文科導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)與題型歸納

1、導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)f'(x°)=啊£。二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)P(xo, y°)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1) 求岀函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)，即曲線 y=f(x)在點(diǎn)P(xo,y。)處的切線的斜率；(2) 在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為三、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及運(yùn)算法則(1)八個(gè)基本求導(dǎo)公式(C) '=； (xn)' =; (n Q) (sin x) =， (cosx) =(ex) =，(ax) =(lnx)，= ，

2、(loga x) =導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(u _v) = Cf (x) =(uv) = ，=(v = 0)(3) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)U =y(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=f(u)在點(diǎn)U -V(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)fv(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且(X)=，即 yx =yu Ux四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(要求：明白解題步驟)1 函數(shù)的單調(diào)性(1) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f/(x)0，則f(x)為增函數(shù)；若 f/(x)：0，則f(x)為減函數(shù)。(2) 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法。分析 y = f (x)的定義域；求導(dǎo)數(shù)y:丄f (x)解不等式f (x) 0，解集在定義域內(nèi)的部分為_區(qū)間解不等式f (x)

3、 ： 0，解集在定義域內(nèi)的部分為 區(qū)間1例如：求函數(shù) y = x 的減區(qū)間x2 可導(dǎo)函數(shù)的極值(采用表格或畫函數(shù)圖象)(1) 極值的概念設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。附近有定義，且若對(duì) X。附近所有的點(diǎn)都有 f(x) : f(x 0)(或f(x) f(x 0)，則稱f(x 0) 為函數(shù)的一個(gè)極大(小)值，稱 X0為極大(小)值點(diǎn)。(2) 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟 求導(dǎo)數(shù)f (X)； 求方程f (x) = 0的； 檢驗(yàn)f (X)在方程f (x) = 0的根左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)(先增后減)，那么函數(shù)y = f(x)在這個(gè)根處取得 ;如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)為正(先減后增

4、)，那么函數(shù)y = f (x)在這個(gè)根處取得.3 .函數(shù)的最大值與最小值 設(shè)y= f (x)是定義在區(qū)間a ,b 上的函數(shù)，y = f (x)在(a ,b )內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)y= f (x)在a ,b 上_必有最大值與最小值；但在開區(qū)間內(nèi)未必有最大值與最小值.(2)求最值可分兩步進(jìn)行： 求y= f(x)在(a ,b ) 內(nèi)的值； 將y= f (x)的各值與f (a)、f (b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值 若函數(shù)y = f (x)在a ,b 上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的 ， f (b)為函數(shù)的 ;若函數(shù)y =f(x)在a ,b 上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的 ， f(b)

5、為函數(shù)的.4. 求過函數(shù)上一點(diǎn)的切線的斜率或方程3例題1：分析函數(shù)y =x _3x (單調(diào)性，極值，最值，圖象)例題2 :函數(shù)y =x3 -3ax在上為增函數(shù)，在(-1,1)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a例題3:求證方程x lg x =1在區(qū)間(2,3)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.(分析解本題要用的知識(shí)點(diǎn))一.求值1 31 . f (x)是f (x) x 2x 1的導(dǎo)函數(shù)，貝Uf ( -1)的值是.32. f (x) =ax3+3x2+2 ， f (-1) =4，則 a=3. 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),且滿足f(x)=3x+2x f (2),則f (5) =|4. 設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在

6、 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí),f ( x)g ' (x)+f ' (x)g( x)>0且g( 3)=0,則不等式f (x)g( x)<0的解集是 .5 . (2008 海南、寧夏文)設(shè) f (x) = xlnx，若 f '(Xo) = 2，則 Xo =()2ln 2| 門a. e b e c d. In 22二切線31(1)曲線y =x x 1在點(diǎn)(1,3)處的切線方程是 ； 已知函數(shù)f(x) =x3 -3x，過點(diǎn)P(2,-6)作曲線y =f(x)的切線的方程 .3變式.(1)曲線y = x 3x+ 1在點(diǎn)(1， 1)處的切線方程為 3(2) 已

7、知C: f(x) =x -x 2，則經(jīng)過P(1,2)的曲線C的切線方程為 (3) 曲線f(x)=x 3 3x，過點(diǎn)A(0，16)作曲線f (x)的切線，則曲線的切線方程為 32 .( 1)曲線f(X)二X在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，則該曲線在 A點(diǎn)處的切線方程為 。(2)過曲線f(x) =x4 -x上點(diǎn)p處的切線平行于直線 3x - y = 0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 若直線 討二x是曲線y = x3 - 3x2 ' ax的切線，貝U a =。323.垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線 y = x +3x -5相切的直線的方程是 . ?4 .已知直線y =kx 1與曲線y = x3 ax b

8、切于點(diǎn)(1，3)，則b的值為()A. 3B. 3C. 5D. 55 若點(diǎn)P在曲線y =x3 - X 2上移動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn) P的切線的傾斜角為 ，則的取值范圍為()3I兀I»2丿2 42=ax在點(diǎn)(1, a )處的切線與直線 2x - y - 6 = 0平行，則a =()C _ 12A. 0,26. (08全國(guó)H )設(shè)曲線A. 1 B . 12B.D. 0 -D. -17 .( 09寧夏)曲線 yx二xe - 2x -1在點(diǎn)(0,1 )處的切線方程為X8 ( 09全國(guó)卷H理)曲線在點(diǎn)1,1處的切線方程為2x -1A. x_y_2=0B.x y_2=0 C. x 4y_5 = 0 D. x_

9、4y_5 = 09若曲線 f (x ) = ax2 +1 nx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是1x210 .( 08海南理)曲線y =e2在點(diǎn)(4，e )處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為三單調(diào)性1. (1)設(shè) f(x)=xA.(0, 4)B.(32(2-x),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是-,+o )C.(3(2)函數(shù)y=(x+1)(x 1)的單調(diào)遞增區(qū)間為(A.(- o, 1)B.( 1,+C. (- o , 1)與(一1,+ o) D. (- o , 函數(shù)f(x) =X3 -3x21是減函數(shù)的區(qū)間為(A. (2*4')B .(V,2) C .(一兀',0)IL -

10、g ,0)U( -，+ g)3)oo)1) U ( 1,+ o)2. (1)若函數(shù)f(x)=x 3-ax 2+1在(0， 2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù))D .(0 , 2)a的取值范圍為(2)設(shè)a 0,函數(shù)f(x)=x3-ax在1,七)上是單調(diào)函數(shù).則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3)函數(shù)y=ax3 x在(o，+ o)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為3 .( 1)若函數(shù)f (x) =ax3 x2+x 5在R上單調(diào)遞增，則 a的范圍是(2)已知函數(shù)f (x) =ax3 3x2-x 1在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是:324.若f (x)二ax bx cx d(a 0)在R上是增函數(shù)，則(2(A) b -4ac

11、 0(B) b 0,c0(C) b=0,c0(D) b2 -3ac ： 05、函數(shù)3y =x ax b在(T,1)上為減函數(shù)，在(1/ ：)上為增函數(shù)，則(A)a= 1,b =1(b) a =1,b R (C) a - -3,b =3 (d) a - -3,b R四極值1、函數(shù)A.C.2 函數(shù)y =1 3x -x3的極大值，極小值分別是 極小值-1，極大值1B.極小值-2，極大值2D.f (x) =x3 ax2 3x-9，已知極小值-2，極大值3極小值-1，極大值3f (x)在x - -3時(shí)取得極值，則 a=()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 53. 函數(shù)f(x)=x -ax -bx+a

12、 ,在x=1時(shí)有極值10,則a、b的值為 ()A.a=3,b=-3，或 a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正確34. 已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)為f (x) =4x -4x，且圖象過點(diǎn)(0,-5 )，當(dāng)函數(shù)f (x)取得極大值-5時(shí)，x的值應(yīng)為A. - 1 B. 0 C. 1 D.士 15. 若函數(shù)f(x)=x 3-3bx+3b在(0, 1)內(nèi)有極小值，則()1A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b< -26. 若f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1沒有極值，則 a的取值范圍為 |7. 已知函數(shù)y=2x3+ax2+36

13、x 24在x=24處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是()A.(2,3)B.(3, +8)C.(2, +8) D. (,3)2x + a8. ( 2009遼寧卷文)若函數(shù) f(X)在X =1處取極值，則 a =x+1五. 最值1 函數(shù)y = 2x3 -3x2 - 12x5在0，3上的最大值、最小值分別是 ()A. 5， 152. ( 06 浙江文)f (x)(A)-2(B)0333 "函數(shù)y=x+ 在(0 ,xA.4B. 5, 4=x3 -3x22在區(qū)間(C)2(D)4C. 4, 151-1,11上的最大值是()D.5， 16+ 8 )上的最小值為B.5C.3D.14 .( 07湖南理

14、)函數(shù)5 ( 07江蘇)已知函數(shù)M m =3f(x) =12x -x在區(qū)間-3,3上的最小值是 .3f(x) =x -12x 8在區(qū)間-3,3上的最大值與最小值分別為M ,m，則變式、函數(shù)f(x) = £ - 3x- a在區(qū)間1.0, 3上的最大值、最小值分別為M , N ,貝U M N的值為。16. (2008 安徽文)設(shè)函數(shù) f(x) =2X 1(X：0),則 f(X)()xA.有最大值B 有最小值C 是增函數(shù)D.是減函數(shù)六綜合1 .( 07福建理、文)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x ,有f (-x)二- f ( x) g (- X)二g(,)且X 0時(shí)，f ( x)a 0 g (x，0則 x

15、 £0時(shí)()A.f (x)0,g (x)0B.f (x)0,g (x) : 0C.f (x) ：0,g (x)0D.f (x) ：0,g (x) ：02對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù) f(x)，若滿足(x -1)f (x) - 0，則必有(A.f (0)- f (2): 2 f (1)B.f (0)- f (2) < 2C.f (0)- f (2)_2 f (1)D.f (0)- f (2). 23.(2009陜西卷文)設(shè)曲線y=xn Yn N*)在點(diǎn)X1f (1)f (1)(1 , 1 )處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn ,則(A)X2 |1|Xn的值為(B)(C)n4設(shè)函數(shù)f (

16、x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),：(x)可能為()則導(dǎo)函數(shù)y=f(D) 1n 1y=f(x)的圖象如右圖 1O(A)JIa/.丿 1.y/ J圖1O/ x丿。xOV xX(B)5.(浙江卷11) 設(shè)f '( x)是函數(shù) f (x)的導(dǎo)函數(shù)，右圖所示，則y=f (x)的圖象最有可能的是(A)(C)(D)y=f '( x)的圖象如(B)6. (2009湖南卷文)若函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)函數(shù) 在區(qū)間a,b上是增函數(shù),則函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a,b上的圖象可能是【】A .B.C.D.327、已知函數(shù)f (x)二x mx (m 6)x1既有極大值又存在最小值，則實(shí)數(shù) m的取值范圍8、若函

17、數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,7，且f(x) V, f/(x) 0,那么函數(shù)y=xf(x)()(A)存在極大值(B)存在最小值(C)是增函數(shù)(D )是減函數(shù)9、當(dāng)x 0,2時(shí)，函數(shù)f (x)二ax2 4(a -1)x - 3在x=2時(shí)取得最大值，貝0 a的取值范圍七解答題(重點(diǎn))題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。321.已知函數(shù)f (x)二x ax bx c,過曲線y二f (x)上的點(diǎn)P(1, f (1)的切線方程為y=3x+i(I)若函數(shù) f (x)在x = -2處有極值，求f (x)的表達(dá)式；(n)在(I)的條件下，求函數(shù) y = f (x)在3, 1上的最大值；(皿)若函數(shù) y二

18、f (x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) b的取值范圍2:已知三次函數(shù) f(x) =x ax bx c在x =1和x = _1時(shí)取極值，且 f(_2) = -4 .(1) 求函數(shù)y =f (x)的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)y =f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值； 若函數(shù)g(x) = f (x m)亠4m (m .0)在區(qū)間m 3, n上的值域?yàn)?,16，試求m、n應(yīng)滿足的條件.3 .(海南文 本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) f (x) =1 n(2x 3) x2(I)討論f (x)的單調(diào)性；(H)求f (x)在區(qū)間 一3，-的最大值和最小值.IL 4 4324、已知 f(x)=ax bx cx(-"

19、; 0)在 x= 1 取得極值，且 f(1) = 1(1)試求常數(shù)a,b,c的值;(2)試判斷X=：'1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由。5 .已知函數(shù) f(x)= x3+ 3x2+ ax + b在x = (1，f(1) 處的切線與直線 12x y 1 = 0平行.(1) 求實(shí)數(shù)a的值；(2) 求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3) 若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立。1.已知兩個(gè)函數(shù) f (x) = 7x228x，g(x) = 2x3 4x240x c .(I) F(x)圖像與f (x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解不等式F (x)

20、_ f (x) - x - 3(n)若對(duì)任意 x 3，3，都有f (x)乞g(x)成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍;2. 已知函數(shù) f(x)=x 3- -x2+：x-r.2(1)若f(x)在(-%，+x)上是增函數(shù)，求b的取值范圍： 若f(x)在x=1處取得極值，且 x -1,2 時(shí)，f(x)<c 2恒成立，求c的取值范圍|3. (天津卷21 )(本小題滿分14分)已知函數(shù)f (x)二 x4 ax3 2x2 b(x R),其中 a,b，R.(I)當(dāng)a = -10時(shí)，討論函數(shù)3f(x)的單調(diào)性;(n)若函數(shù) f (x)僅在x=0處有極值，求a的取值范圍;(皿)若對(duì)于任意的-2,2，不等式f x &

21、lt;1在-1,1上恒成立，求b的取值范圍.訓(xùn)練題1. (本小題12分)設(shè)函數(shù)f(x) =x3 - bx2 - 4cx d的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,m)處3的切線的斜率為 -6，且當(dāng)x = 2時(shí)f (x)有極值.(I)求 a、b c、d 的值；(n )求f (x)的所有極值.2. 設(shè)函數(shù) f x = x3 bx2 cx( R)，已知 g(x)二 f (x)f (x)是奇函數(shù)。(1) (i)求 b、c 的值。(2) (n)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。3. ( 2005北京理科、文科) 已知函數(shù)f (x)= x3 + 3x2 + 9x+ a.(I )求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(

22、II )若f (x)在區(qū)間2, 2上的最大值為 20,求它在該區(qū)間上的最小值.4. (2006 安徽文)設(shè)函數(shù) f x =x3 bx2 cx( R)，已知 g(x) = f (x) - f (x)是奇函數(shù)。(i)求b、c的值。(n)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。325. (2008 全國(guó) n 卷文)設(shè) a R，函數(shù) f (x) = ax - 3x .(i)若x = 2是函數(shù)y = f (x)的極值點(diǎn)，求a的值；(n)若函數(shù) g(x)二f(x) f (x)，X，0,2，在x=0處取得最大值，求 a的取值范圍.6. (2008湖北文)已知函數(shù)f(x) =x3 mx2 -m2x，1 (m為常數(shù)，且m&

23、gt;0)有極大值9.(I)求m的值； (n)若斜率為-5的直線是曲線 y = f(x)的切線，求此直線方程.7 已知函數(shù) f(x) =x3 -ax -1 .(I)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求a的范圍；(n)是否存在實(shí)數(shù) a使f (x)在(-1,1)上單調(diào)遞減若存在求岀a的范圍，若不存在說明理由.09福建理科314.若曲線f(x)=ax +lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù) a取值范圍是 .20、(本小題滿分14分)1 3 2已知函數(shù) f (x)x3 ax2 bx,且 f'(-1)=03(1) 試用含a的代數(shù)式表示b,并求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 令 a - -1 ,設(shè)函數(shù)

24、f (x)在 x1, x2(x： x2)處取得極值，記點(diǎn)M (論，f (x1) )，N( x2 , f (x2)，P( m, f (m),x, : m x2,請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線 f (x)在點(diǎn)P處的切線與線段 mp的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問題：(I )若對(duì)任意的 m = ( x1, x2)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定 t的最小值，并證明你 的結(jié)論；(II )若存在點(diǎn)Q(n , f(n) ), x W* m使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫岀m的取值范圍(不必給出求解過程)09福建文科 15.若曲線f x =ax2 Inx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)

25、 a的取值范圍是21 .(本小題滿分12分)1 3 2已知函數(shù) f(x) x3 ax2 bx,且 f'( 1) = 03(I)試用含a的代數(shù)式表示 b ；(n)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(皿)令a =-1，設(shè)函數(shù)f (x)在xX2(X1 CX2)處取得極值，記點(diǎn)M (為，f (為)，N (雄，f (雄)證明：線段 MN與曲線f (x)存在異于M、N的公共點(diǎn)；08福建理科(11)如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(19)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x)x3 x2 -2.3(I)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S，其中a1=3.若點(diǎn)(an, an2a

26、n d) (n N*)在函數(shù)y=f'(x)的圖象上，求證：點(diǎn)(n,Sn)也在y=f ' (x)的圖象上；(n)求函數(shù)f (x)在區(qū)間(a-1, a)內(nèi)的極值.文科(21)(本小題滿分12分)32已知函數(shù)f (xx mx nx2的圖象過點(diǎn)(-1，-6 )，且函數(shù)g(x) = f (x) - 6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(I )求m n的值及函數(shù)y=f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n )若a > 0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1, a+1 )內(nèi)的極值.07福建11 已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有 f (x) = - f (x) g( x) = g( x)且 x > 0 時(shí)，f"

27、(x) > Q g (x > Q 則x : 0 時(shí)( )A.f (x)0，g(x)0B.f (x)0,g (x) : 0C.f (x) < 0，g (x)0D.f (x) ：0,g (x) ：022 .(本小題滿分14分)已知函數(shù) f(x)二 ex_kx, x，R(I)若k =e，試確定函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若k>0，且對(duì)于任意R，f(x)>0恒成立，試確定實(shí)數(shù) k的取值范圍；n(皿)設(shè)函數(shù) F(x) = f (x) f (-x)，求證：f(1)F (2)山 F(n) (en 1 2)2(n N ).(全國(guó)一文20 )設(shè)函數(shù)f(X)二2x3 3ax2 3

28、bx 8c在x = 1及x=2時(shí)取得極值.(I)求a、b的值；(n)若對(duì)于任意的 x 0，都有f (x) ： c2成立，求c的取值范圍.(陜西文21)1 3已知f(x)二ax3 bx2cx在區(qū)間0,1上是增函數(shù)，在區(qū)間(-：，0),(1, ：)上是減函數(shù)，又f ().2 2(I )求f (x)的解析式;(n )若在區(qū)間0, m (m> 0)上恒有f (x) < x成立,求m的取值范圍12 .已知函數(shù)f (x)X3(b -1)x2 cx，32若f (x)在x=1, x = 3處取得極值，試求常數(shù)b, c的值； 若f (x)在丨-匚J, x1 , x2, :上都是單調(diào)遞增，在x1, x

29、2上單調(diào)遞減，且滿足X2-X11，求證：b22(b2c)14 設(shè)t = 0，點(diǎn)P( t，0)是函數(shù)f(x) =x3 - ax與g(x)=bx2 c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.(I)用 t 表示 a，b，c ；S：y 2x3 x23(n)若函數(shù) y = f(x) - g(x)在(1，3) 上單調(diào)遞減，求t的取值范圍正解：設(shè)過點(diǎn)P的切線與曲線S切于點(diǎn)Q(X0,y°)，則過點(diǎn)P的曲線S的切線斜率2Vn2Vnk=y"xK = 2x0 +2x0 +4，又 kpQ =竺，二-2X0 +2x 。點(diǎn) Q 在曲線 S X0X0例1已知曲線4x及點(diǎn)P(0,0)，求過點(diǎn)

30、P的曲線S的切線方程上,232X0 X0 4X02 322-y°X0 X04x0.，代入得 一2x0 2x0 4 =33 X04323化簡(jiǎn)，得一X0 -X0 =0，- X。=0或X0.若X。=0，貝U k=4，過點(diǎn)P的切線方程為3 43 3535、y =4x ；若x0 ，則k ，過點(diǎn)P的切線方程為 yx.過點(diǎn)P的曲線S的切線方程為y = 4x4 88十 35或y x.8例2已知函數(shù)f (x)二ax3 3x2 - x 1在R上是減函數(shù)，求 a的取值范圍.錯(cuò)解：f (x) = 3ax 6x -1 f (x)在R上是減函數(shù)， f (x) ： 0在R上恒成立，-3ax 6x -1 0 對(duì)一切

31、 x R 恒成立，=二0 ,即 36 12a ： 0 , a ： -3.正解：f (x) =3ax 6x-1, ； f(x)在R上是減函數(shù)，.(x)乞0在R上恒成立，.：< 0且a : 0，即 36 12a _ 0且 a : 0, a _ -3.例 5函數(shù) f (x) =3x3 3ax1,g(x)二 f (x)ax -5，其中 f (x)是 f (x)的導(dǎo)函數(shù).(1)對(duì)滿足1< a <1的一切a的值，都有g(shù)(x) v0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;2(2)設(shè)a = m，當(dāng)實(shí)數(shù) m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù) y = f (x)的圖象與直線 y = 3只有一個(gè)公共點(diǎn)解：(1)由題意 g x

32、 =3x2-ax，3a-5令、x = 3 -x a 3x25， 一1 空 a 乞 1.'I1時(shí)，對(duì)滿足對(duì) 一1 _ a _ 1,恒有 g x : 0，即a : 0:1 <0: 0即 3x2X 2：03x2 x -8 ： 0k a < 1的一切a的值，都有g(shù) x : 0.(2)f' x =3x2 -3m23 當(dāng)m=0時(shí)，f xi； = x -1的圖象與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)m = 0時(shí)，列表：極大極小f (x 極小=f (|x )=2 m2 m 1 v1又 f (x )的值域是R，且在(| m ,址)上單調(diào)遞增當(dāng)x a m時(shí)函數(shù)y = f (x )的圖象與直線

33、y = 3只有一個(gè)公共點(diǎn).3當(dāng)x <|m時(shí)，恒有f (x 匸f (一 m )由題意得f (一 m )<3即2m2 m -1 = 2 m -仁3解得 m-3.2,0 U0,32綜上，m的取值范圍是 -3 2, 3 2 ./(x) = P?+ 2x + -例6、( 1)是否存在這樣的 k值，使函數(shù)二- 在區(qū)間(1，2)(2)若 f d + x 恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定 a 的取值范圍，并求岀這三個(gè)單調(diào)區(qū)間解：(1)丄/J由題意，當(dāng) 血2)時(shí)代)<0 ,當(dāng)x D時(shí)畑D 由函數(shù)的連續(xù)性可知即I整理得 16P-2fc-3=0解得 1或 .驗(yàn)證：1(I)當(dāng) & 時(shí)，廣(x)二P2

34、八x+2 = (x+1)U-1)(兀-2)若.-J ，則: ' 1；若-，則- 1，符合題意;(H)當(dāng)畔弘2)("顯然不合題意。若防，則.，此時(shí)只有一個(gè)增區(qū)間.03.，與題設(shè)矛盾;若二，則一丨 ，此時(shí) 他只有一個(gè)增區(qū)間.，與題設(shè)矛盾;若；. '-.i，則“于是綜上可知，存在:=12使/（E 在（1，2）上遞減，在（2，+X）上遞增。T < _ 苛 T >并且當(dāng) J-J- M 時(shí)，/-1 1”< x ,當(dāng)-3aJ- 3a時(shí)，/1 刈綜合可知，當(dāng)；.'". I時(shí)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間:減區(qū)間（-他=），（=,+"）J- 3a4- 3

35、a；增區(qū)間-11點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1），由已知條件得 - 1 ，并由此獲得k的可能取值，進(jìn)而再利用已知條件對(duì)所 得k值逐一驗(yàn)證，這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略。例7、已知函數(shù)時(shí)，取得極值，并且極大值比極小值大4.（1）求常數(shù)遼上的值;(2)求 他 的極值。解：(1)川 + 上 +令:-1得方程V A" 在處取得極值】：- i或丁 *為上述方程的根，P(-1)4+3lj(-1)2 +A=0故有、：_：，即：:；j.二-丄：?= (x+l)Cr-l)(5? + 3a+5)又V 他 僅當(dāng) r=±l 時(shí)取得極值，方程 fW=o的根只有丁-或丁 -,方程. i:無實(shí)根，厶丨-

36、-1即二：- 7 n r n而當(dāng)時(shí)，恒成立，的正負(fù)情況只取決于 G+如) 的取值情況當(dāng)x變化時(shí)， 代)與他 的變化情況如下表：1(1，+X)+00+極大值極小值在r=-l處取得極大值 /(-I)，在r=l處取得極小值 厲)由題意得一；一.幾_二整理得-養(yǎng)二-'于是將，聯(lián)立，解得<- 由(i)知，.：-j 1%丈值=J LU =玄 j E甌mi = 了=-1點(diǎn)評(píng)：循著求函數(shù)極值的步驟，利用題設(shè)條件與您) 的關(guān)系，立足研究 /W=o的根的情況，乃是解決此類含參問題的一般方法，這一解法體現(xiàn)了方程思想和分類討論的數(shù)學(xué)方法，突岀了“導(dǎo)數(shù)i .已知函數(shù)A. 22.已知函數(shù)”與 “Jf(x)二

37、 ax3B.-2在I處取得極值”的必要關(guān)系(2a -1)x22，若 x = -1 是 y=f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)，貝Ua值為C.2D.47f(x)=x3 ax2 bx a2在x =1處有極值為10,則 f(2)=1.21 x3 .給岀下列三對(duì)函數(shù)：f (x), g(x) _ -x f (x) = ax (a 0)， g(x)=xHa1 xf(x)-()，g(x) =-log(-x)；其中有且只有一對(duì)函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上3的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是f(X)g (x) =.324 已知函數(shù)f (x) =x - 3ax - 3(a - 2)x 1有極大值和極小值，

38、求 a的取值范圍.25已知拋物線y二-x2，過其上一點(diǎn) P引拋物線的切線I，使I與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求I的方程.6 設(shè) g(y) =1 - x2 4xy3 - y4在 y Li,o 1 上的最大值為 f (x)， x R，(1)求f (x)的表達(dá)式；(2)求f (x)的最大值.設(shè) a R，函數(shù) f(x) =ax3 -3x2.(I)若x =2是函數(shù)y = f (x)的極值點(diǎn)，求a的值；(U)若函數(shù)g(x)二f(x) f (x)，0,2，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍.解：(I)f (x) =3ax2 -6x =3x(ax-2).因?yàn)閤 =2是函數(shù)y二f(x)的極值點(diǎn)

39、，所以f (2) =0，即6(2a-2)=0，因此a=1 .經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a =1時(shí)，x=2是函數(shù)y二f(x)的極值點(diǎn). 4分(U)由題設(shè)，g(x) = ax3 -3x2 3ax2 -6x = ax2(x 3) -3x(x 2).當(dāng)g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0)時(shí)，g(0) > g(2)， 即 0 > 20a - 24 .故得 a < - .9 分 反之，當(dāng)a < 6時(shí)，對(duì)任意x0,2，5=姿(2乂2 x -103x(2x 5)(x -2) < 0，而g(0) =0，故g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0).綜上，a的取值范圍為12分(I)求.與：的關(guān)系表達(dá)式;5(U)求的單調(diào)區(qū)間;（皿）當(dāng)-u 時(shí)，函數(shù) KM 的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m,求巾 的取值范圍解析：（1）本小題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法以及函數(shù)與方程的思想，第2小題要根據(jù)1的符號(hào)，分類討論的單調(diào)區(qū)間；第 3小題是二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上恒成立的問題，用區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)來表示二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，體現(xiàn)出將一般性問題特殊 化的數(shù)學(xué)思想。解答：（I）宀 丨，丁 *是函數(shù)；.；：的一個(gè)極值點(diǎn)（n） I 二-I.'： - ' I.：-.：'川