duì)幾何概型的要求較低，因此高考試卷中此類(lèi)試題以低、中檔題為主基礎(chǔ)知識(shí)1幾何概型事件a理解為區(qū)域的某一子區(qū)域a，a的概率只與子區(qū)域a的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比，而與a的位置和形狀無(wú)關(guān)滿足以上條件的試驗(yàn)稱(chēng)為幾何概型2幾何概型中，事件a的概率計(jì)算公式p(a).3要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具

2、有等可能性注意事項(xiàng)1.對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí)，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的求解方法2. (1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)(2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決題型一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型【例1】點(diǎn)a為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)b，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi)解析如右圖，設(shè)a、m、n為圓周的三等分點(diǎn)，當(dāng)b點(diǎn)取在優(yōu)弧上時(shí)，對(duì)劣弧來(lái)說(shuō)，其

3、長(zhǎng)度小于1，故其概率為.答案【變式1】 一只螞蟻在三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率為_(kāi)解析如圖，該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的長(zhǎng)度為：1236，故所求概率為p.答案題型二與面積有關(guān)的幾何概型【例2】設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率解設(shè)事件a為“方程x22axb20有實(shí)根”當(dāng)a0，b0時(shí)，方程x22axb20有實(shí)根

4、的充要條件為ab.(1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值事件a中包含9個(gè)基本事件，事件a發(fā)生的概率為p(a).(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b)|0a3,0b2，構(gòu)成事件a的區(qū)域?yàn)?a，b)|0a3,0b2，ab，所以所求的概率為p(a).【變式2】如圖，矩形abcd中，點(diǎn)e為邊cd的中點(diǎn)若在矩形abcd內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)q，則點(diǎn)q取自abe內(nèi)部的概率等于()a. b. c. d.解析sabe|ab|·

5、|ad|，s矩形abcd|ab|ad|.故所求概率p.答案c題型三與角度、體積有關(guān)的幾何概型【例3】在rtabc中，a30°，過(guò)直角頂點(diǎn)c作射線cm交線段ab于m，求使|am|ac|的概率解設(shè)事件d為“作射線cm，使|am|ac|”在ab上取點(diǎn)c使|ac|ac|，因?yàn)閍cc是等腰三角形，所以acc75°，a907515，90，所以p (d).【變式3】在棱長(zhǎng)為2的正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)o為底面abcd的中心，在正方體abcda1b1c1d1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)p，則點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1的概率為_(kāi)解析點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1的點(diǎn)位于以o為球心，以1為半徑的半球外記點(diǎn)p到

6、點(diǎn)o的距離大于1為事件a，則p(a)1.來(lái)源:答案1重難點(diǎn)突破【例4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)ax24bx1.(1)設(shè)集合p1,2,3和q1,1,2,3,4，分別從集合p和q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率；來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率 解析 (1)函數(shù)f(x)ax24bx1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x，要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a0且1，即2ba.若a1，則b1；若a2，則b1或1；若a3，則b1或1.事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1225.所求事件的概率為.(2)

7、由(1)，知當(dāng)且僅當(dāng)2ba且a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閬?lái)源:，構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切尾糠钟傻媒稽c(diǎn)坐標(biāo)為，所求事件的概率為p.鞏固提高1在線段0,3上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為() a. b. c. d1解析點(diǎn)坐標(biāo)小于1的區(qū)間長(zhǎng)度為1，故所求其概率為.答案b2一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)看見(jiàn)的是紅燈的概率是()來(lái)源: a. b. c. d.解析以時(shí)間的長(zhǎng)短進(jìn)行度量，故p.答案b3有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是()解析p(a)，p(b)，p(c)，p(d)，p(a)p(c)p(d)p(b)答案a4.某人隨機(jī)地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的邊界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包