中考（數(shù)學(xué)）分類(lèi)二 二次函數(shù)與線(xiàn)段有關(guān)的問(wèn)題(含答案)-歷年真題常考、重難點(diǎn)題型講練

1、數(shù)學(xué)專(zhuān)題 精心整理類(lèi)型一二次函數(shù)與線(xiàn)段問(wèn)題【典例1】已知拋物線(xiàn)yax2bx6（a0）交x軸于點(diǎn)A(6，0)和點(diǎn)B(1，0)，交y軸于點(diǎn)C（1）求拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖（1），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)AC上方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸，y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，E，當(dāng)PDPE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖（2），點(diǎn)M為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸l上一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)AC垂直平分AMN的邊MN時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)【答案】（1）yx25x6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A，B坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式中，解方程組即可得出結(jié)論；（2

2、）先求出OA=OC=6，進(jìn)而得出OAC=45°，進(jìn)而判斷出PD=PE，即可得出當(dāng)PE的長(zhǎng)度最大時(shí)，PE+PD取最大值，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出NFx軸，進(jìn)而求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，即可建立方程求解得出結(jié)論【詳解】解：（1）拋物線(xiàn)yax2bx6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），B（1，0），解得a1，b5，拋物線(xiàn)的解析式為yx25x6yx25x6(x)2，拋物線(xiàn)的解析式為yx25x6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（2）由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為yx25x6，C（0，6），OC6A（6，0），OA6，OAOC，OAC45°PD平行

3、于x軸，PE平行于y軸，DPE90°，PDEDAO45°，PED45°，PDEPED，PDPE，PDPE2PE，當(dāng)PE的長(zhǎng)度最大時(shí)，PEPD取最大值設(shè)直線(xiàn)AC的函數(shù)關(guān)系式為ykxd，把A（6，0），C（0，6）代入得解得k1，d6，直線(xiàn)AC的解析式為yx6設(shè)E（t，t6）（0t6），則P（t，t25t6），PEt25t6(t6)t26t(t3)2910，當(dāng)t3時(shí)，PE最大，此時(shí)t25t612，P（3，12）（3）如答圖，設(shè)直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l的交點(diǎn)為F，連接NF點(diǎn)F在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)AC上，F(xiàn)MFN，NFCMFCly軸，MFCOCA45°，MF

4、NNFCMFC90°，NFx軸由（2）知直線(xiàn)AC的解析式為yx6，當(dāng)x時(shí)，y，F(xiàn)（，），點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，x25x6，解得，x1或x2，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，解一元二次方程，（2）中判斷出PD=PE，（3）中NFx軸是解本題的關(guān)鍵 【典例2】如圖1-1，拋物線(xiàn)yx22x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果PAC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)圖1-1【解析】如圖1-2，把拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸當(dāng)作河流，點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)，連結(jié)BC，那么在PBC中，PBPC總是大于BC的如圖1-3，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上

5、時(shí)，PBPC最小，因此PAPC最小，PAC的周長(zhǎng)也最小由yx22x3，可知OBOC3，OD1所以DBDP2，因此P(1,2)圖1-2 圖1-3【典例3】如圖，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)A，B是OA的中點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)，先經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)M，再經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)N，然后返回到點(diǎn)A如果動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)M、N的位置，并求最短路程圖2-1【解析】如圖2-2，按照“臺(tái)球兩次碰壁”的模型，作點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A，作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B，連結(jié)AB與x軸交于點(diǎn)M，與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)N在RtAAB中，AA8，AB6，所以AB10，即點(diǎn)G走過(guò)的最短路程為10根據(jù)相似比可以計(jì)算得到O

6、M，MH，NH1所以M(, 0)，N(4, 1)圖2-2【典例4】如圖3-1，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段PA與PB中較長(zhǎng)的線(xiàn)段減去較短的線(xiàn)段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)圖3-1【解析】題目讀起來(lái)像繞口令，其實(shí)就是求|PAPB|的最小值與最大值由拋物線(xiàn)的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)設(shè)P(x, 0)絕對(duì)值|PAPB|的最小值當(dāng)然是0了，此時(shí)PAPB，點(diǎn)P在AB的垂直平分線(xiàn)上（如圖3-2）解方程x222(x3)262，得此時(shí)P在PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PAPB|總是小于AB了如圖3-3，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，|PA

7、PB|取得最大值，最大值A(chǔ)B5此時(shí)P圖3-2 圖3-3【典例5】如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A（h，1），與y軸交于點(diǎn)B（0，），點(diǎn)F（2，1）為其對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)定點(diǎn)（1）求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；（2）已知直線(xiàn)l是過(guò)點(diǎn)C（0，3）且垂直于y軸的定直線(xiàn)，若拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)P（m，n）到直線(xiàn)l的距離為d，求證：PFd；（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D（4，3），請(qǐng)?jiān)趻佄锞€(xiàn)上找一點(diǎn)Q，使DFQ的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)DFQ周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)【分析】（1）由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A（2，1），可以假設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為ya（x2）21，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入求出a即可（2）由題意P（m，m2m），求出d2，PF2（用m表示）

8、即可解決問(wèn)題（3）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH直線(xiàn)l于H，過(guò)點(diǎn)D作DN直線(xiàn)l于N因?yàn)镈FQ的周長(zhǎng)DF+DQ+FQ，DF是定值2，推出DQ+QF的值最小時(shí)，DFQ的周長(zhǎng)最小，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短解決問(wèn)題即可【解答】（1）解：由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A（2，1），可以假設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為ya（x2）21，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B（0，），4a1，a，拋物線(xiàn)的解析式為y（x2）21（2）證明：P（m，n），n（m2）21m2m，P（m，m2m），dm2m（3）m2m+，F(xiàn)（2，1），PF，d2m4m3+m2m+，PF2m4m3+m2m+，d2PF2，PFd（3）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH直線(xiàn)l于H，過(guò)點(diǎn)D作DN直線(xiàn)l于NDFQ的周長(zhǎng)DF+DQ+FQ，DF是定值2，DQ+QF的值最小時(shí)，DFQ的周長(zhǎng)最小，QFQH，DQ+DFDQ+QH，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)D，Q，H共線(xiàn)時(shí)，DQ+QH的值最小，此時(shí)點(diǎn)H與N重合，點(diǎn)Q